32. Теорема о дифференцируемости сложной функции.

Дифференцирование сложных функций многих переменных

                Рассмотрим для простоты функцию двух переменных.

Теорема. Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области ,причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M₀ (x₀, y₀, z₀),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t₀, то  сложная функция u = f [x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t₀ и имеет место равенство:

.

Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x₀, y₀), то её полное приращение представляется в виде

.

                    Разделив это соотношение на, получим:

.

                     Перейдём к пределу при и получим формулу

    .

Замечание 1. Если u = u(x, y) и x = x, y = y(x), то полная производная функции u по переменной х

или .

32. Связь между полным дифференциалом и полным приращением функции. Дифференциал функции

   Функция z=f(M) дифференцируема в точке М, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде суммы линейной части относительно приращений аргументов и слагаемых более высокого порядка малости относительно приращений аргументов: Δz=AΔx+BΔy+o(Δx, Δy) (1)

где .

   Определение. Дифференциалом функцииz=f(M) в точке М называется линейная относительно приращений аргументов Δxи Δучасть полного приращения этой функции в этой точке:d z=A·Δx+B·Δ y.

Связь дифференциала с частными производными

   В выражении дифференциала (2) величины А и В равны частным производным функции по соответствующим переменным: и.

   Доказательство.Зафиксируем переменнуюу, так что она не получает приращения Δy= 0. В этом случае полное приращение функции Δzстановится частным по переменнойхи формула (1) принимает вид Δ_xz=A·Δx+o(Δ x).

Откуда . (3)

Переходя к пределу в обеих частях соотношения (3), получим ,

откуда, в силу определения частной производной и определения бесконечно малой более высокого порядка, чем Δх, получим. Что и требовалось доказать.    Аналогично доказывается соотношение.    С учётом этого дифференциал (2) можно записать в виде(4)

Из (4) следует, что дифференциалами независимых переменных хиуявляются приращения этих переменных:dx= Δx,dy= Δy.

Тогда дифференциал функции можно записать в виде .

  

 Из определения дифференциала следует, что разность между полным приращением и дифференциалом функции в точке М есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ хи Δу: Δz-dz=o(Δx, Δy).

Отбрасывая при достаточно малых Δ хи Δувеличинуo(Δx, Δy), получаем приближенную формулу Δzdz, из которой вытекает формула линеаризации для функции многих переменных:.

32. Инвариантность формы первого дифференциала.

Для сложной функции:

(3)

. (4)

Выражение полного дифференциала функции нескольких переменных имеет тот же вид вне зависимости от того, являются ли uиvнезависимыми переменными или функциями других независимых переменных.Доказательствоопирается на формулу полного дифференциала, соотношения(3) и (4)

Что и требовалось доказать.

32. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P (x₀, y₀, z₀) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Пусть поверхность s задана уравнением F (х, у, z) = 0 и точка  P (x₀, y₀, z₀) принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L, проходящую через точку Р.

Пусть х = х(t), у = у(t), z = z(t) –  параметрические уравнения линии L.

Предположим, что: 1) функция F(х, у, z) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю; 2) функции  х(t), у(t), z(t) также дифференцируемы.

Поскольку кривая принадлежит поверхности s , то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [x(t), у(t), z (t)] = 0.

Продифференцировав это тождество по переменной t, используя цепное правило, получим новое тождественное равенство, справедливое во всех точках кривой, в том числе и в точке P (x₀, y₀, z₀):

.

Пусть точке Р соответствует значение параметра t₀, то есть x₀ = x (t₀), y₀ = y (t₀),    z₀ = z (t₀). Тогда последнее соотношение, вычисленное в точке Р, примет вид

.                  (17)

Формула (17) представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый из них – постоянный вектор

,

не зависящий от выбора кривой на поверхности .

Второй вектор –  касательный в точкеР к линии L, а значит, зависящий от выбора линии на поверхности, то есть является переменным вектором.

При введённых обозначениях равенство (17) перепишем как . Его смысл таков: скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторыиперпендикулярны. Выбирая всевозможные кривые (см. рис. 54), проходящие через точкуР на поверхности s , мы будем иметь различные касательные векторы, построенные в точке Р к этим линиям; вектор же от этого выбора не зависит и будет перпендикулярен любому из них, то есть все касательные векторы

расположены в одной плоскости, которая, по определению, является касательной к поверхности s , а точка Р в этом случае называется точкой касания. Вектор является направляющим вектором нормали к поверхности.

Определение 2. Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

Мы доказали существование касательной плоскости, а, следовательно, и нормали к поверхности. Запишем их уравнения:

;         (18)

(18) – уравнение касательной плоскости, построенной в точке P (x₀, y₀, z₀) к поверхности s , заданной уравнением F(х, у, z) = 0;

;              (19)

19. – уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности s .

Пример 16. Найти уравнение поверхности, образованной вращением параболы z² = 2p (y +2) вокруг оси оу, вычислить при условии, что точка М(3, 1, - 3) принадлежит поверхности. Найти уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в точке М.

Решение. Используя правило записи поверхности вращения, получим: z² + x²= 2p (y +2). Подставив координаты точки М в это уравнение, вычислим значение параметра р: 9 + 9 = 2р(1 + 2). Записываем окончательный вид поверхности вращения, проходящей через точку М: z² + x²= 6 (y +2).

Теперь найдём уравнения нормали и касательной плоскости по формулам (19) и (18), для чего вычислим сначала частные производные функции

F(x,y)  = z² + x²- 6 (y +2):

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид

6(х -  3) -  6(y -  1) -  6(z + 3) = 0 или x -  y -  z -  5 = 0;

уравнение нормали или.