32. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования. Частные производные высших порядков

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют)и, которые называются такжечастными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменныхx, yи может, следовательно также иметь частные производные. Частная производнаяобозначается черезили, ачерезили. Таким образом,

,

и, аналогично,

, .

Производные иназываютсячастными производными второго порядка.

Определение: Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка:,,и т. д.

Основа теоремы о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования

Для достаточно гладкой функции многих переменных значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования:

Идея доказательства в лекции (равенство путей дифференцирования).

32. Полные дифференциалы высших порядков. Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:.

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функциивыглядит следующим образом:

где , апроизвольные приращения независимых переменных. Приращениярассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных

32. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

Формула Тейлора для функции нескольких переменных)   Пусть функция задана в областии имеет ввсе частные производные до порядкавключительно. Пустьи-- две точки области, такие что весь отрезок между ними целиком лежит в. Тогда для некоторой точкиэтого отрезка имеет место равенство

	(9.6*)
	(9.7)

 Сумма всех слагаемых в правой части формулы (9.6*), кроме записанных в последней строке, называется многочленом Тейлора функциив точке, а эта последняя строка содержит остаточный член формулы Тейлора. Считая его малым при небольших расстояниях междуи(он имеет порядок, в то время как все остальные слагаемые -- порядок не выше, если не обращаются в 0), мы можем не учитывать остаточный член и, тем самым, получаем приближённую формулу

содержащую лишь значения функции и её частных производных, вычисленные в точке(но не в других точках). Эту формулу можно использовать для приближённого вычисления значений функциив точках, близких к. На практике её применяют, ввиду большого числа слагаемых в правой части, лишь при небольших значениях, как правило,и.

При получается линейное приближение функции(нетрудно видеть, что правая часть совпадает с линейной функцией, графиком которой служит касательная плоскость, проведённая прик графику функции):

При получается квадратичное приближение функции:

(9.8)

Многочлен Тейлора в этом случае оказывается многочленом второй степени относительно переменных