32. Понятие неявной функции. Теорема о её существовании и дифференцируемости. Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданиемфункции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х,и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно

Пусть функция F(x,y) удовлетворяет условиям

1. F(x0,y0) = 0 ;

2. частные производные F'xиF'yнепрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0) ;

3. F'y(x0,y0) ≠ 0 .

Тогда

1. уравнение F(x,y) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точкиx0 единственную непрерывную функциюy(x) , удовлетворяющую условиюy(x0) =y0 .

2. функция y(x) имеет производную, непрерывную в окрестности точкиx0 .

Выясним смысл условий теоремы.

Существование непрерывной неявной функции y=f(x) в окрестности точки (x0,y0) следует из теоремы существования, так как:

• условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0 ;

• из условия 2 следует непрерывность функции F(x,y) в окрестности точки (x0,y0) , а из условия 3 — ее монотонность поyпри каждом фиксированномxиз этой окрестности.

Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции y(x) , удовлетворяющей условиюy(x0) =y0 и непрерывной в окрестности точкиx0.

32. Вычисление частных производных функция, заданных неявно.

При выполнении соответствующих условий, уравнение    задает неявно функцию. Это же уравнение может задавать неявно функциюили.

 

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение :. Отсюда получим формулу для производной функции, заданной неявно:. Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением:,.

32. Необходимые условия локального экстремума функции нескольких переменных. Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия безусловного локального экстремума.

 Определение: Пусть дана функция  n-переменных 

Пусть дана точка M₀ с координатами , точкаM₀ называется локальным max(min) если  _окр точки M₀ : x _окр справедливо

( x  _окр ),_окр называется множество (вn мерном пространстве).

 Точка локального max или min называются точкой экстремума.

Необходимые условия экстремума функции многих переменных.

 Определение: стационарной точки. Если функция дифференцируема в точкеM₀ то необходимым условием существования экстремума в этой точке является требование ее стационарности: 

(, если)

Стационарная точка – точка где все частные производные по всем аргументам равны 0.

Доказательство: Зафиксируем все переменные оставив только x₁, 

фиксируя любую другую переменную получаем тоже самое.

 Определение: Необходимое условие экстремума.

В точке экстремума функции n-переменных дифференциал обращается в ноль. 

 Если локальный экстремум , если- независимы

Замечание: если выполнено необходимое условие экстремума то она не обязательно является экстремумом.

Истина: Если точка – стационарная, то она не обязательно – экстремум , ВООБЩЕ ГОВОРЯ ! Экстремум же всегда является стационарной точкой!

Пример : (0,0),x>0, y>0  z>0,  x<0, y<0 z<0,  но dz =0.