32. Производная от скалярной функции по данному направлению.

Производнойскалярной функцииU = f(x ,y, z)понаправлению вектора

M₀(x₀, ₀, z₀) называется предел, если он существует, отношения приращенияΔU₀функции при смещении из точкиM₀(x₀, y₀, z₀)в направлении векторав точкуM₁(x, y, z)к величине этого смещениякогдаρ→0, то есть

Следовательно, характеризует скорость изменения величиныUв точкеM₀в направлении вектора.

Очевидно, что функция Uимеет бесчисленное множество производных по направлениям в каждой точкеM. Получим формулу для вычисления производной по направлению. Так как

где величины x₀, y₀ ,z₀, cos α, cos β, cos γфиксированы, тоU(M₁)есть функция только смещенияρ

Обозначим эту функцию

При ρ = 0имеемψ(0) = U(x₀, y₀, z₀) = U(M₀). Следовательно:

Т. е. получим формулу:

выражающую производную от функции U = f(x, y, z)по направлению вектора

32. Градиент скалярной функции и его аналитическое выражение. Оператор «набла».

Градие́нт(отлат.gradiens, род. падежgradientis— шагающий, растущий) —вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

С математической точки зрения градиент — это производнаяскалярной функции, определенной на векторном пространстве.

Пространство, на котором определена функция и её градиент может быть вообще говоря как обычным трехмерным пространством, так и пространством любой другой разменрости любой физической природы или чисто абстрактным.

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введен Максвелломв 1873 г. Обозначениеgradтоже предложил Максвелл.

Стандартные обозначения:или, с использованиемоператора набла

Определение

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функциикоординат,,называется векторная функция с компонентами

, ,.

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если — функцияпеременных, то её градиентом называется-мерный вектор

компоненты которого равны частным производнымпо всем её аргументам.

• Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.

• Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто "градиентом".

Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещениядаетполный дифференциалэтой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть измененияпри смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку— это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказываетсяковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Пример

Например, градиент функции будет представлять собой: