3.3.2. Обратная задача

Дано: напряжения σ_х, σ_у, τ_ху (рис.3.8,а).

Определить: положение главных площадок и величины главных напряжений σ₁ и σ₂.

По определению на главных площадках τ_α = 0. Из формулы (3.10) найдём угол α₀ между осью х и одним из главных напряжений.

,

. (3.17)

Величины главных напряжений можно найти по формулам (3.14) и (3.15), подставив в них α₀. Удобнее иметь формулы для главных напряжений, не зависящие от углов и тригонометрических функций. Для вывода используем зависимости косинуса и синуса двойного угла от тангенса

, .

Подставим их в формулу (3.14):

. (*)

Теперь в выражение (*) подставим tg 2α₀ по формуле (3.17) и получим значение большего главного напряжения

.

Второе главное напряжение получим, используя формулу (3.15). В результате выражение для главных напряжений при плоском напряжённом состоянии имеет следующий вид:

. (3.18)

Для определения σ_max после первого слагаемого ставим «+», а для определения σ_min ставим «–». Следует обратить внимание на то, что если одно из главных напряжений, вычисленных по формуле (3.18), окажется отрицательным, то их следует обозначить σ₁ и σ₃. Если же оба главных напряжений окажутся отрицательными, то σ₂ и σ₃; оба положительными, то σ₁ и σ₂.

Главные напряжения обладают свойством экстремальности – одно из них наибольшее, другое – наименьшее из всех возможных в данной точке тела (помним о том, что сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках постоянна). Для доказательства исследуем на экстремум функцию σ_α (формула 3.9). Продифференцируем её и приравняем производную нулю.



 – 2τ_xy cos 2α = (σ_x – σ_y)sin 2α  .

Площадки, характеризуемые этими углами, являются главными в соответствии с формулой (3.17).

3.4. Объёмное напряжённое состояние. Общие понятия

Объёмное напряжённое состояние встречается реже, чем плоское. Пример – толстостенный сосуд давления (рис.3.10). Подробным образом изучают объёмное напряжённое состояние в курсе теории упругости, в сопротивлении материалов – только основные понятия.

Рис.3.10

Рассмотрим объёмное напряжённое состояние, заданное главными напряжениями (рис.3.11).

Рис.3.11

Напряжения, действующие по наклонной площадке с нормалью n, находятся по формулам

σ_α = σ₁cos²α₁ + σ₂cos²α₂ + σ₃cos²α₃, (3.19)

. (3.20)

Эти формулы приведены без вывода. В них α₁, α₂, α₃ – углы, которые образуют нормаль к площадке n с осями x, y, z соответственно.

Если наклонная площадка параллельна одному из главных напряжений, то напряжения, по ней действующие, не зависят от этого главного напряжения. Они определяются по формулам плоского напряженного состояния в зависимости от двух других главным напряжений. Учитывая, что главные напряжения экстремальные, т.е. σ₁ = σ_max и σ₃ = σ_min, легко найти наибольшее касательное напряжение. Очевидно, оно действует по площадке, параллельной σ₂ и наклоненной под углом 45⁰ к σ₁ и σ₃ (рис.3.12). Определяется формулой (3.13)

. (3.21)

Рис.3.12

Известный интерес, особенно при изучении пластических деформаций, представляют напряжения, действующие по площадке, равнонаклонённой ко всем главным направлениям. Такая площадка называется октаэдрической, поскольку она параллельна грани октаэдра, который может быть образован из куба. Нормаль к этой площадке образует равные углы с главными направлениями:

α₁ = α₂ = α₃ = α.

Учитывая, что всегда

cos²α₁ + cos²α₂ + cos²α₃ = 1_,

Получаем

cos²α = ⅓.

Тогда из формул (3.19) и (3.20) находим

, (3.22)

. (3.23)

При изучении вопросов прочности деформация бесконечно малого элемента разделяется на деформацию изменения объёма и деформацию искажения формы. Оказывается, что σ_окт «ответственно» за изменение объёма, а τ_окт – за изменение формы.

Напряжение σ_окт представляет собой среднее напряжение для данного объемного напряженного состояния, σ_окт = σ_ср