Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
Как уже отмечалось в главе 1, основным объектом, изучаемым в сопротивлении материалов, является стержень. Сопротивление стержня различным видам деформации зависит от материала и размеров – очертания и длины оси, формы поперечных сечений. При растяжении прямого бруса геометрической характеристикой поперечного сечения была его площадь (см. главу 2). В настоящей главе рассмотрим основные геометрические характеристики поперечных сечений стержня, определяющие сопротивление различным видам деформаций.
4.1. Статические моменты.
Определение положения центра тяжести
Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную с координатными осями Oz и Oy (рис. 4.1). Выделим элемент площади dF с координатами z, y.
Рис. 4.1
По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно составить выражение для момента площади, которое называется статическим моментом. Так dSz = ydF и dSy = zdF – статические моменты элемента площади dF относительно осей Oz и Oy. Просуммировав по всей площади фигуры, получим статические моменты:
,
. (4.1)
Статические моменты имеют размерность единицы длины в кубе (например, см3). Могут быть положительными и отрицательными, знак зависит от положения осей относительно фигуры. Ясно, что относительно каких-то осей статические моменты равны нулю – это оси, проходящие через центр тяжести фигуры.
Рассмотрим задачу о параллельном переносе осей (рис.4.2.).
|
Рис. 4.2 |
Дано: параллельные оси Oz, Oy и Cz1 Cy1, точка C – центр тяжести фигуры, a и b – расстояния между осями, Sz и Sy – известны. Определить: Sz1 и Sy1. Из рис.4.2. следует, что y1 = y – a и z1 = z – b. По определению |
.
Подставим у1:
.
Получили формулы зависимостей между статическими моментами относительно параллельных осей.
(4.2)
где F – площадь фигуры;
a и b – расстояния между осями.
Если оси Cz1 и Cy1 – центральные (проходят через центр тяжести), то Sz1 = Sy1 = 0. Тогда
0 = Sz – ycF, 0 = Sy - zcF.
Статический момент любой фигуры равен произведению площади на расстояние от центра тяжести фигуры до оси:
Sz = Fyc, Sy = Fzc. (4.3)
Отсюда координаты центра тяжести
,
. (4.4)
По формулам (4.4.) можно найти положение центра тяжести любой плоской фигуры. На рис.4.3. изображена криволинейная лопатка направляющего аппарата гидротурбины. Её необходимо разбить на простые фигуры – прямоугольники, для каждого из которых известна площадь (Fi) и положение центра тяжести (zi, yi) относительно заданных нами осей.
Статический момент площади фигуры относительно данной оси определится как сумма статических моментов каждой части. Координаты центра тяжести
,
.(4.5)
Рис.4.3
4.2. Моменты инерции
Моментом инерции называется характеристика, отличающаяся от статического момента тем, что координата входит в подынтегральное выражение в квадрате (рис.4.4). Моменты инерции бывают осевые или экваториальные – формула (4.6.), полярный – (4.7) и центробежный – (4.8).
,
.(4.6)
Рис.4.4
. (4.7)
. (4.8)
Если начало координат совпадает с полюсом, то ρ2 = z2 + y2, следовательно
Jp = Jz + Jy. (4.9)
Размерность моментов инерции – единица длины в четвёртой степени (например, см4). Отметим, что осевой и полярный моменты инерции всегда положительны. Центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным
в зависимости от положения осей.
|
Рис.4.5 |
Очевидно, постепенно поворачивая оси, можно найти такое их положение, при котором центробежный момент инерции равен нулю. Такие оси называются главными осями инерции. Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии фигуры, всегда будут её главными осями инерции, поскольку в этом случае |
каждой положительной величине zydF соответствует такая же отрицательная по другую сторону от оси симметрии (рис.4.5) и их сумма по всей площади фигуры равна нулю.
Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями.
Вычислим моменты инерции прямоугольника относительно главных центральных осей (рис.4.6,а). Оси z и y – главные, т.к. они являются осями симметрии, Jzy = 0.
а б
Рис.4.6
Для определения осевого момента инерции относительно оси z выделим элементарную площадку в виде полоски, параллельной оси z:
dF = bdy,
.
Очевидно, что для определения Jy надо поменять местами стороны прямоугольника.
Главные осевые моменты инерции прямоугольника
,
. (4.10)
Вычислим полярный момент инерции круга относительно его центра, а также осевой момент инерции относительно центральной оси. При вычислении полярного момента инерции выделим элементарную площадку в виде тонкого кольца толщиной dρ (рис.4.6,б) и подсчитаем по формуле (4.7)
dF = 2πρdρ,
.
Полярный момент инерции круга
. (4.11)
Осевой момент инерции круга легко найти из выражения (4.9), учитывая, что в силу симметрии Jz = Jy . Следовательно,
. (4.12)