- •Краткий курс сопротивления материалов
- •Часть 1 Глава 1. Введение
- •1.1. Задачи и методы сопротивления материалов
- •1.2. Реальный объект и расчётная схема
- •1.2.1. Модели материала
- •1.3. Классификация сил (модели нагружения)
- •1.4. Напряжения
- •1.5. Общие принципы расчёта на прочность
- •Глава 2. Центральное растяжение – сжатие прямого бруса
- •2.1. Усилия и напряжения в поперечном сечении бруса
- •2.2. Условие прочности
- •2.3. Деформации. Закон Гука
- •2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса
- •2.5. Статически неопределимые системы
- •2.5.1. Расчёт на действие нагрузки
- •2.5.2. Температурные напряжения
- •2.5.3. Монтажные напряжения
- •2.6. Механические характеристики материалов
- •2.6.1. Испытание на растяжение малоуглеродистой (мягкой) стали
- •Характеристики прочности
- •Характеристики пластичности
- •Разгрузка и повторное нагружение
- •Диаграммы напряжений
- •2.6.2. Испытание на сжатие различных материалов
- •2.6.3. Определение твёрдости
- •2.6.4. Сравнение свойств различных материалов
- •2.7. Допускаемые напряжения
- •2.8. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 3. Напряжённое и деформированное
- •3.1. Компоненты напряжений. Виды напряжённых состояний
- •3.2. Линейное напряжённое состояние
- •3.3. Плоское напряжённое состояние
- •3.3.1. Прямая задача
- •3.3.2. Обратная задача
- •3.4. Объёмное напряжённое состояние. Общие понятия
- •3.5.Деформации при объёмном напряжённом состоянии.
- •3.5.1. Обобщённый закон Гука
- •3.5.2. Относительная объёмная деформация
- •3.6. Потенциальная энергия упругой деформации
- •3.7. Теории прочности
- •3.7.1. Задачи теорий прочности
- •3.7.2. Классические теории прочности
- •3.7.3. Понятие о новых теориях прочности
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Статические моменты.
- •4.2. Моменты инерции
- •4.3. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей
- •4.5. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Плоский изгиб прямого бруса
- •5.1. Конструкция опор. Определение реакций. Внутренние усилия
- •5.2. Дифференциальные и интегральные зависимости между q, q и m
- •5.3. Построение эпюр поперечной силы q и изгибающего момента m
- •5.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.5. Условие прочности по нормальным напряжениям. Рациональные формы сечений
- •5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •5.7. Распределение касательных напряжений в балках
- •5.8. Напряжённое состояние при поперечном изгибе.
- •5.9. Касательные напряжения в полках тонкостенных профилей. Центр изгиба
- •Нормальные напряжения:
- •5.10. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 6. Сдвиг
- •6.2. Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге
- •6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений
- •Глава 7. Кручение прямого бруса
- •7.1. Основные понятия. Определение крутящих моментов
- •7.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений
- •7.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость
- •7.4. Разрушение валов из различных материалов. Потенциальная энергия упругой деформации
- •7.5. Кручение стержней прямоугольного сечения
- •7.6. Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом
- •Оглавление
4.3. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
Дано: моменты инерции фигуры относительно осей z, y; расстояния между этими и параллельными осями z1, y1 – a, b.
Определить: моменты инерции относительно осей z1, y1 (рис.4.7).
Рис.4.7
Координаты любой точки в новой системе z1Oy1 можно выразить через координаты в старой системе так:
z1 = z + b, y1 = y + a.
Подставляем эти значения в формулы (4.6) и (4.8) и интегрируем почленно:
,
.
В соответствии с формулами (4.1) и (4.6) получим
,
, (4.13)
.
Если исходные данные оси zCy – центральные, то статические моменты Sz и
Sy равны нулю и формулы (4.13) упрощаются:
,
, (4.14)
.
Пример: определить осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z1, проходящей через основание (рис.4.6,а). По формуле (4.14)
.
4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей
Дано: моменты инерции произвольной фигуры относительно координатных осей z, y; угол поворота этих осей α (рис.4.8). Считаем угол поворота против часовой стрелки положительным.
Определить: моменты инерции фигуры относительно z1, y1.
Рис.4.8
Координаты произвольной элементарной площадки dF в новых осях выражаются через координаты прежней системы осей следующим образом:
z1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,
y1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.
Подставим эти значения в (4.6) и (4.8) и проинтегрируем почленно:
,
,
Учитывая формулы (4.6) и (4.8), окончательно находим:
,
, (4.15)
. (4.16)
Складывая формулы (4.15), получим: (4.17)
.
Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной. При этом каждый из них меняется в соответствии с формулами (4.15). Ясно, что при каком-то положении осей моменты инерции будут иметь экстремальные значения: один из них будет наибольшим, другой – наименьшим.
4.5. Главные оси и главные моменты инерции
Наибольшее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами u, υ. Следовательно, Juυ = 0. Начальную произвольную систему координат z, y надо повернуть на такой угол α0, чтобы центробежный момент инерции стал равным нулю. Приравняв нулю (4.16), получим
. (4.18)
Оказывается, что теория моментов инерции и теория плоского напряжённого состояния описываются одним и тем же математическим аппаратом, так как формулы (4.15) – (4.18) идентичны формулам (3.10), (3.11) и (3.18). Только вместо нормальных напряжений σ записываются осевые моменты инерции Jz и Jy, а вместо касательных напряжений τzy – центробежный момент инерции Jzy. Поэтому формулы для главных осевых моментов инерции приводим без вывода, по аналогии с формулами (3.18):
.(4.19)
Полученные из (4.18) два значения угла α0 отличаются друг от друга на 900, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает 450.
Радиус инерции и момент сопротивления
Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции:
, (4.20)
где iz – радиус инерции относительно оси z.
Из выражения (4.20) следует, что
,. (4.21)
Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции
,. (4.22)
Зная главные радиусы инерции, можно графическим способом найти радиус инерции (а, следовательно, и момент инерции) относительно произвольной оси.
Рассмотрим еще одну геометрическую характеристику, характеризующую прочность стержня при кручении и изгибе – момент сопротивления. Момент сопротивления равен моменту инерции, делённому на расстояние от оси (или от полюса) до наиболее удалённой точки сечения. Размерность момента сопротивления – единица длины в кубе (см3).
Для прямоугольника (рис.4.6,а) ,, поэтому осевые моменты сопротивления
,. (4.23)
Для круга (рис.4.6,б),, поэтому полярный момент сопротивления
. (4.24)
Для круга ,, поэтому осевой момент сопротивления
. (4.25)