DifYr

Фиксируем произвольную точку (x0; y0) 2 Di. Положим C = G(y0) - F(x0).

Тогда

(x; y; C ) = G(y) - F(x) - C = 0

есть интегральная кривая проходящая через точку

(x0; y0) 2 Di.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть (x; y) = 0 некоторая интегральная кривая, лежащая в области Di и (x1; y1) точка лежащая на этой интегральной кривой. Пусть, далее, y = '(x); x 2 ( ; ) решение задачи Коши с начальными данными x1 и y1. Тогда существует C = G(y1) - F(x1) 2 R, для которого

(x; '(x); C ) = G('(x)) - F(x) - C 0 на ( ; );

т.е. через точку (x1; y1) 2 Di проходят две интегральные кривые. В силу теоремы 1 (Кош´и) эти интегральные кривые совпадают в области Di, т.е. для всех (x; y) 2 Di имеем

(x; y) = (x; y; C ) = G(y) - F(x) - C :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, соотношение (1.23) является общим интегралом уравнения (1.20) в каждой области Di.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Отметим, что иногда через каждую точку интегральных кривых y = yk; a < x < b; могут проходить более одной интегральной кривой. Поэтому эти

интегральные кривые уравнения (1.20) требуют дополнительного исследования.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
	dy		= x2y:	(1.26)
	dx

Решение. Так как f(x; y) = x2y, то область определения уравнения есть domf = R2.

Определим тип уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тип уравнения – уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

dy		= x2 dx; y 6= 0	(1.27)
y
		и
		y = 0:	(1.28)

Очевидно, что y = 0 есть интегральная кривая уравнения (1.26), которая делит область определения урав-

нения (1.26) на две односвязные подобласти: верхняя и нижняя полуплоскости.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Соотношение

Z	dy	= Z	x2 dx + ln C; C > 0; y 6= 0	(1.29)
	y

является общим интегралом в верхней или нижней полуплоскости.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Вычисляем интегралы:

ln jyj = x3 + ln C; C > 0; y 6= 0: 3

Потенцируем:

x3

jyj = C e 3 ; C > 0; y 6= 0:

Избавляемся от модуля:

x3

y = C e 3 ; C 6= 0; y 6= 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак:

x3

y = C e 3 ; C 6= 0; y 6= 0

есть общее решение уравнения (1.26) в верхней или нижней полуплоскости и ещё решение y = 0. Решение y = 0 можно включить в общее решение уравнения (1.26) убрав условие C 6= 0.

x3

Ответ: y = C e 3 есть общее решение уравнения (1.26)

в R2.

y0 = x2y

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

dy		=		1	:	(1.30)
	dx			y
Решение. Так как f(x; y) =			1, то область определения
			y

уравнения (1.30) есть domf = R2 n f(x; y) j y = 0g, т.е. верхняя или нижняя полуплоскость.

Определим тип уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit