DifYr

1.6.Уравнения вида y0 = f(x)

Задано дифференциальное уравнение

	dy		= f(x);	(1.14)
	dx

где f : (a; b) -! R непрерывна на (a; b). Областью определения уравнения (1.14) является полоса

D = f(x; y) j a < x < b; -1 < y < 1g R2:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

В курсе интегрального исчисления показано, что все функции

y = F(x) + C; C 2 R;

(1.15)

Z

где F(x) = f(x) dx одна из первообразных для функ-

ции f на (a; b), являются решениями дифференциального уравнения (1.14) на интервале (a; b), при каждом фиксированном C 2 R.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Покажем, что соотношение (1.15) есть общее решение дифференциального уравнения (1.14) в области D.

Фиксируем произвольную точку (x0; y0) 2 D. Положим C = y0-F(x0). Тогда y = F(x)+C есть решение уравнения (1.14) на интервале (a; b), график которого проходит через выбранную точку (x0; y0) 2 D.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть y = '(x) решение уравнения (1.14) на интервале (a; b), график которого лежит в области D.

Возьмём произвольное x1 2 (a; b) и положим y1 = '(x1), т.е. точка (x1; y1) 2 graf '. Тогда через точку

(x1; y1) 2 graf ' D проходит интегральная кривая y = F(x) + C ; a < x < b, где C = y1 - F(x1). В силу теоремы 1 (Коши), для всех x 2 (a; b) имеем

'(x) = F(x) + C :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Таким образом, выражение (1.15) есть общее решение уравнения (1.14) в области D. Задаваясь определённым численным значением C, мы получаем частное решение. Все частные решения являются непрерывными и дифференцируемыми функциями от x во всём интервале a < x < b.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Для выяснения смысла произвольной постоянной в формуле (1.15) целесообразно написать первообразную F функции f на интервале (a; b) в виде определённого

интеграла с переменным верхним пределом:

Zx

y = f(t) dt + C;

(1.16)

x0

где x0 – любая точка интервала (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если дать переменному x значение x0, то мы получим:

y(x0) = C:

Обозначая значение искомой функции при x = x0 через

y0, получаем вместо формулы (1.16):
Zx	(1.17)
y = y0 + f(t) dt:
x0

Таким образом, частное решение вполне определится,

если задать начальное значение искомой функции, т. е. то значение, которое она должна принимать при неко-

тором определённом (начальном) значении x0 независимого переменного.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак:

через каждую точку полосы

D = f(x; y) j a < x < b; -1 < y < 1g R2

плоскости xOy проходит единственная интегральная кривая уравнения (1.14);

любая интегральная кривая уравнения (1.14) может

быть получена из одной определённой, например, из

Zx

y = F(x) = f(t) dt, путём переноса graf F парал-

x0

лельно оси Oy на (положительный или отрицательный) отрезок C = y0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 1. Решить уравнение
y0 = cos x:	(1.18)

Решение. Область определения уравнения (1.18) – всё пространство R2.

Правая часть уравнения (1.18) непрерывна на R2.

Определим тип уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Общее решение уравнения (1.18) в R2 имеет вид

Z

y = cos x dx + C = sin x + C:

y0 = cos x

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit