3289-electrodinam

Е-колебания:

mnp = Emnp z

sin

mπx

sin nπy cos

pπz

−

1

pπ

×

E

0

2

m

0

a

b

L

L

γ mn

×

x

mπcos

mπx

sin nπy + y

nπsin

mπx

cos

nπy

sin

0

a

a

b

0

b

a

b

mnp = jEmnp

ωmnpε

x

nπsin

mπx

cos nπy −

H

m

0

γ2

0

b

a

b

mn

− y

mπcos

mπx

sin nπy cos

pπz

,

0

a

a

b

L

pπz ;

L (10.14)

где E0mnp — неопределенные коэффициенты. Индексы m, n, p мо-

гут принимать следующие значения: m, n = 1, 2, …;

p = 0, 1, 2, …

(см. п. 10.1.1).

Н-колебания:

= −iH mnp

ωmnpμ

−x

nπcos mπx sin nπy +

E

m

0

γ2

0

b

a

b

mn

+ y

mπsin mπx cos nπy sin

pπz

;

0

a

a

b

L

(10.15)

mπx

nπy

pπz

1

pπ

mnp

Hm

= H0

z0 cos

cos

sin

− j

×

a

b

L

2

L

γ mn

× −x

mπsin mπx cos nπy + y

nπcos mπx sin nπy cos

pπz

.

0

a

a

b

0

b

a

b

L

В отличие от Е-колебаний, в данном случае m, n = (0), 1, 2, … и p = 0, 1, 2, …; нуль в скобках означает, что m и n не могут вместе быть равны нулю.

Прежде чем анализировать собственные колебания прямоугольного резонатора, отметим, что записанное представление полей не является единственно возможным. Можно тремя различными способами выбирать продольную ось z, т.е. получать резонатор,

241

мысленно перегораживая три разных ортогонально ориентированных прямоугольных волновода, как показано на рис. 10.4,а. Мы получим три различных классификации собственных колебаний.

Возвращаясь к выбору индексов m, n, р в формулах (10.13) и (10.14), видим, что любая комбинация трех целых чисел, одно из которых может быть заменено нулем, определяет один или несколько типов колебаний резонатора. Разные собственные колебания (в частности, Emnp или Hmnp), имеющие одинаковые собственные частоты, называются вырожденными. Очевидно, что различные линейные комбинации полей такого рода также представляют собой собственные колебания.

Рис. 10.4. Три различных классификации собственных колебаний прямоугольного резонатора в зависимости

от выбора продольной оси z

242

Какова низшая собственная частота резонатора без потерь? Чтобы найти ее значение при заданных размерах a, b и L, надо минимизировать выражение для ωтпр (10.13) соответствующим выбо-

ром чисел m, n и р. Одно из них, которое отвечает наименьшему размеру, берется равным нулю, а каждое из оставшихся — единице. Соответствующий тип колебаний резонатора называется основным.

Структура его поля показана на рис. 10.4,б при трех вариантах выбора системы координат. Одна и та же структура получает разные обозначения: Е110, Н101, Н011. Нулевой индекс соответствует той оси (x, y или z), вдоль которой поле однородно.

Рассмотрим несколько картин силовых линий собственных колебаний прямоугольного резонатора (рис. 10.5, 10.6).

Рис. 10.5. Структура поля Н101 в прямоугольном резонаторе

На рис. 10.5 показан тип колебаний Н101; на рис. 10.6 — тип Е111. Эти изображения полезно сравнить с соответствующими

мгновенными снимками волн в прямоугольном волноводе. Таким образом, сопоставляются стоячие и бегущие волны. Различие картин силовых линий состоит в том, что системы электрических и магнитных линий в одном случае сдвинуты на Λ4 по отношению друг к другу. При этом в волноводе вектор Пойнтинга вдоль оси z не меняет знак.

243

Рис. 10.6. Структура поля Е111 в прямоугольном резонаторе

В резонаторе полные поля E и H сдвинуты по фазе на 90°, а средние значения вектора Пойнтинга равны нулю.

10.2.2. Другие полые резонаторы

Рассмотрим в краткой форме некоторые другие полые электромагнитные резонаторы.

Рассекая идеально проводящими поперечными плоскостями коаксиальную линию, получаем коаксиальный резонатор. Если ограничиться рассмотрением собственных колебаний типа Т, собственные частоты ω = ωр будут определяться формулой (10.5). Соот-

ветствующие типы колебаний будем обозначать Тр. На рис. 10.7 показано строение поля типа Т1.

Как известно, при относительно низких частотах используются квазистационарные резонаторы (колебательные контуры), составляемые из индуктивных и емкостных элементов. Поскольку электрическое и магнитное поля при этом можно считать пространственно разделенными, применяется теория цепей. Близкими свойствами обладают некоторые полые резонаторы, используемые, в частности, в электронике СВЧ. Таков, например, тороидальный

244

резонатор, показанный на рис. 10.8. Его электрическое поле при основном типе колебаний можно рассматривать как сосредоточенное между центральными плоскими элементами в узком зазоре.

Рис.10.7. Структура поля Т1 в коаксиальном резонаторе

Принимая эту часть за плоский конденсатор, имеем C = εSd

(рис. 10.8,а).

Рис. 10.8. Структура электрического и магнитного полей тороидального резонатора при основном типе колебаний

Магнитное поле описывается концентрическими силовыми линиями, подобно полю тороидального соленоида, так что H = I2πr , где I — полный ток резонатора, линии которого расходятся в радиальных сечениях (рис. 10.8,б). Поэтому

245

	L =	Φ	≈	μμ0	∫	Hds =	μμ0	∫	ds.
		I					2π
				I	S			S	r

Собственную частоту основного типа колебаний определим по формуле ω = (LC) −1/ 2 . Внося L и C , имеем

	εμ2	S ∫	−1
ω = 2πd			ds .	(10.16)
	c	S	r

Рассматривавшиеся выше полые резонаторы типичны для техники СВЧ, главным образом для диапазона сантиметровых волн. Их отличительным признаком является весьма высокая добротность, которая в отдельных случаях может превышать 105. В силу ряда причин (в частности, технологических) наиболее распространены цилиндрические резонаторы. Известно, что цилиндрический резонатор легко сделать перестраиваемым, снабдив передвижным дном — «поршнем». Для типов колебаний Н0mp так называемый бесконтактный поршень, т.е. дно, не касающееся цилиндрической поверхности, почти не нарушает условий существования поля, не разрывая путей токов в оболочке (они азимутальные). Различные полые резонаторы сложной формы незаменимы в СВЧ-электро- нике.

10.2.3. Твердотельные и планарные резонаторы

Развитие линий передачи затронуло и принципы конструирования резонаторов. Миниатюризация полых резонаторов возможна лишь на основе применения все более оптически плотных заполняющих сред. Поскольку собственные частоты изменяются как

ε−12 , можно изготовить электромагнитный резонатор малых размеров, металлизировав поверхность диэлектрического шарика или, например, диска с высокой проницаемостью. Однако в металлизации нет необходимости (к тому же появятся потери в металле): диэлектрическое тело в оптически менее плотной среде (например,

246

воздухе) само способно быть резонатором. Диэлектрические резонаторы находят применение на практике.

На рис. 10.9,а показаны диэлектрические резонаторы, помещенные в полый волновод. Физическая причина, обусловливающая накопление энергии внутри диэлектрического тела, в определенном смысле та же, что при полном отражении волн от границы с менее оптически плотным диэлектриком.

Задача о собственных колебаниях диэлектрического шара строго решается методом разделения переменных. При этом внутреннее поле представляется так же, как в случае полого резонатора, а внешнее — через функции Ханкеля. Удовлетворение условиям непрерывности Eτ и Hτ на поверхности шара приводит к двум

уравнениям относительно собственных волновых чисел — для классов колебаний Е и Н.

аб

Рис. 10.9. Диэлектрические резонаторы, помещенные в полый волновод (а); прямоугольный и дисковый полосковые резонаторы (б)

Поскольку миниатюризация линий передачи привела к появлению различных планарных структур, были созданы и соответствующие планарные резонаторы. Таковы различные полосковые резонаторы, например прямоугольный и дисковый (рис. 10.9,б).

247

10.2.4. Оптические и квазиоптические резонаторы

Системы зеркал и линз могут направлять потоки электромагнитной энергии. Если в такого рода структуре созданы условия существования стоячих волн, мы получим резонатор. Ясно, что простейшим будет резонатор, образованный двумя зеркалами.

На первый взгляд, такая открытая структура кажется менее выгодной, чем полый резонатор, поскольку можно ожидать значительных потерь на излучение. Но необходимо учитывать, что зеркальные резонаторы применяются в условиях, когда их размеры на несколько порядков превышают длину волны. При подобных относительных размерах полого резонатора, т.е. при использовании собственных колебаний весьма высокого порядка, мы попадаем в сгущенную область его спектра: на некоторый фиксированный интервал частот приходится относительно много типов собственных колебаний. Это нежелательно по ряду причин; учитывая потери, можно установить, что, начиная с некоторой частоты, полый резонатор должен утратить резонансные свойства. Существование эффекта сгущения спектра легко проверить на примере прямоугольного резонатора. Взяв формулу (10.5), видим, что с ростом m, n и р соседние собственные частоты действительно сближаются. Между тем сгущение спектра отсутствует в классе Т-колебаний: частотные интервалы между соседними типами колебаний везде одинаковы. Заметим, что в лучевой трактовке различным типам колебаний полого резонатора сопоставляются разные типы допустимых многократных отражений. Если же рассматривать Т-колебания для системы двух параллельных идеально проводящих плоскостей, то они описываются простейшей лучевой схемой (рис. 10.10,а), содержащей прямой и обратный нормальные лучи.

Оптический резонатор из двух плоских параллельных зеркал характеризуется тем, что при достаточно больших углах α (рис. 10.10,б) многократные отражения невозможны. Не слишком большие потери на излучение будут только при малых α. Поэтому спектр собственных колебаний оказывается в значительной степени «прореженным». Если иметь в виду лучевые схемы, то возможны

248

лишь параксиальные системы лучей. Поля собственных колебаний, практически, являются Т-полями.

Рис. 10.10. Оптический резонатор из двух плоских параллельных зеркал (а, б); резонатор

с вогнутыми зеркалами (в)

Плоские резонаторы, однако, не обладают удовлетворительной устойчивостью по отношению к деформации, например перекосам зеркал, которые приводят к резкому возрастанию потерь на излучение. Чаще применяются резонаторы с вогнутыми зеркалами, значительно более устойчивые по отношению к деформациям, но отличающиеся несколько меньшим разрежением спектра. При лучевой трактовке типов колебаний таких резонаторов приходят к некоторым замкнутым конфигурациям, не выходящим за пределы каустики — линии, ограничивающей систему лучей (рис. 10.10,в).

Имеется сходство между процессами в линзовой линии и резонаторе с вогнутыми зеркалами. В обоих случаях существуют типы

249

волн (бегущих и соответственно стоячих), которые имеют разные поперечные распределения; за пределами некоторой осевой зоны поля быстро убывают.

Контрольные вопросы

1.Чем отличаются структуры полей Е и Н в прямоугольном волноводе и резонаторе, образованном на его основе?

2.Дайте определение добротности резонатора. Какие виды потерь энергии в нем присутствуют?

3.Объемный резонатор на частоте 1 ГГц имеет добротность 6000. За сколько периодов колебаний амплитуда электрического и

магнитного полей уменьшится в нем в e2π ≈ 23 раза и какое это займет время?

Ответ: за 6000 периодов и 6 мкс.

4.Прямоугольный резонатор возбуждается на типе колебаний

Н101. Как будет называться этот тип колебаний, если оси y и z поменять местами?

5.Выведите формулу для низшей частоты кубического резонатора и определите ее для резонатора со стороной 0,1 м.

Ответ: f0 = 2,12 ГГц.

6.За счет какого явления электрические и магнитные поля удерживаются внутри диэлектрического резонатора?

7.Почему в оптическом диапазоне существуют открытые резонаторы, а не замкнутые?

250