3289-electrodinam

б) оптическая плотность поглощающей среды очень велика ( k2 >> k1 ). Пренебрегая в (7.55) числителем в сравнении со знаменателем, имеем

tg ξ = 0 ξ = 0.

(7.57)

Большое практическое значение имеет случай, когда вторая среда проводник, для которого

k2 2 = ωμσ,

и исходное требование (б) всегда выполняется ввиду большой удельной проводимости σ.

Результат (7.57) показывает, что при любых углах падения ϕ на границу весьма плотной поглощающей среды преломленная волна распространяется практически в направлении нормали к границе. Плоскости равных амплитуд и фаз при этом совпадают.

7.8. Приближенные граничные условия Леонтовича

Полученный в предыдущем подразделе результат (7.57) приводит к мысли, что не только плоская волна, но и произвольное электромагнитное поле у границы достаточно плотной среды

k2		>>		k1		(7.58)

возбуждает волны, уходящие в нее по нормали к поверхности раздела, так что можно пользоваться формулой

		= Z2		n0′ ,	(7.59)
	E		H,

где n0′ — внутренняя нормаль к поверхности плотной среды; Z2 —

ее волновое сопротивление.

Наиболее важен случай, когда рассматриваемая плотная среда

проводник, тогда можно положить
ε = − jσ ω	(7.60)

181

и, таким образом,

Z2	= j	ωμ	= (1 + j)	ωμ.	(7.61)
		σ		2σ

В силу непрерывности векторов поля соотношение (7.59) справедливо и на граничной поверхности (рис. 7.13): векторы Е и Н уходящей в проводник волны равны тангенциальным компонентам соответствующих напряженностей поля в примыкающей к нему среде. Итак, на границе проводника существует следующее соотношение:

					′		(7.62)
Eτ = Z2 H2					,n0	.

Введя местную систему координат с осью z, направленной по внутренней нормали (z0 = n0), перепишем равенство (7.62) в скалярной форме:

Ex = Z2H y ;

(7.62а)

Ey = −Z2Hx.

Соотношения (7.62), (7.62а) известны под названием приближенных граничных условий Леонтовича.

o Eτm

Hτm

Em

Hm

n0

Рис. 7.13. К выводу приближенных граничных условий Леонтовича

Они указывают, в частности, на тот факт, что электрическое поле на поверхности проводника (в отличие от идеального проводника, когда σ → ∞) имеет тангенциальную компоненту. Эта со-

182

ставляющая очень мала и может не учитываться до тех пор, пока не ставится задача вычислить потери энергии в проводнике. Очевидно, что в приближении Eτ = 0 не принимается во внимание уходя-

щий в проводник поток энергии.

Применение граничных условий Леонтовича к различным задачам непосредственно связано со степенью проникновения поля через границу.

7.9. Наклонное падение на границу с диэлектриком. Угол Брюстера

Выясним вначале условия, при которых волна горизонтальной поляризации без отражений проходит из одной среды в другую. Мы должны приравнять нулю коэффициент отражения:

ρг

=

Z2 cos ϕ− Z1 cos θ

= 0 ;

Z2 cos ϕ+ Z1 cos θ

Z

2

2

=

cos θ

2

=

1− n1,2 sin2

ϕ

;

1−sin2 ϕ

Z1

cos ϕ

Z2

2

−

Z2

2 sin2 ϕ =1− n

sin2

ϕ.

Z

Z

1,2

1

1

Отсюда

1−

Z2

2

1−

μ2ε1

ε2

−

μ2

Z

μ ε

ε

μ

sin2 ϕ =

1

=

1 2

=

1

1

.

(7.63)

Z2

2

− n2

μ2ε1

−

μ1ε1

μ2

−

μ1

μ ε

μ ε

μ

μ

Z1

1,2

1

2

2

2

1

2

Положим в (7.63) μ2 = μ1 = μ0 , т.е. диэлектрики — немагнит-

ные среды. В этом случае угла, при котором отражение отсутствует, для горизонтально поляризованной волны не существует.

Проведем аналогичные действия в отношении волны, имеющей вертикальную поляризацию:

183

ρ

в

=

Z1 cos ϕ− Z2 cos θ

= 0

Z1

= cos θ

;

Z cos ϕ+ Z

2

cos θ

Z

2

cos ϕ

1

Z1

2

μ1ε2

μ2

ε2

1−

1−

−

2

Z2

μ ε

μ

ε

sin

ϕ =

=

2 1

=

1

1

.

(7.64)

2

μ1ε2

ε2

Z1

−

μ1ε1

−

μ1ε1

−

ε1

μ ε

μ ε

ε

ε

μ2ε2

Z2

2

1

2

2

1

2

Как и ранее, предположим

μ2 = μ1 = μ0 .

(7.65)

Из (7.64) с учетом (7.65) получим

1−

ε2

ε1

−1

ε2

sin2 ϕ =

ε1

=

=

1

.

(7.66)

ε

ε

2

ε

ε

2

1

1

ε

− ε

1−

1

ε

+1

ε2

1

2

2

Сравним (7.66) с известной тригонометрической формулой

sin2 ϕ =	1		(7.67)
	ctg2
		+1

и обнаружим, что отражение отсутствует, если волна падает под так называемым углом Брюстера

ϕБ = arctg	ε2 .	(7.68)
	ε1

Если вертикально поляризованная волна направлена к границе раздела двух диэлектрических сред под углом Брюстера, то она без отражения проходит из одной среды в другую.

184

Контрольные вопросы

1. Дайте определения плоскости поляризации, вертикально и горизонтально поляризованных волн. Верно ли, что при вертикальной поляризации вектор E перпендикулярен границе раздела?

2. Дайте определение волнового вектора электромагнитной волны. Для чего он вводится?

3.Как записывается фазовый множитель волны в точке с координатами (x, y, z) через волновой вектор и радиус-вектор, проведенный в эту точку?

4.Запишите законы Снеллиуса. Для границ каких сред они справедливы?

5.Дайте определение коэффициентов отражения и прохожде-

ния для волн с горизонтальной и вертикальной поляризацией.

Счем связано существующее отличие в их определении?

6.При нормальном падении волны на границу плоскость падения и поляризация волны становятся неопределенными. Почему в этом случае коэффициенты прохождения, вычисленные по формулам для вертикальной и горизонтальной поляризаций, дают различные результаты?

7.В каких случаях граница идеальных диэлектриков полностью отражает или не отражает электромагнитную волну?

8.Какие волны называются неоднородными, а какие — поверхностными? Приведите примеры их появления.

9.Опишите структуру волн в обеих средах при явлении полного внутреннего отражения.

10.Из законов Снеллиуса следует, что угол преломления в поглощающей среде комплексный. Связано ли это с изменением типа волны при прохождении границы? Как найти истинный угол преломления?

11.В чем состоит приближенный характер граничных условий Леонтовича? Противоречат ли они строгим граничным условиям электродинамики или дополняют их?

185

8. Излучение электромагнитных волн

8.1. Уравнения Максвелла для области, содержащей источники. Неоднородные волновые уравнения

Понятие излучения уже затрагивалось в этой книге. Так, мы говорили об электромагнитных полях, возникающих в результате действия сторонних сил, т.е. в результате преобразования некоторой энергии в электромагнитную. В свою очередь сторонние силы в электродинамике удобно формализовать при помощи задания сторонних токов. В качестве стороннего может рассматриваться любой заданный ток. Таков, например, ток антенны, поддерживаемый действием генератора. Область существования стороннего тока выступает в качестве источника излучения. Поле излучения находится как решение уравнений Максвелла или вытекающих из них уравнений второго порядка при заданной плотности стороннего тока.

Записать эти уравнения нам сейчас предстоит. Начнем с уравнений Максвелла в комплексной форме:

rot H

= jωεE +

j

ст;

(8.1)

rot

.

(8.2)

E

= − jωμH

Из закона сохранения заряда следует:

div

ст

= − jωρст.

(8.3)

j

Найдем дивергенцию уравнения (8.1):

div rot H

= jωεdiv E + div

j

ст = jωεdiv E − jωρст = 0 .

(8.4)

Из (8.4) получим

div

=

ρст

.

(8.5)

E

ε

Выразив из равенства (8.2)

= −

1

rot

,

H

E

jωμ

186

подставим в (8.1):

rot rot

= k2

− jωμ

;

E

E

j

ст

2

+ k2

= grad div

+ jωμ

.

E

E

E

j

ст

Заменив div

из (8.5), окончательно получаем

E

2

+ k2

= grad

ρст

+ jωμ

.

(8.6)

E

E

j

ε

ст

Теперь из равенства (8.1) выразим

=

1

1

E

rot H

−

j

jωε

jωε

ст

и подставим в (8.2):

= k2 H

+ rot

.

rot rot H

j

ст

= 0 , получим

Учитывая, что div H

2 H

+ k2 H

= −rot

.

(8.7)

j

ст

Уравнения (8.6) и (8.7) называются векторными уравнениями Даламбера. На основании уравнений Даламбера основная задача электродинамики для области, содержащей источники, сводится к отысканию векторов E и H по заданному распределению плотностей сторонних токов jст и зарядов ρст.

8.2. Электродинамические потенциалы

Как и в теории стационарных полей, в электродинамике используются различные скалярные и векторные функции. Обсудим употребление уже известных потенциалов A и ϕ, только зададим

их в комплексной форме: ϕ, A — комплексные электродинамические потенциалы.

187

Из соотношения (3.17) с привлечением материального уравнения зададим

=

1

rot

.

(8.8)

H

A

μ

Подставив (8.8) в (8.2), получим:

rot

= − jωrot

;

E

A

rot (

+ jω

)= 0.

E

A

Далее, на основании тождества rot grad ϕ ≡ 0 запишем:

+ jω

= −grad ϕ;

(8.9)

E

A

= −(grad ϕ+ jω

).

(8.10)

E

A

Уравнения (8.8) и (8.10) дают возможность определить комплексные векторы поля, исходя из электродинамических потенциалов. Взяв реальные части этих комплексных величин, найдем векторы E и H . Выведем уравнения для электродинамических потенциалов. Подставим выражения для E и H (8.8), (8.10) в первое уравнение Максвелла (8.1):

1

rot rot

= − jωεgrad ϕ+ ω2ε

+

.

(8.11)

A

A

j

μ

ст

Выполним ставшие уже привычными преобразования:

grad div

− 2

= − jωεμgrad ϕ− k2

+μ

.

(8.12)

A

A

A

j

ст

Получим

2

+ k2

= grad (div

+ jωεμϕ)−μ

ст .

A

A

A

j

Наложим дополнительное условие

div

= − jωεμϕ.

(8.13)

A

Данное условие называют калибровкой Лоренца.

188

В результате получим уравнение для векторного электродинамического потенциала

	2		+ k2		= −μ		.	(8.14)
		A		A
						j
						ст

Установим связь между векторным и скалярным потенциалами. Из уравнения (8.13) выразим

ϕ = −

1

div

A

jωεμ

и подставим в (8.10):

grad div

A

E = −

jωεμ

+ jωA ;

(8.15)

E = − kjω2 (grad div A + k2 A).

Видим, что H и E определяются через потенциал A посредством выражений (8.8) и (8.15).

Теперь получим уравнение для скалярного потенциала ϕ. Выражаем из (8.8) A и подставляем в калибровку (8.13). Получаем:

2ϕ+ k2ϕ = −	ρст	.	(8.16)
	ε

Уравнения (8.14) и (8.16) являются соответственно векторным и скалярным уравнениями для электродинамических потенциалов.

Когда решается статическая задача, т.е. k = 0, ω = 0, то

ϕ = −ρε . Тогда в некоторой точке М (рис 8.1) существует поле, по-

тенциалы которого определены по известным формулам (см. раздел 2). Когда мы пренебрегаем временем распространения, т.е.

ϑф → ∞ , то 2ϕ = −μ jст. Динамические задачи сводятся к стацио-

нарным. Уравнения Даламбера превращаются в уравнения Пуассона, а лоренцева калибровка — в кулоновскую. Это утверждение эквивалентно условию << λ, то есть расстояние между объектами или их длина гораздо меньше длины волны.

189

8.3. Решение уравнений для электродинамических потенциалов

Пусть в объеме V действуют источники, создающие сторонние токи, плотность которых jст , и сторонние электрические заряды с объемной плотностью ρст (рис. 8.1).

Чтобы установить связь поля с источником излучения, надо найти решение уравнений (8.14) и (8.16).

Рассмотрим вначале статический случай, т.е. ∂∂t = 0.

Тогда в некоторой точке М суще-

r

M

ствует поле, потенциалы которого оп-

ределены по формулам

V

o

1

ρст

ст

ρст

ϕ =

∫

dv ;

(8.17)

j

4πεV

r

Рис. 8.1. К вычислению

=

μ

jст

dv .

(8.18)

скалярного запаздыва-

A

4π ∫

ющего потенциала

r

V

Чтобы учесть конечное время распространения сигнала, будем полагать, что поле в точке М в момент времени t определяется зна-

чением токов и зарядов в предыдущий момент t −t′, где

t′ =

r

—

ϑ

ф

время запаздывания. Тогда

ϕ(t )=

1

∫

ρст (t −t′)

dv;

(8.19)

4πε

r

V

μ

′

А(t) =

jст(t −t )

dv .

(8.20)

4π

∫

r

V

Это формулы для так называемых запаздывающих потенциа-

лов.

Запишем формулы для запаздывающих потенциалов, описывающих гармонические процессы. Пусть

190