3289-electrodinam
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
ρст = ρстm cos ωt ; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ст |
= |
|
|
стm cos ωt . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|||||||||||||||
В момент времени t −t′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ρст = ρст cos(ωt −ωt′)= ρст cos(ωt − k r); |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
cos(ωt −ωt′)= |
|
|
cos(ωt |
− k r ). |
|||||||||||||||||
|
j |
j |
|
j |
|||||||||||||||||||||||
|
ст |
|
ст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ст |
|
|
|
|
|
|||
Перейдем к комплексной форме: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∫ |
ρстme− jk r |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ϕстm = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
; |
(8.21) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πεV |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
стme− jk r |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Aстm = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv . |
|
(8.22) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4π |
∫ |
|
|
r |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это не что иное, как частные решения уравнений (8.14) и (8.16), соответствующие расходящимся от источника электромагнитным волнам.
Так, например, рассмотрим поле, создаваемое одним лишь колеблющимся зарядом
qст = ρm V cos ωt = qстm cos ωt,
расположенным в окрестности точки o (рис. 8.2). Согласно (8.21) комплексная амплитуда потенциала этого поля есть
ϕm = |
ρm V |
e− jkr |
= |
qстm |
e−ikr |
, |
(8.23) |
||
|
|
|
|||||||
|
4πε r |
|
4πε r |
|
|
||||
а сам потенциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = |
qст m |
cos(ωt − kr). |
|
(8.23а) |
|||||
|
|
||||||||
|
|
4πεr |
|
|
|
|
|
Поле имеет характер сферической волны, расходящейся из точки o: ее фронт — это сферическая поверхность (рис. 8.2,а), радиус которой возрастает со скоростью ϑ.
Легко проверить, что (8.23) действительно является решением уравнения (8.16). Запишем уравнение (8.16) в сферических
191
координатах, положив ∂∂θ = 0 и ∂∂α = 0. Поскольку поле ищется вне источника, то ρст m = 0. Тогда уравнение (8.16) будет иметь вид
1 d |
dϕ |
m |
|
|
|
||
|
|
r2 |
|
|
+ k2ϕm = 0. |
(8.24) |
|
|
|
dr |
|||||
r dr |
|
|
|
Подставляя (8.23) в (8.24), убеждаемся, что уравнение удовлетворяется:
1 |
|
d |
|
2 d e− jkr |
|
|
2 |
e− jkr |
|
||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
+ k |
|
|
≡ 0. |
r2 |
|
|
|
dr |
r |
|
|
r |
|||||
|
dr |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно проверить, что решением (8.24) будет также комплексная амплитуда
|
q |
e+ jkr |
|
|
|
ϕm = |
ст m |
r |
. |
(8.25) |
|
4πε |
|||||
|
|
|
Однако соотношение (8.25) соответствует волне, сходящейся к источнику (распространяющейся из бесконечности, рис. 8.2,б). Это решение в данном случае лишено физического содержания.
M
а б
r |
r |
o |
o |
Рис. 8.2. К вопросу определения характера поля, создаваемого одиночным колеблющимся зарядом
Рассмотренный пример, конечно, еще не позволяет составить представление о поле излучения. Если, как это показано на рис. 8.1, источники распределены в области V, то для нахождения электромагнитного поля следует учесть действие всех точек этой области, т.е. произвести интегрирование в соответствии с формулами (8.21), (8.23). При этом, как уже говорилось выше, достаточно вычислить
192
только векторный потенциал, так как скалярный исключается с помощью соотношения калибровки. Это означает, что для определения поля излучения достаточно знать сторонний ток. Однако исследование поля при произвольном распределении тока является весьма сложной задачей. В дальнейшем мы ограничимся изучением так называемых элементарных источников.
8.4. Элементарный электрический излучатель
Рассмотрим отрезок l , вдоль которого течет ток Iст = Iстm cos ωt . Может возникнуть сомнение относительно реаль-
ности такого изолированного элемента переменного тока. Для выяснения сущности вопроса привлечем закон сохранения заряда в форме (8.3). Поместив элемент тока на оси z декартовой системы координат (рис. 8.3,а), мы должны записать уравнение (8.3) в виде
div z |
|
|
|
= − jωρ |
|
или |
djстт |
= − jωρ |
|
. |
(8.26) |
|
0 |
j |
стт |
стт |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
стт |
|
|
dz |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приписывая отрезку l некоторую толщину, т.е. фактически заменяя его проводящим стержнем поперечного сечения S, имеем
jсттS = Iстт и ρсттS z = qстт, |
(8.27) |
где qстт — комплексная амплитуда заряда малого участка стержня
z .
Умножив обе части равенства (8.26) на S z , с учетом (8.27) получаем
Iст т = − jωqст т, |
(8.28) |
т.е. амплитуда заряда каждого участка пропорциональна изменению на нем амплитуды тока:
Iст т = |
dIст т |
z. |
|
dz |
|||
|
|
193
Но согласно условию амплитуда тока вдоль всего отрезка постоянна. Лишь на концах происходит ее изменение от нуля до Iст т
и от Iст т до нуля (рис. 8.3,б).
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
Отсюда в соответствии с (8.28) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
мы заключаем, что на всем отрезке, |
||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
кроме его концов, заряд отсутствует; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Im |
на концах же сосредоточены равные |
|||||
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по абсолютной величине и противопо- |
||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
z |
ложные по знаку колеблющиеся заря- |
|||||
|
− q |
|
|
+ q |
ды с комплексными амплитудами |
|||||||||
в |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
jIст m |
|
||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
qст m = ± |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 8.3. Элементарный |
|
ω |
||||||||||||
Иначе говоря, мы имеем дело с |
||||||||||||||
электрический излучатель |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диполем (рис. 8.3,в), момент которого |
гармонически колеблется с частотой ω и имеет комплексную амплитуду
p |
= − j |
Iст тl |
z |
|
. |
(8.29) |
ω |
|
|||||
m |
|
|
0 |
|
|
Первый искусственный излучатель, осуществленный Герцем, представлял собой именно подобие колеблющегося диполя. Два металлических шара перезаряжались с высокой частотой во время импульса индукционной катушки. Описание опытов Герца не входит в нашу задачу. Отметим лишь, что антенны, сравнимые по свойствам с излучателем Герца, применяются и в настоящее время. Элемент тока обычно рассматривается в качестве элементарного излучателя и называется диполем Герца.
Перейдем к анализу поля излучения диполя Герца. На основании равенства (8.22) комплексная амплитуда векторного потенциала элемента тока выражается интегралом:
|
|
|
μ |
∫ |
|
ст т e |
− jkr |
|
μ4IπстSт ∫e |
− jkr |
|
|
|
m = |
|
|
dv = z0 |
r dl. |
(8.30) |
||||
A |
|
||||||||||
|
j |
r |
|||||||||
|
4π |
||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
l |
|
|
194
Ограничиваясь расстояниями, значительно превышающими размер элемента,
r>>l, |
(8.31) |
мы можем поступать с множителем 1r под знаком интеграла как с постоянной величиной. Положим также, что элемент мал в сравнении с длиной волны:
l << λ, |
(8.32) |
так что величину |
|
kr = 2πr λ |
(8.33) |
можно считать одинаковой для всех точек излучателя. С учетом сказанного перепишем выражение (8.30) в виде
|
|
|
= z |
|
μIст т |
e− jkr |
V = z |
|
μlIст т |
e− jkr , |
(8.34) |
A |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
m |
|
0 |
4πS r |
|
0 4πr |
|
где V = Sl — объем, занимаемый током.
Определим z0 в сферической системе координат (рис. 8.4):
|
|
z0 = (r0cosθ− |
|
0sinθ). |
(8.35) |
|||||
θ |
||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= Iст т |
μl |
(r0 cos θ− |
|
0 sin θ)e− jk r . |
(8.36) |
|||
A |
θ |
|||||||||
|
4πr |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начнем с отыскания напряженности магнитного поля (8.8):
Hm = μ1 rot Am . Запись ротора вектора напряженности магнитного поля в сферических координатах имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Iст тl |
|
|
|
|
|
r2 sin θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r sin θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
. |
(8.37) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
H |
m = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂α |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos θ |
e |
− jk r |
|
|
|
−r |
|
sin θ |
e |
− jk r |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
195
z
|
|
|
z |
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
θ |
|
|
θ |
M |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
I |
|
ϑ0 |
M ϑ0 |
|
|
|
|
o
α
Рис. 8.4. Определение сферических проекций векторного потенциала
Как видно, вектор напряженности магнитного поля содержит только азимутальную составляющую:
|
|
|
I |
ст т |
l |
α |
|
|
sin θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Hm = |
|
|
|
|
0 |
jk sin θ e− jk r + |
r |
e− jk r |
|
= |
|||
|
4π |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
I |
ст т |
l |
1 |
|
|
|
= α0 |
|
|
|
|
+ jk sin θe− jkr . |
(8.38) |
|
4πr |
|
|
|||||
|
|
r |
|
|
Величину E теперь проще всего определить из первого уравнения Максвелла:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
rot H |
|
= jωεE |
|
E |
= |
rot H |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
jωε |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
т |
|
|
|
|
т |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
=− j |
Iст m l |
r |
|
2 |
|
1 |
+ jk |
cos θ+ |
|
|
1 |
|
1 |
+ j k −k2 |
sin θ e− jk r . |
|||||||||||||
|
E |
|
|
θ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
0 |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4πεω |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r2 |
|
|
(8.39)
Переходя в формулах (8.38), (8.39) от комплексов к векторам, записываем:
196
|
|
|
|
I |
ст т |
l |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Hα = |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
cos(ωt − kr)−sin (ωt |
− kr) sin θ; |
||||||||||||||
|
4πr |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
E |
= |
|
|
Iст тl |
|
|
k |
1 |
sin (ωt − kr)+ cos(ωt − kr) cos θ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
r |
|
|
2πr |
2 |
εω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.40) |
||||||||||
|
|
|
|
|
kr |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
E |
= |
Iст тl |
|
|
|
k |
2 |
|
|
1 |
|
−1 sin (ωt −kr )+ |
|
1 |
cos( |
ωt −kr) sin θ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||
θ |
|
4πrεω |
|
|
|
r |
|
|
kr |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
Hr = Hθ = Eα = 0.
Итак, поле элементарного электрического излучателя имеет характер сферической волны довольно сложного строения. Впрочем, слагаемые выражений (8.40), заключенные в квадратные скобки, не равноценны для полей на разных расстояниях от диполя. Это обстоятельство упрощает дальнейшее исследование.
8.5. Исследование поля электрического диполя
8.5.1. Поле в ближней зоне
Рассмотрим вначале поле в так называемой ближней зоне излучателя — на расстояниях, значительно меньших длины волны:
|
|
|
|
r << λ. |
|
(8.41) |
|||
Неравенство (8.41) можно переписать в виде |
|
||||||||
|
|
|
|
kr <<1. |
|
(8.42) |
|||
Отбросив малые члены в квадратных скобках (8.40), а также |
|||||||||
пренебрегая фазовым сдвигом kr , получаем: |
|
|
|||||||
Hα = |
|
Iстm l |
sin θcos ωt ; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
4πr2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Iстm l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Er |
= |
|
|
|
|
|
cos θsin ωt ; |
(8.43) |
|
|
4πεωr2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Iстm l |
|
|
|
|
|
E |
= |
|
|
|
sin θcos ωt . |
|
|
||
|
4πεωr3 |
|
|||||||
θ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
197
Поле в ближней зоне по своей конфигурации совпадает со стационарными электрическими и магнитными полями, причем векто-
ры E и H сдвинуты по фазе на π / 2 , поле носит чисто реактивный характер, передача энергии в ближней зоне не происходит. Электромагнитное поле в ближней зоне квазистационарно (изменяется во времени, но переноса энергии нет).
Все это объясняется тем, что поле в ближней зоне связано с источником. Происходит колебательное движение энергии вблизи источника. Становится ясным, что в ближней зоне излучение незначительно в сравнении с квазистационарным полем. Этого и следовало ожидать ввиду условия (8.41).
8.5.2. Поле в дальней зоне
В данном случае будем ориентироваться на неравенства
r >> λ , |
(8.44) |
kr >>1. |
(8.45) |
Теперь в соотношениях (8.40) можно пренебречь членами порядка 1/k2r2 и 1/kr:
Hα
Er
Eθ
= − |
Iст тl |
k sin (ωt − kr ) sin θ; |
|||
|
|||||
|
|
4πr |
|
||
= 0 ; |
|
|
(8.46) |
||
= − |
Iст тl |
k2 sin (ωt − kr) sin θ. |
|||
4πrεω |
|||||
|
|
Поле излучения в дальней зоне представляет собой сферическую волну, причем векторы E и H , как и в плоской волне, лежат перпендикулярно к направлению распространения, взаимно перпендикулярны и находятся в одной фазе. Вектор Пойнтинга направлен радиально. Средняя плотность потока энергии, переносимой волной:
|
|
= Re |
|
= r |
Em Hm |
= r |
Iст2 |
т(kl)2 Z0 |
sin2 |
θ. |
(8.47) |
||
П |
П |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
0 |
0 |
32π2r2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
198
Излучение максимально в экваториальной плоскости (θ=90°) и отсутствует в направлении оси излучателя (θ= 0).
Полное представление о характере излучения дает так называемая диаграмма направленности, которую строят, откладывая в произвольной меридиональной плоскости ряд отрезков, пропорциональных амплитуде электрического или магнитного поля в данном направлении (например, θ) для фиксированного расстояния r . Концы этих отрезков лежат на двух соприкасающихся окружностях (рис. 8.5,а). Аналогичное построение в пространстве приводит к объемной фигуре в виде тора (рис. 8.5,б).
z |
z |
θ = 0° |
E = 0 |
|
θ |
θ = 90
о
E = Emax
б
а
Рис. 8.5. Диаграмма направленности диполя Герца в плоскости, проходящей через ось диполя (а); пространственная диаграмма направленности (б)
Нетрудно вычислить полную среднюю мощность, излучаемую диполем Герца. Составляя поток комплексного вектора Пойнтинга через окружающую его сферическую поверхность (рис. 8.6), на основании выражения (8.47) запишем:
P |
= |
Iст2 |
т(kl)2 Z0 |
π 2πr2 sin3 θdθ dα. |
|
|
|
||||
cp |
32π2r2 |
∫ ∫ |
|||
|
|
|
|
0 |
0 |
В результате интегрирования получаем следующее выражение излучаемой мощности:
P |
= |
π I 2 |
Z |
|
|
l |
2 . |
(8.48) |
|
0 |
|
|
|||||||
ср |
|
3 |
ст m |
|
λ2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
199
Оно показывает, что излучение резко растет при ослаблении условия квазистационарности (8.41).
Величина
R |
∑ |
= |
2πZ |
0 |
l 2 |
(8.49) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
λ |
|
называется сопротивлением излучения диполя Герца, ибо она в соответствии с формулировкой закона Джоуля – Ленца
Pcp = 12 Iст2 тRΣ
характеризует мощность, рассеиваемую сторонним током в виде излучения.
На основании уравнений (8.40) можно построить картину поля элементарного излучателя для разных моментов времени и таким способом проследить за его форми-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рованием в процессе излучения элек- |
|
|
E |
|
|
r |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
тромагнитной энергии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 8.7 схематически показа- |
H |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
но строение электрического поля из- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
θ |
лучателя, исследованное этим путем. |
||||
|
|||||||||
|
|
o |
|
Как видно, в момент максимального |
|||||
|
|
|
|
|
|
αтока (заряды диполя при этом равны нулю) образуются «электрические вихри» (семейство замкнутых элек-
Рис. 8.6. К вопросу |
трических силовых линий), распро- |
|
вычисления полной средней |
страняющиеся затем от источника. |
|
мощности, излучаемой |
В дальней зоне любая достаточ- |
|
диполем Герца |
||
но малая область поля элементарного |
||
|
излучателя несет все признаки плоской волны. Векторы поля (8.46) перпендикулярны к направлению ее распространения, а отношение их амплитуд равно Z0 .
В заключение отметим, что короткие в сравнении с длиной волны проволочные (стержневые) антенны (см. рис. 8.7) очень близки по характеру излучения к элементарному излучателю и обычно отождествляются с ним.
200