3289-electrodinam

имеем

Emz = (Acos γx x + Bsin γx x)(C cos γy y + Dsin γy y). (9.35)

Полученное общее решение, содержащее шесть неизвестных постоянных А, В, С, D, γx и γy , не дает еще представления об ис-

следуемом поле. Это и понятно, ибо в произведенных действиях пока не нашли отражения конкретные физические условия задачи — граничные условия на оболочке волновода. Потребовав, чтобы продольная составляющая электрического поля была равна нулю на всех стенках волновода, запишем:

E	= 0;
mz		(9.36)
x =
	0, y = 0.

Из уравнения (9.35) видно, что это возможно лишь, если A=C=0, следовательно,

Emz = E0 sin γx xsin γy y,

(9.37)

где произведение BD заменено одним неизвестным коэффициентом

E0 .

В силу требования равенства нулю продольной составляющей электрического поля на двух других стенках волновода запишем:

E	mz	= 0;
				(9.38)
x
	= a, y = b.

Налагая условие (9.38) на решение (9.37), находим:

γx = mπ	;	γy = nπ	,	(9.39)
a		b

где m = 1, 2, 3, … и n = 1, 2, 3, … — любые целые числа.

Значения m = 0 и n = 0 исключены, потому что они не соответствуют существованию поля ( Emz = 0). С учетом этого результата равенство (9.32) принимает вид

2	mπ 2			nπ 2			(9.40)
γ =		a		+	b	.

221

Итак, различным решениям Emz соответствуют определенные значения поперечного волнового числа γ . Задав какие-либо числа

m и n, мы однозначно определяем тип поля волновода. Все компоненты поля данного типа нетрудно найти, подставив в общие фор-

мулы (9.9)

Hz = 0;

Ez = E0 sin γx xsin γy y exp{j(ωt −βz )}.

В результате получается:

mπ

nπ

Emz = E0 sin

a

xsin b y;

γx

cos mπ xsin nπ y;

E

= − jβ

E

γ2

mx

0

a

b

γ

E

= − jβ

y

E

sin mπ xcos nπ y;

(9. 41)

γ2

my

0

a

b

β

γy

E sin mπ x cos nπ y;

H

mx

= j

Z

E

2

0

a

b

γ

H

my

= − j

β

γx

E

cos mπ xsin nπ y.

Z E γ2

0

a

b

В соответствии с принятой терминологией говорят, что формулы (9.41) выражают поле Еmn прямоугольного волновода. Это поле

имеет характер распространяющейся волны при вещественных значениях продольного волнового числа

β = k

λ

2

1−

,

λ

кр

где

λ = 2π

=2

m 2

+

n 2.

(9.42)

кр

γ

a

b

222

В дальнейшем мы чаще будем пользоваться понятием критической длины волны λкр , проще связанной с размерами системы, чем fкр . Необходимо помнить, что сравниваемая с ней величина

λ — это длина волны в свободном пространстве с теми же свойствами (параметры ε, μ), что и среда, заполняющая волновод.

Как видно из формулы (9.42), с увеличением m и n критическая длина волны λкр уменьшается. Направляемая волна данного типа

распространяется до тех пор, пока λ < λкр. Волны высших типов

существуют, таким образом, при меньших значениях λ, т.е. при более высоких частотах. Для низшей электрической волны Е11 согласно (9.42) критическая длина волны

λ = 2ab

кр a2 +b2

. (9.43)

Одновременно в волноводе распространяется лишь ограниченное число волн различного типа. Действительно, при любых размерах поперечного сечения можно найти такие числа m и n, что рабочая длина волны окажется ниже критической.

На рис. 9.7 показано строение различных Е-полей волновода в некоторый момент времени — «остановленная волна». Ввиду отсутствия продольной составляющей вектора H магнитные силовые линии лежат в поперечной плоскости. Поле Е11 соответствует одному семейству замкнутых магнитных линий и является простейшим. В центре этого семейства лежит максимум продольной составляющей вектора E .

По рис. 9.7 легко найти соответствие между строением поля и значениями индексов m и n. Это числа полуволновых вариаций поля вдоль осей х и у. Величины

λx = 2π γx ,

(9.44)

λy = 2πγy

играют роль поперечных длин волн.

223

Рис. 9.7. Структура поперечно-электрических полей различных типов в прямоугольном волноводе

Н-волны. Взяв теперь другое уравнение из (9.3):

∂2Hmz +	∂2Hmz = −γ 2Hmz ,	(9.45)
∂x2	∂y2
уже известным путем находим общий вид его решения
Hmz =(Acosγxx +Bsinγxx)(Ccosγy y +Dsinγy y).		(9.46)

224

Налагая граничные условия

		∂H	mz	= 0			∂H	mz = 0
						,				,	(9.47)
		∂x					∂y
		x = 0, x = a					y = 0, y = b
сначала получаем
∂Hmz		= (Acos γx x + Bsin γx x)γy D = 0.
∂y
		y=0

Отсюда D = 0, так как только при этом равенство будет выполнено для всех x. Точно так же доказывается, что В = 0. В результате

Hmz = H0 cos γx x cos γy y.

(9.48)

Из граничных условий при х = а и у = b следует, что γx =

mπ

a

nπ

и γy =

, и, таким образом, подобно соотношению (9.40):

b

2

=

mπ 2

nπ

2

(9.49)

γ

+

.

a

b

Внося (9.48) в общие формулы (9.9), получаем выражения для

всех компонент поля типа Нmn:

mπ

nπ

Hmz = H0 cos

a

xcos b y;

γx

H0 sin mπ xcos nπ y;

Hmx = jβ

γ2

a

b

γ

Hmy = jβ

y

H0 cos mπ xsin nπ y;

(9.50)

γ2

a

b

γy

cos mπ xsin nπ y;

E

mx

= jβZ H

H

0

2

a

b

γ

E

my

= − jβZ H

γx

H

0

sin mπ x cos nπ y.

γ2

a

b

225

Так как общий вид поперечного волнового числа γ для

Н-волн не отличается от полученного ранее для Е-волн, критическая длина волны по-прежнему определяется формулой (9.42):

λкр = 2	m 2		n 2	(9.51)
			+ .
		a	b

Однако, как видно из уравнений (9.50), H-поле существует и в том случае, когда одно из чисел m и n есть нуль. При этом критическая длина волны

λ10кр = 2a или λкр01 = 2b.

(9.52)

Одна из этих величин оказывается наибольшей среди критических длин волн всех возможных Е- и H-полей прямоугольного волновода. Полагая в дальнейшем a > b, мы констатируем, что наи-

большей будет величина λ10кр . Это значит, что при достаточно ма-

лых размерах поперечного сечения волновода лишь одно поле H10 будет существовать в виде распространяющейся волны, которая называется основной. На практике применяется именно основная волна, распространяющаяся «без примеси» волн высших типов.

Взяв в формулах (9.50) т =1 и n = 0 , выпишем компоненты поля Н10:

Hmz = H0 cos πx ;

a

E

= 0;

H

= j 2a

1−

λ

2 H

sin πx ;

(9.53)

mx

0

mz

λ

a

2a

E

= − j

2a

Z

H

sin

πx

;

H

= 0.

a

my

λ

0

0

my

Основные характеристики волны типа Н10 согласно (9.53) имеют вид:

226

Z H = Z0

λ

2

; β = k 1

λ

2

1 −

−

;

2a

2a

ϑф = c

λ

2

λ

2

(9.54)

1

−

;

Λ = λ

1 −

;

2a

2a

ϑгр = c

1 −

λ

2

.

2a

На рис. 9.8 показано строение различных H-полей. Магнитные силовые линии поля Н10 образуют лежащие в плоскости xoy замкнутые контуры, а электрические силовые линии параллельны оси oy. Максимум электрического поля сдвинут по оси oz относительно центра семейства магнитных линий на Λ4. В этом центре лежит максимум тока смещения.

Равенство нулю одного из индексов m и n означает, что поле в соответствующем направлении однородно: не имеет вариаций. Поперечная длина волны λx или λy (9.44) при этом обращается в бес-

конечность.

Нетрудно найти передаваемую волноводом мощность. Для волны основного типа согласно (9.52)

Em = E0 sin πax

и в результате

E

2

a b

sin2

πx

abE

2

abE

2

λ

2

2Z H ∫∫

a

4Z H

4Z 0

2a

P =

0

dxdy =

0

=

0

1−

.

(9.55)

0 0

В оболочке волновода течет поверхностный ток (рис. 9.9), плотность которого определяется по формуле

η = n0 ,H .

227

Рис. 9.8. Структура поперечно-магнитных полей различных типов в прямоугольном волноводе

Рис. 9.9. Силовые линии тока волн Н10 и Е11 на стенках прямоугольного волновода

228

Подчеркнем в заключение некоторые особенности волновода, выявленные произведенным исследованием. Направляемые Е- и Н-волны образуют бесконечный ряд типов, отличающихся строением поля и скоростью распространения. Однако одновременно существует лишь ограниченное число волн. При этом размеры сечения прямоугольного волновода выбираются обычно так, чтобы распространялась только волна основного типа Н10. При достаточно малых размерах a < λ2 не может существовать и основная волна, поэтому передача энергии не происходит. Таким образом, на практике волноводы применяются только на очень коротких волнах, обычно сантиметровых и миллиметровых.

9.8.Коаксиальная линия

Вкоаксиальной линии могут распространяться волны Н, Е и Т. Ввиду того что условия существования Т-волны не зависят от частоты, тогда как Е- и H-волны при достаточно низких частотах отсутствуют, именно Т-волна является основной. Она и используется для передачи энергии. Коаксиальные линии конструируются так, чтобы ус-

ловия существования волн высших типов (Н и Е) оставались невыполненными.

Коаксиальная линия показана на рис. 9.10; радиусы внутреннего и внешнего проводников обозначим

R1 и R2.

α

r

z

2R

Рис. 9.10. Коаксиальная линия

Магнитное поле T-волны коаксиальной линии находится из первого уравнения Максвелла

				Im	.	(9.56)
	H		m = α0
				2πr

Полагая волновое сопротивление диэлектрической среды равным Zср, запишем:

229

			= r	Im	Z		.	(9.57)
	E
	m		0 2πr			ср

Вычислив напряжение между проводниками как интеграл

R2					ImZср				R
Um = ∫ Emdr =
								ln	2	,	(9.58)
						2π			R1
R1
приведем формулу (9.57) к виду
		m = r0		Um			,				(9.59)
	E
			r ln			R2
						R
						1

что совпадает с выражением для поля коаксиального конденсатора, заряженного до разности потенциалов Um .

Не следует, конечно, забывать, что электрическое и магнитное поля Т-волны отличаются от статических продольной волновой зависимостью, характеризуемой множителем exp{ j(ωt − kz)}, который

дописывается к амплитудам при переходе к комплексным величинам.

Как видно из формулы (9.58), отношение напряжения между проводниками к току, называемое волновым сопротивлением, равно

	U	m		Zср		R
Zл =			=		ln	2	.	(9.60)
				2π		R1
	Im
Для линии с воздушной средой (ε = ε0 ,							μ = μ0 ) Zср = Z0 = 120π,

и волновое сопротивление коаксиальной линии Zл = 60ln R2 .

R1

Контрольные вопросы

1.Опишите порядок действий при определении структуры полей Е и Н в направляющей системе на примере прямоугольного волновода.

2.Изложите суть метода разделения переменных.

230