3289-electrodinam

∂Emz		−		∂Emy			= − jω(μx Hmx − ja Hmy );
∂y
				∂z
0
∂Emx		−		∂Emz			= − jω(μx Hmy + ja Hmx );
∂z				∂x
			0
∂Emy				∂E
		−		mx			= − jωμ0 Hmz .
∂x
				∂y
0			0

Из этой системы сразу следует, что электромагнитная волна носит поперечный характер, так как Emz = 0 и Hmz = 0:

∂Hmy					∂Emy
			= − jωεEmx ;				= jω(μx Hmx − ja Hmy );
					∂z
	∂z							(6.60)
	∂Hmx			∂Emx
			= jωεEmy ;			= − jω(ja Hmx −μx Hmy ).
	∂z				∂z

Запишем проекции Em и Hm для плоской волны (рис. 6.6):

Hmx = Hmxe− jk z ;
Hm y = Hm ye			− jk z	;
										(6.61)
	= E e− jk z = Z
E					x y	H	m y		e− jk z ;
mx	mx
		e− jk z
E	= E			= Z	yx	H		mx	e− jk z .
m y	m y

Подставляя (6.61) в (6.60), получим:

kHmy = ωεZxy Hmy ;

kH

= ωεZ

H

;

mx

yx

mx

(6.62)

Z yx Hmxk = ω(μx Hmx − jaHmy );

Z

H

k = ω(μ

H

+ jaH

xy

my

x

my

mx

).

151

Подставляем Z yx = Zxy =

k

в уравнения системы (6.62), вы-

ωε

ражаем Hmx или Hmy :

(k

2

2

2

−ω εμx )Hmx = − jω εa Hmy ;

(6.63)

(

k2 −ω2εμ

x )

H

= jω2εa H

.

my

mx

Из второго уравнения (6.63) выражаем Hmx

и подставляем в

первое. В результате получим

k2 − ω2εμx

= ±ω2εa ,

(6.64)

откуда волновое число

k1,2 = ω ε0 (μx ± a) .

(6.65)

Выражения (6.65) и есть дисперсионные соотношения. Их оказалось два — для k1 и k2 . Сразу видно, что при продольном распро-

странении возникают две волны, характеризующиеся различными постоянными распространения.

x

Em Emx

Hm

Emy	Hmy
o	y

Рис. 6.6. Продольное распространение электромагнитной волны в намагниченном феррите

Подставим поочередно k1 и k2 в уравнения (6.63). Получим:

Hmy1 = jHmx1 ; Hmy2 = − jHmx2 .

(6.66)

152

Причем волновые сопротивления Z1,2 для каждой из волн различны:

Z1,2

=

μx ± a

.

ε

С учетом (6.66) из (6.61) получаем для одной волны:

H

= H

e− jk1 z ; H

= H

− j k1z−π

mx1

m y1

e

2 ;

m1

m1

π

E

= Z H

− j k1z−

2

E

= Z H

e− jk1 z .

e

;

mx1

1

m1

m y1

1

m1

Для другой волны:

− jk2 z

− j k2 z+

π

Hmx2 = Hm2e

; Hm y2 = Hm2e

2

;

π

E

= Z

H

− j k2 z+

2

= Z

H

e− jk2 z .

2

m2

e

; E

2

m2

mx2

m y2

Перейдем к реальным частям комплексных векторов:

Hx1 = Hm1 cos(ωt − k1z);
H		y1	= H	m1	sin (ωt − k z);
							1
Ex1 = Z1Hm1 sin (ωt − k1z);
E	y1		= −Z H			m1	cos(ωt − k z);
				1			1
Hx2 = Hm2 cos(ωt − k2 z);
H y2 = −Hm2 sin (ωt − k2 z);

Ex2 = −Z2 Hm2 sin (ωt − k2 z);

Ey2 = −Z2 Hm2 cos(ωt − k2 z).

(6.67)

(6.68)

153

Видно, что плоская линейно поляризованная электромагнитная волна, попадая в намагниченный феррит, может быть разложена на две волны с круговой поляризацией с противоположным направлением вращения векторов. Одну из них описывает система уравне-

ний (6.67), другую — (6.68).

У этих волн будут различны фазовые скорости:

ϑ	=		ω	=		1	;		(6.69)
ф1			k1			ε(μx + a)
ϑ	=	ω			=	1		.	(6.70)
ф2		k2				ε(μx − a)

Видим, что феррит — среда дисперсионная, в нем фазовая скорость зависит от частоты, так как μx и a являются функциями час-

тоты.

Рассмотрим случай, когда в феррите существуют обе описанные волны. Пусть Hm1 = Hm2 = Hm . Вычислим напряженность ре-

зультирующего магнитного поля:

k +k

2

k

2

−k

Hx =Hmx1

+Hmx2 =2Hm cos ωt −

1

z cos

1

z

;

2

2

k

+k

2

k

−k

2

(6.71)

H y =Hmx2

+Hm y2

=2Hm cos

ωt −

1

z sin

1

z

.

2

2

Фазовый

Амплитудный

множитель

множитель

Согласно соотношениям (6.71) проекции вектора Нx и Нy изменяются в фазе. Отсюда следует, что магнитное поле результирующей волны является линейно поляризованным. Его напряженность

H =	Hx2 + H y2		ωt −	k + k
		= 2Hm cos		1	2	z .
				2

Угол наклона вектора Н в любой точке оси z (рис. 6.7) определяется из соотношения

154

tg θ = H y = tg k2 − k1 z,

Hx 2

откуда θ = k2 2− k1 z .

Налицо угловая зависимость положения результирующего вектора Н от координаты z. Изменение положения плоскости поляризации при распространении плоской волны в гиротропной среде называется эффектом Фарадея. Величина эффекта определяется как

θ′ = k2 2− k1 .

Электрическое поле суммарной волны, в отличие от магнитного, не будет линейно поляризованным. Из-за различия волновых сопротивлений для волн левого и правого направлений вращения амплитуды напряженности электрического поля этих волн будут различны. Сложение двух волн круговой поляризации с разными амплитудами дает эллиптически поляризованную волну.

x

H

H x

θ

o			y y
	H

Рис. 6.7. К расчету угла поворота вектора H при распространении электромагнитной волны в продольно-намагниченном феррите

Величина θ′, характеризующая угол поворота вектора Н на единицу длины пути, называется постоянной Фарадея. Она зависит от свойств феррита, величины подмагничивающего поля и частоты. Среды, в которых проявляется эффект Фарадея, носят название гиротропных (вращающих) сред.

155

При изменении направления постоянного магнитного поля на противоположное изменяется знак компоненты a и постоянной Фарадея. Вращение векторов поля в этом случае будет совершаться против часовой стрелки (рис. 6.8). Поэтому поле в гиротропной среде не подчиняется принципу взаимности.

Из рис. 6.8 видно, что распространение в прямом и обратном направлениях является невзаимным. На этом принципе строятся невзаимные СВЧ-устройства, например ферритовый вентиль. Кроме явления Фарадея, в намагниченном феррите наблюдают явление резонансного поглощения одной из двух волн (с правой поляризацией).

x

x

H

0

z

H

0

θ

z

θ

H

H

H

H

θ

θ

П

П

o

y

o

б

y

а

Рис. 6.8. К определению направления вращения вектора H при распространении электромагнитной волны

в продольно-намагниченном феррите

Рассмотрим условия резонансного поглощения. Из формулы для волнового числа k1,2 = ω ε0 (μx ± a)

получаем волновое число для волны с левойкруговойполяризацией:

ω ω

ω ω

k = ω ε μ

1

−

m 0

+

0

=

ω2 −ω2

ω2 −ω2

1

0

0

m

m

= ω ε μ

−

ω0 (ωm −ω)

= ω ε μ

1+

ω0

.

0

1

0

0

2 2

0

ω −ωm

ω+ ωm

156

Для волны с правой круговой поляризацией волновое число

k2	= ω ε0μ0		−	ω0
		1			.
				ω−ω
				m

Для волны с правой поляризацией на частоте ω = ωm k → ∞ , ϑф → 0 , следовательно, наблюдается явление продольного

гиромагнитного резонанса. Эта волна распространяться не может. Практически всегда в среде имеются потери, поэтому при резонансе волна правого направления вращения претерпевает сильное поглощение. На выходе феррита в этом случае будет волна с левой круговой поляризацией.

Исходя из принципа перестановочной двойственности можно утверждать, что распространение электромагнитных волн в намагниченной плазме сопровождается теми же явлениями, что и в намагниченном феррите.

Эти эффекты учитываются при исследовании распространения радиоволн в ионосфере.

6.6. Поперечное распространение электромагнитных волн в феррите

Пусть постоянное магнитное поле приложено вдоль оси z, волна распространяется вдоль оси x.

Определим все основные характеристики электромагнитной волны: скорость, волновое сопротивление, поляризацию. Как и ранее, будем рассматривать плоскую волну. Запишем систему уравнений Максвелла для комплексных амплитуд в скалярной форме.

В соответствии с принятым выше приближением плоских волн, распространяющихся вдоль оси x, положим

	∂	=	∂	= 0 .	(6.72)
	∂y		∂z

157

Система уравнений значительно упростится:

	∂Hmz		= − jωεE	;
	∂x		my
	∂Emy
			= − jωμ0Hmz ;
	∂x
	Emx = 0;

	∂Hmy		= jωεE ;
	∂x		mz
	∂Emz
			= jω(ja Hmx +μx Hmy );
	∂x
	μx Hmx = ja Hmy .

(6.73)

(6.74)

Обратим внимание на то, что системы уравнений (6.73) и (6.74) являются независимыми. В систему (6.73) входят проекции Emx ,

Emy , Hmz , в (6.74) — только Hmx , Hmx , Emz .

Найдем решение этих систем уравнений в виде плоских волн:

Emx = Emxe− jkx ; Emy = Emye− jkx ;

Emz = Emze− jkx ;

H	mx	= H	mx	e− jkx		;
Hmy = Hmye					− jkx			(6.75)
						;
H		= H		e− jkx .
	mz		mz

Подставим значения проекций в системы уравнений (6.73) и (6.74):

kH	mz	= ωεE	my	;
kEmy = ωμ0 Hmx ;					(6.76)
Emx = 0;

158

kHmy = −ωεEmz ;
		(6.77)
kEmz = −ω(jaHmx +μx Hmy );
μx Hmx = jaHmy .

Из системы уравнений (6.76) получаем:

kоб2 = ω2εμ0 ;
ϑ	=	ω	=		1	.
об		kоб			εμ0

Эта система описывает обыкновенную волну, то есть волну без дисперсии с нулевой продольной составляющей. Поперечные составляющие в этой волне связаны соотношением

Emy = ωεk Hmz .

Обыкновенная волна линейно поляризована.

По-иному ведет себя волна, описываемая системой (6.77). В отличие от обыкновенной, эта волна имеет продольную составляющую магнитного поля. Как вытекает из третьего уравнения системы (6.77), продольная составляющая Нmx сдвинута по фазе на

π2 относительно поперечной составляющей Нmy .

Следовательно, вектор напряженности магнитного поля вращается в плоскости xoy, описывая своим концом эллипс (рис. 6.9). Подобная волна получила название необыкновенной.

Определим из (6.77) волновое число и фазовую скорость необыкновенной волны:

			μ2	− a2				μ2	− a2 −	1
k		= ω ε			; ϑ		ε			2	(6.78)
	но		x			=		x		.
				μx	но
									μx

Фазовая скорость необыкновенной волны зависит от величины приложенного поля. При μх = 0 необыкновенная волна распростра-

няться не может. В этом случае наблюдается продольный гиромагнитный резонанс.

159

			y				Частота поперечного гиромаг-
			Hmx				нитного резонанса определяется
							формулой:
					m
				H			ωп = ωm (ω0 + ωm ).
			o Hmy
						x	При наличии потерь необыкно-
			0				венная волна испытывает в окрест-
		H
	z						ностях этой частоты резонансное по-
	Рис. 6.9. Поляризационная						глощение.
							В заключение заметим, что
	структура необыкновенной						распространение электромагнитных
	волны в поперечно-						волн в намагниченной плазме сопро-
	намагниченном феррите
							вождается теми же эффектами, что и

в феррите. Поскольку, как уже упоминалось, тензоры магнитной и диэлектрической проницаемостей симметричны, все решения уравнений Максвелла для намагниченной плазмы можно получить исходя из принципа перестановочной двойственности.

Контрольные вопросы

1.В чем состоит явление двойного лучепреломления и как оно объясняется?

2.Как можно с помощью одноосного кристалла преобразовать поляризацию волны из линейной в круговую и обратно?

3.Какие среды называются анизотропными, а какие — гиротропными? Если среда гиротропная, то является ли она анизотропной, и наоборот? Приведите примеры.

4.Что такое спин электрона и как он себя ведет в постоянном магнитном поле? Какую роль при этом играет механический момент движения электрона?

5.Что такое прецессия спина? Почему она оказывает влияние на распространение волн в феррите, если время прецессии так мало? Проведите аналогию с вращением электрона в постоянном магнитном поле.

160