3289-electrodinam

H 0	H −
ϕ	ϕ
E0	α	E−
ϕ
	ϕ′
o		H +	y
		θ
θ	E+	z′
z

Рис. 7.9. Выбор направлений векторов E и H падающей, отраженной и преломленной волн при наклонном падении горизонтально поляризованной волны

Переходя к основным координатам (x, y, z) и учитывая, что x′ совпадает с x, запишем поле падающей волны при значениях

направляющих

косинусов

l = cos π 2 = 0,

m = cos(π 2 −ϕ) = sin ϕ,

n = cos ϕ:

0

= А(y cos ϕ− z

sin ϕ)e

− jk (ysin ϕ+z cos ϕ)

H

m

0

1

;

0

(7.22)

0

− jk1

(ysin ϕ+z cos ϕ)

= АZ1x0e

.

Em

Напряженность магнитного поля отраженной волны

−

= B(y cos α − z

sin α)e− jk1(ysin α−z cos α).

(7.23)

H

0

m

0

Произведем в (7.23) замену углов в соответствии с рис. 7.9:

α = π−ϕ′;

cos α = cos(π−ϕ′)= −cos ϕ′; sin α = sin (π −ϕ′)= sin ϕ′.

В результате получим:

				−		− jk1(ysin ϕ′−z cos ϕ′)
Hm = B(y0 cos ϕ′− z0 sin ϕ′)e							;	(7.24)
			−		= BZ x e− jk1(ysin ϕ′−z cos ϕ′).
	E
		m			1 0

171

Аналогично действуя для преломленных волн, получим:

				+				− jk2 (ysin θ+z cos θ)
Hm = C (y0 cos θ− z0 sin θ)e									;	(7.25)
			+		= CZ		e− jk2 (ysin θ+z cos θ) .
	E					2
		m

Ввиду того что граничные условия нужно выполнять вдоль всей оси y, все три волны — падающая, отраженная и преломленная — должны иметь одинаковую зависимость от координаты у. Следовательно, коэффициенты при y должны быть равны:

		k1 sin ϕ = k1 sin α α = ϕ;
		k sin ϕ = k				2	sin θ sin θ =	k2	sin ϕ.	(7.26)
		1						k1
Отсюда вытекают известные законы Снеллиуса:
1) угол отражения равен углу падения —
							α = ϕ;			(7.27)
2)	углы падения и преломления связаны зависимостью
						sin θ = n12 sin ϕ,				(7.28)
где n	= k2 =	ε2μ2	=	n1	.
12	k1	ε1μ1		n2

Для определения коэффициентов отражения и прохождения проведем так называемое сшивание решений для полей в первой среде и во второй среде на границе раздела. Поле в первой среде представляет сумму полей падающей (7.22) и отраженной (7.24) волн. Поле во второй среде — это поле преломленной волны (7.25). На границе раздела двух диэлектриков тангенциальные составляющие векторов E и H непрерывны, т.е.

E1τ = E2τ ;		z = 0 .	(7.29)
H1τ = H2τ ;

С учетом выражений (7.27), (7.28) формулы (7.22), (7.24) и (7.25) можно переписать. Для падающей волны:

172

0

= A(y0 cos ϕ− z0 sin ϕ)e

− jk1(ysin ϕ+z cos ϕ)

Hт

;

0

= AZ x e− jk1(ysin ϕ+z cos ϕ).

E

т

1 0

Для отраженной волны:

−

= B(−y cos ϕ− z

sin ϕ)e− jk1(ysin ϕ−z cos ϕ) ;

H

0

т

0

− = BZ x e− jk1(ysin ϕ−z cos ϕ).

E

т

1 0

Для преломленной волны:

+

− jk2 (ysin θ+z cos θ)

Hm = C (y0 cos θ− z0 sin θ)e

;

+

= CZ

x e− jk2 (ysin θ+z cos θ).

E

т

2 0

Поле в первой среде:

Ет(1) = Ет0 + Ет−;

Нт(1) = Нт0 + Нт−.

(7.30)

(7.31)

(7.32)

(7.33)

Поле во второй среде:

(2)

=

+;

Е

Е

т

т

(7.34)

т(2) = Н

т+.

Н

Тангенциальные составляющие векторов можно выразить через

их проекции:

Е(1)

= Е0

+ Е−;

Нτ(1)

= Ну0 + Еу−;

τ

х

х

Е(2)

= Е+;

Н(2)

= Н+.

τ

х

τ

у

При z = 0 получим

A − B = C

cos θ

;

(7.35)

cos ϕ

A − B = C

Z2

.

(7.36)

Z

1

173

Определим коэффициенты отражения ρг и прохождения τг как

отношения амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде падающей волны на границе раздела сред:

Е−

(z = 0)

B

ρ

г

=

т

=

;

Em0 (z = 0)

A

(7.37)

Е+

(z = 0)

C

τ

г

=

т

=

.

Em0 (z = 0)

A

Подставив (7.37) в (7.35), (7.36), получим систему

			Z	cos θ
	1	−ρг = τг	1		;
			Z2	cos ϕ
					(7.38)
		+ρг = τг .
	1

Отсюда следуют формулы Френеля для горизонтально поляризованной волны:

ρ	г	=		Z2 cos ϕ− Z1 cos θ					;
				Z		2	cos ϕ+ Z cos θ
							1		(7.39)
							2Z2 cos ϕ
τг		=
								.
			Z		2		cos ϕ+ Z cos θ
							1

7.5. Формулы Френеля для вертикально поляризованных волн

Вывод требуемых формул аналогичен предыдущему (рис. 7.10), поэтому без подробного обсуждения приведем значения комплексных амплитуд.

Для падающей волны:

				0	− jk1	(ysin ϕ+z cos ϕ)	;
Hm = Ax0e											(7.40)
			0					− jk	(ysin ϕ+z cos ϕ)
Em = AZ1 (y0 cos ϕ+ z0 sin ϕ)e								1
										.

174

Для отраженной волны:

−

− jk1

(ysin ϕ−z cos ϕ)

;

Hт = Bx0e

(7.41)

−

(y cos ϕ+ z

sin ϕ)e

− jk

(ysin ϕ−z cos ϕ)

E

= BZ

т

0

1

.

1

0

Для преломленной волны:

+

= Cx0e

− jk2 (ysin θ+z cos θ)

;

Hm

(7.42)

+

= CZ

(−y

cos θ+ z

sin θ)e− jk2

(ysin θ+z cos θ)

E

2

0

.

m

0

H 0	H −
ϕ	ϕ
ϕ	ϕ
E 0	E −
o	y

	θ	H +
	z	θ
		E +

Рис. 7.10 Выбор направлений векторов E и H падающей, отраженной и преломленной волн

при наклонном падении вертикально поляризованной волны

Воспользуемся граничными условиями (7.29) и получим систему уравнений

	A − B = C	Z2	cos θ	;
		Z1	cos ϕ
				(7.43)
	A + B = C.

Введем коэффициенты отражения ρв и прохождения τв:

	ρ	в	=	Нm−	(z = 0)	=	B	;
				Нm0	(z = 0)		A

	τ	в	=	Нт+ (z = 0)	=	C .
				Нm0 (z = 0)
						A

175

Подставив их в (7.43), получим формулы Френеля для вертикально поляризованной волны:

τв =	2Z1 cos ϕ			;
	Z cos ϕ+ Z	2	cos θ
	1			(7.44)

ρв = − Z2 cos θ− Z1 cos ϕ. Z1 cos ϕ+ Z2 cos θ

7.6. Полное отражение от границы двух диэлектриков

Предположим, что электромагнитная волна падает из более плотной в оптическом отношении диэлектрической среды на границу с менее плотной, т.е. имеет место неравенство

	n1 > n2 .
	Из второго закона Снеллиуса	sin θ =	n1	sin ϕ следует, что
			n
		2

θ > ϕ. Если угол ϕ увеличивать, то при некотором угле, называемом критическим, — ϕкр, угол преломления θ окажется равным π2 , то есть волна начинает распространяться вдоль границы раздела. Это явление полного внутреннего отражения:

			ϕ = arcsin n2 .			(7.45)
			кр	n1
Исследуем волновую природу этого явления. При ϕ > ϕкр ве-
личина cos θ мнимая, так как
cos θ =	1−sin2 θ = 1 −(n				n	)2 sin2 ϕ
				1	2
и при ϕ > ϕкр величина		n1	sin ϕ >1.
		n2

Из формул Френеля для коэффициентов отражения следует:

176

ρг

=

Z2 cos ϕ− jZ1

cos θ

=1;

Z2 cos ϕ+ jZ1

cos θ

(7.46)

−Z1 cos ϕ+ jZ2

cos θ

ρв

=

=1.

Z1 cos ϕ+ jZ2

cos θ

Привлекая формулы (7.30), (7.31) и соответственно (7.40) и (7.41), легко заметить, что все компоненты поля первой среды, представляющего собой суперпозицию падающих и отраженных волн, зависят от координат по закону

f (y, z)= e	− jk1ysin ϕ− jk1z cos ϕ	± e	− jk1ysin ϕ+ jk1z cos ϕ+ jψ	,	(7.47)

где ψ — фаза коэффициента отражения. Преобразуя эту функцию, получим:

			cos	k z cos ϕ+ ψ
	ϕ−	ψ			1	2
− j k1ysin		2						(7.48)
f ( y; z) = 2e							.
Фазовый							ψ
множитель			− j sin k1z cos ϕ+
							2

Амплитудный

множитель

Этот результат означает, что поле имеет характер волны, распространяющейся вдоль оси y с постоянной распространения

Γ = k1 sin ϕ

(7.49)

и распределением амплитуд по нормали к границе (ось z) типа стоячей волны с волновым числом

β1 = k1 cos ϕ.

(7.50)

Как следует из (7.48), в этом случае y = const — плоскость равных фаз, z = const — плоскость равных амплитуд. Плоскость равных фаз и плоскость равных амплитуд оказались перпендикулярны друг другу.

Рассмотрим поле во второй среде:

E2 ,H2 ~ e− jk2 (ysin θ+z cos θ) ,

177

где	k	2	sin θ = k sin ϕ = Γ ; k	2	sin θ =	k2	− k2 sin2	ϕ = ± jβ	z	— мнимая
			1			2	1
величина.
	Отсюда
			E2 , H 2 e− jΓ y e−βz .							(7.51)

Поле во второй среде распространяется вдоль оси y и затухает экспоненциально в направлении нормали к границе. Таким образом, поле в средах определяется формулами:

в первой среде

(E, H )(1) ~ A sin		βz + ψ cos			ωt −Γy − ψ		;
0		2			2
Амплитудный				Фазовый множитель
множитель
во второй среде
(E, H )(2) ~		B e−βz		cos(ωt −Γy).
		0
Амплитудный				Фазовый
множитель				множитель

В обеих средах волна распространяется вдоль оси у, т.е. вдоль границы раздела, амплитуда меняется вдоль оси z, как показано на рис. 7.11.

				Заметим также, что фазовая ско-
				рость электромагнитных волн во второй
		Em		среде ϑф2 больше, чем скорость элек-
o				тромагнитной волны в такой же, но без-
		y		граничной среде, так как ϑф2 = ω Γ.
				Возникающие при явлении полного
				внутреннего отражения волны называ-
	z			ются неоднородными. Их основные
Рис. 7.11. К вопросу				особенности заключаются в следующем:
образования неоднородной				1) волна распространяется вдоль
волны при полном				границы раздела сред (направляется
внутреннем отражении				границей раздела);

2) плоскости равных фаз и равных амплитуд взаимно перпендикулярны;

178

3)имеются продольные составляющие у векторов электрического поля для вертикальной и магнитного поля для горизонтальной поляризации;

4)во второй среде возникает волна, направляемая границей раздела и затухающая по направлению нормали к границе. Эта волна называется поверхностной. Физически ее появление определяется возникновением переходного процесса при отражении;

5)во второй среде возникает быстрая волна с фазовой скоро-

стью c > ϑф > c εr2 , где εr2 — относительная диэлектрическая

проницаемость второй среды.

Явление полного внутреннего отражения применяется в диэлектрических волноводах, волоконной оптике.

7.7. Наклонное падение на границу поглощающей среды

Рассмотрим поле во второй (проводящей) среде:

E2 , H2 ≈ e	− jk2	( y sin θ+z cos θ)	.	(7.52)

Волновое число в этой среде комплексная величина: k2 = k′− jk′′.

С учетом этого показатель экспоненты в соотношении (7.52) можно записать в виде

k2 sin θ = k1 sin ϕ = αy ;
							(7.53)
k2 cos θ =		2	2	sin	2
	k2		− k1			ϕ = αz ± jβ.
Отсюда
E , H	2	≈ e− j( yαу+zαz )e−zβ.
2

Из второго закона Снеллиуса следует, что в поглощающей среде угол преломления комплексная величина. Он не дает представления о действительном угле преломления. Определим угол, под

179

которым волна распространяется в поглощающей среде, обозначив его ξ (рис. 7.12):

	αy			k sin ϕ
tg ξ =		=		1	.	(7.54)
	αz		Re	k22 − k12 sin2 ϕ

o	y
	αy
	ξ

z αz ξ

Рис. 7.12. К вопросу определения угла, под которым волна распространяется в поглощающей среде

Пусть среда, на границу с которой падает электромагнитная волна, проводник. В этом случае

следовательно,

k2

>>

k1

,

(7.55)

tg ξ =

k1 sin ϕ

0 .

Re

k2

− k2 sin2

ϕ

2

1

Тогда из условия (7.55) следует, что ξ 0. Рассмотрим два типичных случая:

а) исчезающе малые потери ( k2′′ << k1′′).

При этом αz = jk2 cos ξ ≈ jk2′ cos ξ, αy ≈ jk2′ sin ξ и согласно

(7.53) и (7.55)

ξ = θ;

(7.56)

180