3289-electrodinam

				me jωt .	(6.31)
M		= z0M0 + M

Подставляя (6.31) в (6.30) и переходя от векторного уравнения к трем скалярным, получим:

	Mmx			x0	y0	z0
e jωt jω	Mmy		= −γ	Mmxe jωt	Mmye jωt	М0 + Mmze jωt	. (6.32)
	Mmz			Hmxe jωt	Hmye jωt	H0 + Hmze jωt

Будем пренебрегать в (6.32) эффектами второго порядка малости, Hm << H0 , Mm << M0 , то есть произведением малых вели-

чин:

jωMmxe jωt = −γ(H0Mmye jωt − H0 Hmye jωt );
jωMmye jωt = −γ(HmxM0e jωt − H0Mmxe jωt );								(6.33)
jωMmze jωt = 0 .
Введем обозначения:
ω	= γ H	;	ω =	γ		M	.
				μ
m	0		0		0	0

Тогда первые два уравнения в (6.33) примут вид

jωMmx = −ωmMmy + μ0ω0 Hmy ;
jωM		= ω	M		−μ ω H		.
	my			mx		mx
		m			0 0

Выражаем отсюда проекции вектора намагниченности:

μ0ωmω0

μ0ω0ω

Mmx = −

2

2

Hmx − j

Hmy ;

2

2

ω −ω

ω −ω

m

m

μ0ω0ω

− μ0ωmω0

M

my

= j

H

mx

H

my

;

2

2

2

2

ω −ωm

ω −ωm

Mmz = 0 .

(6.34)

(6.35)

141

Перейдем к более компактному виду:

Mmx = −μ0 AHmx − jμ0CHmy ;
Mmy = jμ0CHmx −μ0 AHmy ;		(6.36)
Mmz = 0,

где

A =

ωmω0

;

C =

ωω0

.

2 2

2 2

ω −ω

ω −ω

m

m

Обратимся теперь к материальному уравнению

B

m = M

m + μ0Hm

(6.37)

и подставим в него значение проекций вектора Мm :

Bmx = −μ0 AHmx − jμ0CHmy + μ0Hmx ;
Bmy = jμ0CHmx −μ0 AHmy + μ0Hmy ;		(6.38)
Bmz = μ0Hmy .

В уравнениях (6.38) сгруппируем слагаемые перед одноименными проекциями напряженности магнитного поля:

Bmx = μ0 (1 − A)Hmx − jμ0CHmy + 0 Hmz ;
Bmy = jμ0CHmx +μ0 (1 − A)Hmy + 0 Hmz ;										(6.39)
B	= 0 H	mx	+ 0 H	my	+μ	H	mz	.
mx					0

Введем дополнительные обозначения:

μ0 (1 − A)= μx ; μ0C = a.

Сопоставление (6.39) и (6.3) дает тензор вида

μx		− ja	0
	ja	μx	0		(6.40)
μˆ =				.
	0	0	μ0

Полученный тензор содержит симметричные недиагональные элементы, отличающиеся знаком, и, следовательно, намагниченный

142

постоянным магнитным полем феррит — гиротропная среда. Как это влияет на распространение электромагнитных волн, рассмотрим ниже.

6.4. Плазма в электромагнитном поле

6.4.1. Общие свойства плазмы

Плазмой называется электрически нейтральный газ, в котором значительная часть атомов или молекул ионизирована. По целому ряду свойств плазма отличается от обычных газов, содержащих одни нейтральные молекулы. Так, например, благодаря наличию свободных зарядов плазма обладает большей, чем у обычных газов, электрической проводимостью. Под влиянием постоянного магнитного поля она может проявлять анизотропные свойства и т.п. В связи с этим целесообразно рассмотреть процессы, протекающие в плазме под действием электромагнитных полей.

В плазме возможны взаимодействия электронов и ионов с электрической и магнитной составляющими приложенного к ней электромагнитного поля. По своей величине они неравноценны. В большей части радиотехнического диапазона частот движение тяжелых ионов практически не влияет на распространение электромагнитных волн в плазме. Поэтому в дальнейшем их принимать в расчет не будем.

Сравним теперь силу взаимодействия электронов с электрической и магнитной составляющими электромагнитного поля, то есть найдем отношение величины силы Лоренца FЛ к силе Кулона FК.

Пусть электрон, имеющий заряд е0 , движется со скоростью V пер-

пендикулярно линиям вектора магнитной индукции B . Имея в виду только модули векторов, запишем:

	FЛ	=	e0VB	=	μ0 HV	=	μ0V =V	ε0μ0	= V	<<1.
	FК		e0 E
					E		W0		c

143

Проведя ряд очевидных преобразований, убеждаемся, что от-

ношение рассматриваемых сил значительно меньше единицы, т.е.

FК >> FЛ.

Таким образом, будем учитывать только взаимодействие электронов с электрической составляющей переменного электромагнитного поля.

6.4.2. Диэлектрическая проницаемость плазмы в переменном электромагнитном поле

Как отмечалось, плазма содержит большое число заряженных частиц, которые в отсутствие постоянного магнитного поля (ненамагниченная плазма) движутся хаотически. Под влиянием электрического поля с напряженностью E = E0 cos ωt на каждый свободный электрон действует сила

FК = −e0 E.

Представим силу как произведение массы электрона т0 на

ускорение и, пренебрегая соударениями электронов с другими частицами, получим уравнение движения

	d 2r
m			= −e E,			(6.41)
0 dt		2	0

где r — смещение электрона относительно исходного положения. Решая уравнение (6.41), находим

r =	e0				.	(6.42)
				E
	m ω	2
	0

Таким образом, электроны совершают прямолинейное колебательное движение в направлении вектора E , приобретая при этом электрический момент

		−e2
	p = −e r =	0	E.			(6.43)
		m ω2
	0
		0

144

Если в единице объема плазмы имеется N свободных электронов и каждый из них получает одинаковое смещение, то электрический момент единицы объема (вектор электрической поляризации) равен

		= Np = −Ne0r ,							(6.44)
	P
или с учетом (6.42) имеем
				Ne2
	P = −				0	E.			(6.45)
				m	ω2
				0

Электрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость соответственно равны:

Ne2

χэ = − 0 ; (6.46)

ε m ω2

0 0

Ne2

ε =1 − 0 . (6.47)

ε0m0ω2

Отсюда следует, что диэлектрическая проницаемость ненамагниченной плазмы скалярная величина. Вектор электрической индукции в этом случае совпадает по направлению с вектором напряженности электрического поля и плазма является изотропной средой.

Пусть наряду с полем E = E0 cos ωt на плазму воздействует постоянное магнитное поле H0 = z0 H0 . Теперь, как только под

влиянием электрического поля электрон приобретает скорость V , на него начинает действовать со стороны магнитного поля сила Лоренца

			= ε	μ					.	(6.48)
F					V ,H
	Л		0		0				0

Из формулы (6.48) видно, что величина и направление силы Лоренца будут зависеть от взаимной ориентации векторов V и H0 .

Предположим сначала, что, после того как электрону была сообщена начальная скорость V0 , вектор которой параллелен E0 ,

145

электрическое поле исчезает. Тогда в зависимости от направления вектора E по отношению к H0 электроны будут перемещаться по различным траекториям.

Если E H0 , то согласно (6.48) сила Лоренца FЛ = 0 и частицы двигаются прямолинейно вдоль силовых линий постоянного магнитного поля H0 (как и при его отсутствии).

При E H0 сила Лоренца имеет максимальное значение

FЛ = e0μ0V0 H0.

Теперь в любой точке траектории электрона сила FЛ перпен-

дикулярна вектору скорости (рис. 6.5,а). Следовательно, она не производит работу и может изменять лишь направление скорости, не изменяя ее величины, поэтому электроны будут двигаться по окружностям, плоскости которых перпендикулярны вектору H0 . Ра-

диус окружности можно определить из условия равенства центробежной силы и силы Лоренца:

m v2

0r 0 = e0μ0V0 H0 ,

r =	m0V0				.	(6.49)
	e	μ	H	0
	0	0

Период обращения электрона по окружностям Tm находится из очевидного соотношения V0Tm = 2πr , откуда с учетом (6.49) будем иметь

Tm = 2μπm0 .

e0 0 H0

Угловая скорость вращения электрона (частота гиромагнитного резонанса) равна

ω = 2π		=	e0μ0 H0	.	(6.50)
m	Tm		m0

146

Если вектор E (следовательно, начальная скорость V0 ) составляет с направлением H0 некоторый угол α, то скорость V0 можно разложить на две составляющие: V и V (рис. 6.5,б).

x	v	x
		0

r

z

E

v0

FЛ

H0 = z0H0

v

α

H0

o

v//

y

o

y

а

б

Рис. 6.5. Виды траектории движения свободных электронов в намагниченной плазме

Под влиянием V электрон приобретает вращательное движение. Одновременно с этим он скользит вдоль силовых линий магнитного поля с постоянной скоростью V . Результирующая траектория электрона будет иметь вид винтовой линии с осью, параллельной вектору H0 .

6.4.3. Тензор диэлектрической проницаемости намагниченной плазмы

Пусть теперь переменное электрическое поле не исчезает после того, как электроны начали движение. Уравнение движения электрона при одновременном воздействии переменного электрического поля и постоянного магнитного поля может быть получено из формулы (6.41) путем введения в правую часть силы Лоренца. В комплексной форме уравнение принимает вид

	d 2r							dr
m			= −e E −e			μ			, H				,
							0				0
0	dt	2	0	0
								dt

где r = rme jωt .

147

Тогда

−m ω2r		e jωt = −e			e jωt − jωe μ	e jωt H	r	, z		. (6.51)
			E	m					0
0	m	0			0 0		0 m

Умножим правую и левую части равенства (6.51) на e0 N2 . Те- m0ω

перь легко получить комплексную амплитуду вектора поляризации:

Pm = e0 N2 Em + m0ω

Введем обозначения:

e2 N

m0 ε = ω0 ;

0 0

Тогда

jωe0μ0 H0 Pm , z0 .

ω2m0

e0μ0 H0 = ωm.

m0

=

ω02

ε

+ j

ωm

, z

.

(6.52)

P

E

P

m

ω2

0

m

ω m 0

Перейдем от векторного уравнения (6.52) к системе скалярных уравнений:

Pmx =	ω02	ε0 Emx	+ j		ωm		Pmy ;
					ω
	ω2
	2				ωm
Pmy =	ω0	ε0 Emy	− j				Pmx ;	(6.53)
					ω
	ω2
P		2	ε	E .
		= − ω0
	mz	ω2	0		mz

Выразим проекции вектора электрической поляризации через проекции вектора напряженности электрического поля:

148

ε0 A

ε0C

ω02

ωmω02

P

= −ε

E

− j ε

E ;

0 ω2 −ωm2

0 ω(ω2 −ωm2 )

mx

mx

my

ε

ω ω2

ω2

P

= j

0

m 0

E

−ε

0

E

;

(6.54)

ω(ω2 −ωm2

)

0 ω2

−ωm2

my

mx

my

P

= −

2

ε

E .

ω0

mz

ω2

0

mz

Комплексная амплитуда вектора электрической индукции определяется равенством

		m =					(6.55)
	D		Pm + ε0 Em.

Вновь переходя к системе скалярных уравнений, с учетом обозначений, показанных в (6.45) фигурными скобками, получим:

D = ε	0	(1− A)E − jε			CE + 0 E ;
mx			mx	0		my			mz
											(6.56)
Dmy = jε0CEmx + ε0 (1 − A)Emy + 0 Emz ;
							ω2
D = 0 E + 0 E −ε
						1 −	0	E ;
mz		mx	my	0			ω2		mz

Введем обозначения:

ε		(1	− A)= ε		;	ε	C = b ;	ε			−	ω2		= ε		.	(6.57)
	0			x					0	1		0			z
						0						2
												ω

Сравнивая уравнения (6.56) с (6.3), с учетом обозначений (6.57) получим выражение для тензора диэлектрической проницаемости намагниченной плазмы

εx		− jb	0
	jb	εx	0		(6.58)
εˆ =				.
	0	0
			εz

149

Таким образом, по внешнему виду тензоры μˆ для намагниченного феррита и εˆ для намагниченной плазмы симметричны. Это дает возможность при исследовании полей воспользоваться принципом перестановочной двойственности.

6.5. Продольное распространение плоских электромагнитных волн в феррите

Пусть электромагнитная волна распространяется в феррите в направлении постоянного магнитного поля H = z0 H0 . Так как на-

пряженность поля вдоль координат x и y в приближении плоских волн не изменяется, то

∂∂x = ∂∂y = 0 .

Мы должны определить все основные характеристики электромагнитных волн: поляризацию, фазовую скорость, волновое сопротивление. Прежде всего необходимо получить дисперсионные соотношения.

Для этого запишем уравнения Максвелла:

rot H				m	= jωεE ;
						m					(6.59)
rot	E				= − jωμˆ H				m	.
		m

Перейдем к скалярной форме записи:

∂H∂ymz − ∂H∂zmy = jωεEmx ;

0

∂H∂zmx − ∂H∂xmz = jωεEmy ;

0

∂H∂xmy − ∂H∂ymx = jωεEmz ;

0 0

150