mathanaliz

Пример 23. Найти
	√3				− √3			! .			(2.5)
lim		n + a					n
			√ 5					√		2
	4					−		3
Пример 24. Найти lim			5		n +2					n +1	.
			√n4+3−√n3−1
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Предел последовательности.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.8. О переходе к пределу в неравенствах.

Теорема 20. Если последовательность (xn) сходится и n N : xn ≥ 0, то

lim xn ≥ 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Метод от противного. Допустим, что lim xn = −|a| < 0. Зафиксируем ε = |a2|.

(lim xn = −|a|)

опр.25

=

N т.ч.

|

|

||

a

N = N(ε)

2

n > N :

xn + a

< | |

10.16				a
		n > N : xn <	−
				2
=				| |		.

Выделенное синим цветом противоречит условию теоремы, n N : xn ≥ 0. Следовательно, наше предположение не верное.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание. Имеет ли место утверждение:

((x	)- сходится)					?
n
							n
						= (lim x		> 0)?
		N	: xn >	0)
( n

Нет, это утверждение не верно. Предел последовательности может быть равен нулю, и в случае, когда все члены последовательности положительны.

Пример: xn = n1 , n N : n1 > 0, но lim n1 = 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 21. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся и n N : xn ≤ yn (xn < yn), то

lim xn ≤ lim yn.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

Обозначим через zn = yn − xn. Тогда

((xn)- сходится) ((yn)- сходится) ( n N : xn ≤

y )

n

12

=

	((z	n	)- сходится)							20
										=
				N	:	zn	≥	0)
	( n

(lim zn ≥ 0) = (lim xn ≤ lim yn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 22. Пусть последовательности (xn) и (zn) сходятся и имеют равные пределы :

lim xn = lim zn = a.

Если

n N : xn ≤ yn ≤ zn,

то последовательность (yn) сходится и её предел равен a.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Фиксируем ε > 0.

опр.

25

(lim xn = a) =

(

N

1

= N

(ε)

N

такое, что

n > N

: x

n

(a

ε, a + ε)

1

1

−

(lim zn = a) =

=

опр.25

(

N2 = N2(ε) N такое, что

n > N2

: zn

(a

ε, a + ε)

−

( n

N

: x

n

y

n

z

)

n

≤

≤

N = max{N1, N2} такое, что n > N

: yn		(a		−	ε, a + ε)
		|				{z		}
					Uε(a)

Из выделенного синим цветом следует, по определению 25, что lim yn = a.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 25. Показать, что

lim 2n = 0. n!

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Очевидно следующее неравенство

0 <	2n	2 2 2								2			2	2 n−2			=	9 2 n
		=			·			·		· · ·		≤										.
	n!		1				2		3		n				3		2				3
Так как lim						n
				2				= 0 (см. пример 10), то, в силу
				3				n		= 0.
теоремы 22, lim								2
								n!

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit