mathanaliz

1 n5+4n+1

1 n5+4n+1

Для построения интервал (N0, +∞) , все натуральные числа которого являются решениями неравенства < ε0, нужно построить (придумать, создать) функцию ϕ(n) натурального аргумента, удовлетворяющую следующим условиям:

1. n > N1 : < ϕ(n), где N1 N – некоторое натуральное число;

2. Легко находятся все решения неравенства

ϕ(n) < ε0;

3. Все натуральные числа некоторого интервала (N2(ε0), +∞) являются решениями неравенства ϕ(n) < ε0, т.е. бесконечно удалённая точка является предельной точкой множества решений неравенства ϕ(n) < ε0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Полагая N0 = N(ε0) = max{N1, N2(ε0)} мы получим, что n > N0 :

1.	1			< ϕ(n)
		n5+4n+1
3.	ϕ(n) < ε0

					1
	=						< ε	0
				5	+ 4n + 1
	n

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Выбор функции ϕ(n), удовлетворяющей условиям 1 - 3, не является однозначным. Это, как правило, довольно трудный шаг при решении

таких примеров.

Можно взять ϕ(n) = n15, ϕ(n) = n14, ϕ(n) = n13, ϕ(n) = n12, ϕ(n) = n1 , ϕ(n) = n+11 , и т.д.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Выбираем ϕ(n) = 1			. Тогда:
		n			1
1. n N :		1
					< n;
		n5+4n+1
1						1
2. n	< ε0 n >						;
						ε0

3.N2(ε0) = ε10 + 1.

Полагая

						1								1
N	0	= N(ε	) = max	1,						+ 1	=							+ 1,
		0
						ε									ε
								0								0
получим, что n > N0					:					1			< ε0.
							n5+4n+1

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 7. Показать,√что a R, a > 1, последовательность xn = n a сходится к единице.

Пример 8. Показать, что последовательность

√

xn = n n сходится к единице.

Пример 9. Показать, что последовательность

x		=	1			сходится к нулю.
	n		√n!
			n

ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Доказать по определению

1 lim nk

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 6. Если xn → a, то |xn| → |a|.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

? îïð.24

(xn → a) = (|xn| → |a|)

( ε > 0 N = N(ε) N такое, что n > N : ||xn| − |a|| < ε) .

Фиксируем произвольное ε > 0 .

îïð.24
(xn → a) =
( N = N(ε) N такое, что				n > N : |xn − a| < ε)
n > N :		x		a		x		−	a	< ε! .
	|		n	| − |	|	≤ |	n		|

10.15

=

Из выделенного синим цветом следует, по определению 24, что |xn| → |a|.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание. Верно ли утверждение:

?

(|xn| → |a|) = (xn → a).

Нет, не верное.

Пример: xn = (−1)n−1. Последовательность (xn) расходится (см. пример 4), а последовательность (|xn|), |xn| = 1, очевидно, сходится к единице.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.1. Бесконечно малые числовые последовательности.

Определение 27. Последовательность (xn), xn R, называется бесконечно малой, если lim xn = 0.

Определение 28. Последовательность (xn), xn R, называется бесконечно малой, еслиε > 0 N = N(ε) N такое, что n > N :

|xn| < ε.

Общие члены бесконечно малых последовательностей будем обозначать буквами грече-

ского алфавита, например, αn, βn, γn, . . . .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 10. Показать, что q R, |q| < 1, последовательность αn = qn бесконечно малая.

Пример 11. Показать, что b R, b > 1, последовательность αn = bnn бесконечно малая.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit