mathanaliz

Теорема 7. Для того чтобы последовательность (xn), xn R, сходилась к числу a, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

xn = a + αn, где αn → 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Необходимость.

(x a) =? (x = a + α , где α 0) .

n → n n n →

Разность xn − a, обозначим αn, т.е.

xn − a := αn.

Покажем, что (αn → 0). Фиксируем произвольное ε > 0.

îïð.24

(xn → a) = ( N = N(ε) N т.ч. n > N : |xn − a| < ε) îáîç= .

( n > N : |αn| < ε) .

Из выделенного синим цветом следует, по определению 28, что αn → 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Достаточность.

(xn = a + αn, αn → 0) =?

îïð.24

(xn → a)

( ε > 0 N = N(ε) N т.ч. n > N : |xn − a| < ε) .

Фиксируем произвольное ε > 0 .

(xn = a + αn, αn → 0)

îïð.28

(αn = xn − a, αn → 0) = ( N = N(ε) N т.ч. n > N : |αn| = |xn − a| < ε) .

Из выделенного синим цветом следует, по определению 24, что xn → a.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.2. Бесконечно большие числовые последовательности.

Определение 29. Последовательность (xn), xn R, стремится к бесконечности, если

ε > 0 N = N(ε) N такое, что n > N :

|xn| > ε.

Тот факт, что (xn), xn R, стремится к бесконечности, будем кратко записывать так: lim xn = ∞ или xn → ∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 30. Последовательность (xn), xn R, стремится к “плюс бесконечности”, если ε > 0 N = N(ε) N такое, что

n > N : xn > ε.

Тот факт, что (xn), xn R, стремится к плюс бесконечности, будем кратко записывать так: lim xn = +∞ или xn → +∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 31. Последовательность (xn), xn R, стремится к “минус бесконечности”, если ε > 0 N = N(ε) N такое, что

n > N : xn < −ε.

Тот факт, что (xn), xn R, стремится к минус бесконечности, будем кратко записывать так:

lim xn = −∞ или xn → −∞.

Замечание. Если lim xn = ∞ или lim xn = ±∞, то (xn) расходится.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 32. Последовательность (xn), xn R, называется бесконечно большой, если она стремится к ∞ или +∞ или −∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 12. Показать, что lim (−1)nn2 = ∞.

Пример 13. Показать, что lim nn = +∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.2.1. И Доказать, по определению, что

последовательность бесконечно большая.

Доказать, что

Доказать, что

Доказать, что

lim nk = +∞

lim(−1)nnk = ∞

lim √k

= +∞

n

Доказать, что

Доказать, что

Доказать, что

lim √k

= +∞

lim n! = +∞

lim an = +∞

ln n

Доказать, что

Доказать, что

lim nn = +

lim nk + an + b = +

∞

∞

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.3. Связь между бесконечно большими и

бесконечно малыми числовыми последовательностями.

Теорема 8. Если последовательность (αn), αn R, бесконечно малая и все её члены отличны от нуля, то последовательность (xn), xn = α1n, бесконечно большая. И наоборот, если (xn), xn R, бесконечно большая и n N : xn 6= 0, то последовательность (αn), αn = x1n, бесконечно малая.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit