mathanaliz

. 18

(xn → x0) Îïð= ( N0 = N(ε) N такое, что n > N0 : xn Uε(x0).)

. 18

(xn → x1) Îïð= ( N1 = N(ε) N такое, что n > N1 : xn Uε(x1).)

Тогда

n0 > max{N0, N1} : xn0 Uε(x0) ∩ Uε(x1),

что противоречит условию

S

Uε(x0) ∩ Uε(x1) = .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 23. Последовательность (xn), xn Rk называется ограниченной, если M

такое, что ~ ≤

R n N : d(0, xn) M.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 4. Каждая сходящаяся последовательность в Rk ограничена.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

	Доказательство. Пусть xn → x0 Rk			S
	и фиксируем ε0 = 1. Тогда			S
				. 18
			(xn → x0) îïð=
	( N0 = N(ε0) N такое, что n > N0 : d(x0; xn) < ε0)			Св-во 4
				=
	n > N0 : d(0;~ xn) ≤ d(0;~ x0) + d(x0; xn) < d(0;~ x0) + 1
	Положим			S
	~	~
	M = max d(0; x1), d(0; x2), . . .
		~	~
		. . . , d(0; xN0), d(0; x0) + 1 .
	Следовательно, n N :		~
				S
			d(0, xn) ≤ M.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 5. Показать, что последовательность

	1 n	ограниченная.
xn = 1 + n

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение.

Пользуясь формулой бинома Ньютона, запишем:

xn

1 n

=

= 1 +

n

= 1 + n

·

1

+

n(n − 1)

1

+

n(n − 1)(n − 2)

1

+

n

n3

1 · 2 n2

1 · 2 · 3

+

· · ·

+ n(n − 1)(n − 2) · · · [n − (k − 1)] 1

+

1 · 2 · 3 · · · k

nk

+

· · ·

+

n(n − 1)(n − 2) · · · [n − (n − 1)]

1

=

nn

1

·

2

·

3

· · ·

n

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

= 1 + 1 +	1				1		+	1				1			2		+ +
			1							1			1
				−							−			−			· · ·
2!					n			3!				n			n

1

1

2

−

k 1

· · ·

k!

− n

− n

· · ·

n

+

+

+

1

1

1

−

1

1

2

−

n 1

n!

− n

− n

· · ·

n

<

+

1

1

1

−

			1				1						1
< 1 + 1 +					+						+ · · · +						<
			2!				3!								n!
1					1								1
< 1 + 1 +			+						+ · · · +										=
	2					22								2n−1
10.8							1				1						1
												n
= 1 +										− 2			< 1 +								= 3.
																		1 −		21
									1 − 21

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Очевидно, что

		N		1 n
				n
n			: 0 < xn = 1 +		.

Итак, мы показали существование числа M = 3 такого, что

1

n

N

:

|

xn

|

=

1 +

n

< 3,

n

т.е. последовательность xn ограниченная.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Лемма 1.

1

2

, . . . , ξ

k

Пусть x = ξ

, ξ

,

1

, η

2

, . . . , η

k

k

произвольные точки.

y = η

R

Тогда

max

j

−

ξ

j

≤

d(x; y),

(2.1)

η

1 j

k

≤

≤

≤

√

j

−

j

d(x; y)

k

max

ξ

η

1

j k

≤ ≤

(2.2)

Доказать лемму самостоятельно.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 5. Пусть даны последовательность

				1 2	k			k	и точка
(xn), xn = ξn, ξn, . . . , ξn R
	1	2		k		k	.
x0 = ξ0		, ξ0	, . . . , ξ0 R

Последовательность (xn) сходится к точке x0 тогда, и только тогда, когда

ξn1 → ξ01, ξn2 → ξ02, . . . , ξnk → ξ0k.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit