mathanaliz

Доказательство. Первая часть.

(αn		?		1		29
		0 и αn = 0) =	xn =		.
	→	6		αn	→ ∞

( ε > 0 N = N(ε) N т.ч. n > N : |xn| > ε.)

Фиксируем произвольное ε0 > 0.

îïð.24

1

(αn → 0)

N т.ч.

1

N0

|

αn

|

<

ε

ε

= N

n > N0 :

0

1

0

=

n > N :

|

x

|

=

> ε .

αn

0

n

0

Из выделенного синим цветом следует, по определению 29, что xn → ∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Вторая часть доказательства.

		?		1			24
(xn	→ ∞	6			→
				xn
		и xn = 0) =	αn =		0

( ε > 0 N = N(ε) N т.ч. n > N : |αn| < ε.)

Фиксируем произвольное ε0 > 0.

îïð.29

1

(xn → ∞)

N т.ч.

1

N0

n > N0 :

|

xn

|

ε

ε

= N

>

0

1

0

=

n > N : α

|

=

< ε .

0

|

n

xn

0

Из выделенного синим цветом следует, по определению 24, что αn → 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 14. Показать, что последовательность

√

xn = n n! бесконечно большая.

Решение. Так как √1 бесконечно малая по-

n n!

следовательность (см. пример 9), то, в силу

√

n !

теоремы 8, n! бесконечно большая последовательность.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 15. Показать, что последовательность

(−1)n

αn = 2 бесконечно малая.

n

Решение. Так как (−1)nn2! бесконечно большая последовательность (см. пример 12), то,

(−1)n

в силу теоремы 8, 2 бесконечно малая

последовательность. n

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.4. Операции над числовыми последовательностями.

Пусть заданы две последовательности

(xn), (yn), xn, yn R.

Определение 33. Суммой и произведением

двух последовательностей (xn), (yn) называются последовательности

(xn + yn), (xn · yn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 34. Частным двух последовательностей (xn), (yn), n N : yn 6= 0, называется последовательность

xn
		.
	yn

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.5. Теоремы о бесконечно малых числовых последовательностях.

Теорема 9. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

(α 0, β 0) =? (α + β 0) .

n → n → n n →

Фиксируем произвольное ε > 0.

→

îïð.28

N такое, что

|

< 2ε

(αn

0)

=

N1

= N1(ε)

n > N1

:

αn

=

îïð.28

|

ε

(βn → 0)

=

N2

= N2(ε) N такое, что

n > N2

: |βn| < 2

}

такое, что

ε

ε

!

10.13

N = max

N1, N2

n > N : αn

<

,

βn

<

=

2

2

{

| |

|

|

( n > N : |αn + βn| ≤ |αn| + |βn|< ε) .

Из выделенного синим цветом следует, по определению 28, что (αn + βn) бесконечно малая последовательность.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 10. Сумма любого фиксированного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Теорема 10 доказывается методом математической индукции. Доказать самостоятельно.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 11. Произведение ограниченной (xn) и бесконечно малой (αn) последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit