mathanaliz

Теорема 19. Пусть xn → ±∞ и yn → ∞, причём (xn) есть последовательность более высокого порядка роста чем последовательность (yn). Тогда (xn − yn) и (xn) есть эквивалентные бесконечно большие последовательности.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Запишем xn − yn = xn ·

	yn
1 − xn		. Так как (xn) есть последователь-

ность более высокого порядка роста чем последовательность (yn), то, по определению 37,

lim yn	= 0. В силу теоремы 17, последователь-
xn		yn

ность xn · 1 − xn бесконечно большая и, учи-

тывая, что для всех достаточно больших номеров 1−xynn > 0, получаем, что xn−yn → ±∞. Так как

	xn	−	yn			yn		= 1,
lim				= lim 1	−
		xn				xn

то последовательности (xn − yn) и (xn), по определению 38, эквивалентные.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Итак, в силу теоремы 19, только тогда, когда бесконечно большие последовательности (xn)

и (yn) одного порядка роста, возникают трудности с нахождением предела последователь-

ности (xn − yn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

	Пример 21. Найти
	lim √			√		! .	(2.4)
		n + 1
					n
				−

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

последовательности lim xynn = 1. Для раскрытия этой неопределённости воспользуемся приёмом, основанном на формуле:

= (a − b)(a + b).

= lim u

t

u

n+1 n

n эквивалентные бесконечно большие

v

√

Решение. Последовательности xn = n + 1 и

√

yn =

a2 − b2

Сомножители (a − b) и (a + b) называ-

ют сопряжёнными. Перепишем (2.4) в виде

lim

√

−√

и домножим числитель

n+1

n

и зна-

1

менатель на выражение √

+ √

!

сопря-

n + 1

n

жённое √

− √

!.

n + 1

n

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда получим

√

√

n + 1

n

∞ − ∞

10.17

lim

1

−

= (

) =

= lim

(

n + 1) − n

= lim

1

=

√n + 1 +

√n

√n + 1 +

√n

= lim

√

1

√

= 0,

n + 1

+

n

т.к. последовательность zn = √n + 1 + √n бесконечно большая. В дальнейшем приём, который мы использовали при решении примера 21, будем называть методом “Умножить на сопряжённое”.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 22. Найти lim √4n + 1 − √n! .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

√

Решение. Последовательности x = 4n + 1 и

√ n

yn = n бесконечно большие одного поряд-

ка роста lim	xn		v	4n+1	= 2 . Для раскры-
	y		= lim u	n
			u
		n	t

тия этой неопределённости воспользуемся методом "Умножить на сопряжённое".

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда получим

√

√

4n + 1

n

∞ − ∞

10.17

lim

1

−

= (

)

=

= lim

(4n + 1) − n

= lim

3n + 1

=

√4n + 1 + √n

√4n + 1 +

√n

1

=

∞

= lim

n 3 + n

= +

,

√ v

1

∞

∞

n

u1 +

n

+ 1

u

t

т.к. доминанта числителя имеет более высо-

кий порядок роста чем доминанта знаменателя (√n n).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Второй способ решения.

Для раскрытия неопределённости воспользуемся "Методом доминант". Тогда получим

lim √

− √

!

= (∞ − ∞) =

4n + 1

n

v

1

lim √

u

n

uu4 +

−

1

= + ,

t

∞

u

u

n

как произведение бесконечно большой последовательности на сходящуюся к единице

последовательность (см. следствие 1 теоремы 17).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit