mathanaliz

Замечания к шкале порядков роста последовательностей:

1.Шкала содержит лишь малую часть бесконечно больших последовательностей и может быть расширена. Но она содержит все нужные нам при решении задач этого учебника последовательности.

2.Очевидно, что из двух последовательностей, относящихся к одному узлу шкалы,

большим порядком роста обладает последовательность с большим показателем. Например:

1	3
n n2, (ln n)2	(ln n)4 .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 40. Если последовательность (zn) можно представить в виде произведения образующей последовательности в рациональной степени и ограниченной отделимой от нуля последовательности, то образующую последовательность в рациональной степени назовём доминантой последовательности (zn)

(от лат. dominantis - важнейшая часть чего либо).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечания:

1.Если последовательность (zn) имеет доминанту, то последовательность (zn) бесконечно большая.

2.Не всякая последовательность имеет доминанту.

3.Зная доминанты бесконечно больших последовательностей их легко сравнивать между собой по порядку роста, опираясь при этом на шкалу порядков роста последовательностей.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 16. Выделить доминанту последовательности

xn = 5n5 + n3 − 3n + 1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Представим последовательность (xn) в виде

5 3			5		1		3				1
xn = 5n + n	−	3n + 1 = n		·			−			+
					n			n			n
				5 +		2			4			5	.

1

3

1

Так

как

lim 5 +

−

+

= 5, то (см.

n2

n4

n5

теорему

4

и лемму

2)

последовательность

1

3

1

5 +

−

+

ограниченная и отделимая от

n2

n4

n5

нуля, а последовательность (n) является образующей.

Итак, доминантой последовательности (xn) является последовательность n5! .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

тренажёр – инструмент Выделить доминанту последовательности

a0n5 + a1n4 + a2n3 + a3n2 + a4n + a5

тренажёр – инструмент Выделить доминанту последовательности

√

k anm + bnl + c

тренажёр – инструмент Выделить доминанту последовательности

√anm + bnl + c − rdnr + ent + f
k	s

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 17. Найти

lim n +n 1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Последовательности xn = n + 1 и yn = n бесконечно большие. Для раскрытия неопределённости ∞∞! воспользуемся приёмом: в числителе и знаменателе выделим доминанты. Тогда получим

n + 1

=

∞

= lim

n

1 + n1

1

= 1,

lim

= lim 1 +

n

n

n

∞

т.к. последовательность lim n1 = 0. В дальнейшем приём, который мы использовали при решении примера 17, будем называть – "Метод доминант.”

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 18. Найти

√

lim 3 n3 + 2n − 1. n2 + 1

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение.			Последовательности xn	=
√3			и yn = n2 + 1 бесконечно боль-
	n3 + 2n − 1
шие. Для		раскрытия неопределённости		∞!
				∞

воспользуемся "Методом доминант". Тогда

получим

√

3

v

3

3

2

1

n + 2n 1

n u1 +

−

∞

u

n

−

n

lim

=

= lim

t

= 0,

n2 + 1

2

1

∞

n

1 +

n2

т.к. доминанта знаменателя имеет более высокий порядок роста, чем доминанта числителя

n n2!.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit