2.5. Решение краевой задачи методом Фурье

Изложим существо метода Фурье или метода разделения переменных, рассматривая задачу о колебаниях струны с закрепленными концами. Как мы уже знаем, эта задач сводится к решению волнового уравнения

(53)

при начальных условиях

(54)

и граничных условиях

. (55)

Будем искать нетривиальные частные решения уравнения (55), удовлетворяющие условиям (52), в виде произведения двух функций, зависящих только от одного аргумента X=X(x) и T=T(t), а именно

, (56)

Вычислив производные от (56) и, подставив их в уравнение (53), получим

(57)

или

. (58)

Равенство (58) выполняется только в том случае, если обе части его не зависят ни от х, ни от t, т.е. представляют собой одну и туже постоянную, которую обозначим за , т.е.

. (59)

Отсюда получаем два обыкновенных однородных линейных уравнений второго порядка

(60)

и

. (61)

Для того, чтобы получить не равные нулю решения вида (56), удовлетворяющие граничным условиям (55), необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям

. (62)

Таким образом, мы пришли к задаче: найти такие значения параметра  которые назовем собственными числами или собственными значениями. Нетривиальные решения уравнения (61), которые соответствуют этим собственным значениям, назовем собственными функциями, удовлетворяющие граничным условиям (62). Задачу отыскания собственных значений и собственных функций называют задачей Штурма-Лиувилля.

Рассмотрим три случая задачи (61), (62)

1) <0.

В этом случае общее решение уравнения (61) имеет вид

,

удовлетворяя граничным условиям (62), получим

2)=0.

В этом случае общее решение уравнения (61) имеет вид

,

удовлетворяя граничным условиям (62), получим

.

3)>0.

В этом случае общее решение уравнения (61) имеет вид

,

удовлетворяя граничным условиям (62), получим

.

В уравнении постояннаяС₂не может быть равной нулю, поскольку в этом случае, мы получим тривиальное решение задачи (61), (62) -Х(х) ≡ 0. Поэтому для того, чтобы равенствовыполнялось необходимо, чтобы выполнялось равенство, а оно выполняется только тогда, когда(k-любое целое число). Следовательно, нетривиальное решение задачи (61), (62) возможно лишь при собственных значениях_kравных

. (63)

Только этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции вида

, (64)

которые будут являться нетривиальными решениями задачи (61), (62).

Собственные значения (63) подставим в уравнение (60)

. (65)

Общее решение этого уравнения имеет вид

. (66)

Подставляя функции (64) и (66) в (56), найдем

, (67)

где a_k и b_k – произвольные постоянные.

Эта функция удовлетворяет уравнению (53) и граничным условиям (55) при любых коэффициентах a_k и b_k. В силу линейности и однородности уравнения (53) всякая конечная сумма решений (67) также будет решением уравнения (53), поэтому можно записать

. (68)

Определяя постоянные a_k и b_k так, чтобы сумма ряда (68) удовлетворяла и начальным условиям (54), приходим к равенствам

(69)

. (70)

Эти формулы (69) и (70) дают разложение функций в ряд Фурье по синусам в интервале (0,l). Коэффициенты этих разложений вычисляются по известным формулам

, (71)

. (72)

Таким образом, ряд (68) полностью определяет решение исходной краевой задачи (53)-(55).

Пример 11. Решить краевую задачу для неоднородного уравнения гиперболического типа

, (11.1)

при начальных условиях

(11.2)

и граничных условиях

. (11.3)

▲ Подберем сначала такую функцию , чтобы удовлетворяла граничным условиям (11.3). Пусть, например,  = xt. Тогда

Следовательно, функция определяемая как

(11.4)

удовлетворяет уравнению

(11.5)

однородным граничным условиям

(11.6)

и нулевым начальным условиям

. (11.7)

Применим метод Фурье для решения однородного уравнения

при условиях (11.6), (11.7), для этого положим

.

В результате приходим к следующей задаче Штурма-Лиувилля:

, .

Решая эту задачу, находим собственные значения

и соответствующие им собственные функции

. (11.8)

Теперь будем искать решение неоднородного уравнения (11.5) с однородными граничными (11.6) и нулевыми начальными (11.7) условиями в виде следующего ряда

, (11.9)

причем

. (11.10)

Подставив из (11.9) в уравнение (11.5), получим

. (11.11)

Для нахождения функции T_n(t) разложим единицу в ряд Фурье по системе функций (11.8) на интервале (0,1):

. (11.12)

Так как

,

и из (11.11) и (11.12) получаем уравнение

, (11.13)

которое является обыкновенным неоднородным линейным уравнением второго порядка. Его общее решение равно сумме общего решения, соответствующего ему однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (11.13). Общее решение однородного уравнения

имеет вид

.

Частное решение уравнения (11.13) можно найти, например, методом неопределенных коэффициентов. Сравним вид правой части уравнения (11.13) с выражением

(11.14)

и определим значения параметров

При этих значениях параметров выражение (11.14) имеет вид правой части уравнения (11.13). Следовательно, можно записать частное решение этого уравнения в виде

. (11.15)

Так как , и эти многочлены имеют вид. При наших значениях параметровкомплексное числоравно нулю и не совпадет ни с одним из корней характеристического уравнения, поэтому значение показателяs в формуле (11.15) равно нулю. Таким образом, частное решение через неопределенные коэффициенты имеет вид

. (11.16) Подставив (11.16) в уравнение (11.13), получим

. (11.17)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в правой и левой частях уравнения (11.17), найдем значения неопределенных коэффициентов С₁ и С₂

.

Следовательно, частное решение уравнения (11.13) имеет вид

.

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид

. (11.18)

Используя условие (11.10) найдем значения коэффициентов А и В:

Подставляя полученные коэффициенты АиВв формулу (11.18), получим

. (11.19)

Затем, подставляя (11.19) в решение (11.9) и используя равенство (11.4) окончательно получим решение исходной задачи (11.1) – (11.3):

.▲

Пример 12. Струна, закрепленная на концах x=0 и x=l, имеет в начальный момент форму параболы . Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют (рис.2).

Рис.2.

▲ Запишем начальные условия

(12.1)

и граничные условия

. (12.2)

в соответствии с условиями задачи.

Решение исходной задачи дается формулой (60)

, (12.3)

в которой коэффициенты ряда - a_k и b_k, определяются по формулам

, (12.4)

. (12.5)

Подставив начальные условия (12.1) в формулы (12.4) и (12.5), найдем значения коэффициентов a_k и b_k

а коэффициент b_k = 0, т.к. .

Подставляя найденные значения коэффициентов a_k и b_k, в формулу (12.3), получим

.

При четном k=2n выражение , следовательно, и решение, а при нечетном k=2n+1 выражение , поэтому окончательное решение исходной задачи имеет вид

.▲

Аналогом струны в двумерном пространстве считается мембрана и уравнение ее колебаний имеет вид

. (73)

Волновое уравнение также описывает крутильные колебания стержней, плоские акустические волны в жидкостях и газах, плоские электромагнитные волны в непроводящих средах и т.п.