3.3. Неоднородное уравнение теплопроводности Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности

, (113)

с начальными условиями

, (114)

и граничными условиями

. (115)

Решение этой задачи будем искать в виде ряда Фурье по системе собственных функций (94)

,

т.е. в форме разложения

, (116)

считая при этом t параметром.

Пусть функции f(x,t) является непрерывной и имеет кусочно-непрерывную производную 1-го порядка по х и при всех t>0 выполняются условия

.

Предположим теперь, что функции f(x,t) и можно разложить в ряд Фурье по синусам

, (117)

где

(118)

и

, (119)

где

. (120)

Подставим (116) в уравнение (113) и с учетом (117), получим

.

Это равенство выполняется тогда, когда

, (121)

или, если , то это уравнение (121) можно записать в виде

. (122)

Пользуясь начальным условием (114) с учетом (116), (117) и (119) получаем, что

,

откуда

. (123)

Таким образом, для нахождения искомой функции приходим к задаче Коши (122), (123) для обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пользуясь формулой Эйлера можно записать общее решение уравнения (122)

,

а с учетом (123) решение задачи Коши

.

Следовательно, когда мы подставим значение этой функции в выражение (116), в итоге получим решение исходной задачи

(124)

где функции f(x,t) и определены формулами (118) и (120).

Пример 14. Найти решение неоднородного уравнения параболического типа

(14.1)

при начальном условии

(14.2)

и граничных условиях

. (14.3)

▲ Подберем сначала такую функцию , чтобы удовлетворяла граничным условиям (14.3). Пусть, например,  = xt². Тогда

Следовательно, функция определяемая как

(14.4)

удовлетворяет уравнению

(14.5)

однородным граничным условиям

(14.6)

и нулевым начальным условиям

. (14.7)

Применяя метод Фурье для решения однородного уравнения

при условиях (14.6), (14.7), положим

.

Приходим к следующей задаче Штурма-Лиувилля:

, .

Решая эту задачу, находим собственные значения

и соответствующие им собственные функции

. (14.8)

Решение задачи (14.5)-( 14.7) ищем в виде ряда

, (14.9)

где

(14.10)

Подставив из (14.9) в (14.5) получим

. (14.11)

Для нахождения функции T_n(t) разложим функцию (1-х) в ряд Фурье по системе функций (14.8) на интервале (0,1):

. (14.12)

Так как

,

и из (14.11) и (14.12) получаем уравнение

, (14.13)

которое является обыкновенным неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его общее решение найдем по формуле Эйлера

а с учетом условия (14.10), найдем решение задачи Коши

. (14.14)

Из (14.4), (14.9) и (14.14) находим решение исходной задачи (14.1)- ( 14.3)

.▲

Задания для самостоятельной работы

Решить начально-краевые задачи

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

3.4. Задача Коши для уравнения теплопроводности

В первую очередь рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности.

, (125)

удовлетворяющее неоднородному начальному условию

. (126)

Начнем с того, что заменим переменные x и t на и введем в рассмотрение функцию. Тогда функциибудут удовлетворять уравнениям

где - функция Грина, определяемая формулой

, (127)

и обладающая свойствами

(128)

(129)

; (130)

. (131)

Умножив первое уравнение на G*, а второе на и и затем сложив полученные результаты, получим равенство

. (132)

После интегрирования по частям равенства (132) по в пределах от -∞ до +∞ и пов пределах от 0 доt, получим

. (133)

Если предполагать, что функция и ее производнаяограничены при, то в силу свойств (131) интеграл в правой части (133) равен нулю. Следовательно, можно записать

. (134)

Заменив в этом равенстве на, ана, получим соотношение

или

.

Отсюда, используя формулу (127) окончательно получим

. (135)

Формула (135) называется формулой Пуассона и определяет решение задачи Коши (125), (126) для однородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным условием.

Решение же задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности

, (136)

удовлетворяющее неоднородному начальному условию

, (137)

представляет собой сумму решений:

,

где является решением задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности. , удовлетворяющее неоднородному начальному условию, аявляется решением, удовлетворяющее однородному начальному условию. Таким образом, решение задачи Коши (136), (137) определяется формулой

.(138)

Пример 15. Найти решение уравнения

(15.1)

для следующего распределения температуры стержня:

(15.2)

▲ Стержень является бесконечным, поэтому решение можно записать, используя формулу (135)

.

Так как в интервалеравна постоянной температуре, а вне этого интервала температура равна нулю, то решение принимает вид

. (15.3)

Полагая в (15.3) , получим

.

Поскольку

представляет собой интеграл вероятностей, то окончательное решение исходной задачи (13.1), (13.2) можно выразить формулой

.▲