- •Внимание!!! контрольная работа должна быть выполнена в рукописном виде. Иначе она принята не будет. Варианты с 6 по 10.
- •1. Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду
- •Задания для самостоятельной работы
- •Составим уравнение движения струны. На элемент струны (х,) действуют силы натяженияи внешняя сила, действующая на струну в точкехв момент времениtи направленная перпендикулярно осиОх.
- •2.2. Формула Даламбера
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •2.5. Решение краевой задачи методом Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.2. Решение краевых задач методом Фурье
- •3.3. Неоднородное уравнение теплопроводности Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.5. Решение уравнения теплопроводности методом Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Или. (158)
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
Решить начально-краевые задачи
21. .
22. .
23. .
24 ..
3. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
3.1. Уравнение теплопроводности и постановка краевых задач
Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. Уравнение теплопроводности было получено при решении задачи о распространении тепла в неком стержне с плотностью x), удельной теплоемкостьюс(x) и коэффициентом внутренней теплопроводностиk. Вывод этого уравнения базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящее за время ∆tчерез малую площадку ∆S, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой
, (74)
где n– нормаль к площадке, направленная в сторону передачи тепла,k(x,u) - коэффициент внутренней теплопроводности,u(x,t) – температура тела в точкев момент времениt.
Предположим, что тело изотропно в отношении теплопроводности. Тогда k(x,u) не зависит от направления площадки. Для вывода уравнения, которому удовлетворяет температура u(x,t), выделим внутри тела объем, ограниченный поверхностьюS. Согласно закону Фурье количество тепла, втекающего вчерез поверхностьSза промежуток времени [t1,t2], равно
.
Если F(x,t) – плотность тепловых источников, то количество тепла, образованное за их счет вза указанный промежуток времени равно
.
Общее количество притекшего в за время отt1доt2тепла можно подсчитать также и через приращение температуры:
,
следовательно, можно записать
, (75)
(при этом предполагается, что подинтегральная функция непрерывна). В силу произвольности и промежутка времени [t1,t2] из выражения (75) вытекает равенство
, (76)
т.к. , где ∆ - оператор Лапласа, то уравнение (76) можно записать в виде
, (77)
где .
Уравнение (76) или (77) называются уравнением теплопроводности. Для одномерного случая приf(x,t) = 0 оно имеет вид
. (78)
Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к этому уравнению присоединить начальные и граничные условия.
Для одномерного процесса распределения температуры, описываемого уравнением (78) начальное условие имеет вид
, (79)
где - заданная функция.
Кроме того, для того, чтобы узнать тепловой режим на поверхности тела S, необходимо задать граничные условия.
В задачах теплопроводности граничные условия могут быть заданы различными способами, например:
1)поверхности тела задают температуру
, (80)
где - известная функция точкирповерхностиSи времениt.
Условие (80) называют граничным условием 1-го рода.
2)в каждой точке на поверхности тела задают тепловой поток
,
где - вектор плотности теплового потока;- единичная внешняя нормаль к поверхности телаS. По закону Фурье, следовательно, граничное условие в этом случае имеет вид
, (81)
где - известная функция точкирповерхностиSи времениt.
Условие (81) называют граничным условием 2-го родаи оно задает на поверхностиSнормальную производную температуры.
В случае теплоизолированной поверхности на всей поверхностиSмы имеем однородное условие
.
3)Граничное условие 3-го родаописывает тепловой режим на поверхности тела и задает связь между температуройuи ее нормальной производнойв любой точке поверхности тела
, (82)
где ;- коэффициент теплообмена (теплоотдачи), зависящий от свойств среды, а в общем случае и от разности температур телаии внешней средыu*.
Формально граничные условия 1-го, 2-го и 3-го рода можно объединить в виде обобщенного граничного условия
, (83)
из которого можно получить все рассмотренные краевые условия.
Пример 13. Задачи о диффузии. Вывести уравнение диффузии вещества в неподвижной среде, занимающей ограниченную область с границей Г, если задана плотность источниковF(x,t) и диффузия происходит с поглощением (например, частицы диффундирующего вещества вступают в химическую реакцию с веществом среды), причес скорость поглощения в каждой точке пространства пропорциональна плотностидиффундирующего вещества.
Получить краевые условия для следующих случаев:
на границе области поддерживается заданная плотность;
граница непроницаема;
граница полупроницаема, причем диффузия через границу происходит по закону, подобному закону Ньютона для конвективного теплообмена.
▲ Вывод уравнения основывается на законе Нэрнста, согласно которому количество вещества, проходящее за малый промежуток времени через малую площадку, равно
,
где D(x) – коэффициент диффузии, n – нормаль к элементу , направленная в сторону перемещения вещества. Пусть- коэффициент плотности среды.
Выделим некоторый объем с границейS и составим баланс количества вещества, пришедшего в за промежуток времени.
Количество вещества, пришедшего в через границуS, согласно закону Нэрнста равно
.
Количество вещества, образовавшегося в за счет источников, равно
.
Количество вещества в уменьшилось на величину
за счет поглощения среды (q(x) – коэффициент поглощения). Поскольку приращение количества вещества в за промежутокравно также
,
то
.
В силу произвольности объема и промежуткаиз полученного равенства вытекает
.
Это и есть классическое уравнение диффузии. Из физических соображений ясно, что для однозначного описания процесса диффузии необходимо знать начальное распределение плотности
,
и режим диффузии на границе области.
Краевые условия для разных случаев имеют вид:
если на границе области поддерживается заданная плотность, то
;
если граница непроницаема, то
;
если граница полупроницаема, то
,
где-заданные функции;-коэффициент проницаемости границы Г. ▲