- •Внимание!!! контрольная работа должна быть выполнена в рукописном виде. Иначе она принята не будет. Варианты с 6 по 10.
- •1. Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду
- •Задания для самостоятельной работы
- •Составим уравнение движения струны. На элемент струны (х,) действуют силы натяженияи внешняя сила, действующая на струну в точкехв момент времениtи направленная перпендикулярно осиОх.
- •2.2. Формула Даламбера
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •2.5. Решение краевой задачи методом Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.2. Решение краевых задач методом Фурье
- •3.3. Неоднородное уравнение теплопроводности Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.5. Решение уравнения теплопроводности методом Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Или. (158)
- •Задания для самостоятельной работы
Или. (158)
Для нахождения частных решений уравнения (158) используем метод Фурье и представим эти решения в виде
(159)
После подстановки решения (159) в исходное уравнение (158) для каждой функции иполучим два уравнения
, (160)
. (161)
Рассмотрим сначала уравнение (160) для функции . Если, то решение этого уравнения имеет вид
. (162)
Уравнение (161) в случае, когда представляет собой уравнение Эйлера, которое можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами путем замены, тогда
.
Следовательно, уравнение (161) принимает вид
.
Решение этого однородного линейного уравнения второго порядка имеет вид
и возвращаясь к переменной r, получим
. (163)
Если в уравнении (161) , то это уравнение принимает вид
(164)
Это уравнение также является уравнением Эйлера, поэтому, производя замену , приходим к уравнению
,
решение которого будет иметь вид
,
и возвращаясь к переменной r, получим
. (165)
решение уравнения (161) при .
Таким образом, можно построить частные решения уравнения Лапласа в круге и вне его:
I. Исходя из выражений (159), (162), 163) и (165) можно утверждать, что частные решения уравнения Лапласа в круге можно записать в виде:
Эти решения ограничены при и неограниченны на бесконечности.
Функция как функция отявляется периодической функцией с периодом, т.к. для однозначной функции величиныисовпадают. Поэтому из равенства (158) следует, что коэффициентВ в решении (162) равен нулю и может принимать одно из значений 1,2,3,… (). В решении (163) и (165) коэффициентD должен быть равным нулю, поскольку в противном случае функция имела бы разрыв в точкеr = 0 и не была бы гармонической в круге. Следовательно, мы получили бесчисленное множество частных решений уравнения (158), непрерывных в круге, которые (несколько изменив обозначения) можно записать в виде
(166)
Используя принцип суперпозиции, а также вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа можно утверждать, что сумма частных решений (166)
(167)
будет являться решением уравнения (158).
Если поставлены краевые условия
, (168)
то решение краевой задачи можно записать в виде разложения (167), коэффициенты которого определяются из граничного условия (168). Решение можно получить немного иначе. Запишем решение задачи (158), (168) в виде
(169)
. Подставляя (169) в граничное условие (168), получаем
(170)
Следовательно, являются коэффициентами Фурье функциипо системе тригонометрических функций, которые можно вычислить по следующим формулам:
(171)
Выпишем отдельно решение первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа в круге.
Задача Дирихле: ,
. (172)
Подставляя коэффициенты в (172) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим
.
Так как при имеет место разложение
,
то решение можно записать в виде
. (173)
Эта формула Пуассона, которая при непрерывной функции дает классическое решение задачи Дирихле в круге.
Задача Неймана: ,
. (174)
где С – произвольная постоянная.
Необходимо отметить, что решение задачи Неймана существует только при условии
и определяется с точностью до произвольной постоянной.
Третья краевая задача:
,
(175)
Коэффициенты в решениях (172), (174), (175) определяются по формулам (171).
II. Рассмотрим теперь внешнюю краевую задачу для уравнения Лапласа
,
,
функция и регулярна на бесконечности, т.е. она имеет конечный предел при .
Решение этой задачи можно записать в виде
(176)
. Коэффициенты определяются из граничного условия и вычисляются по формулам
(177)
Выпишем отдельно решение первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа вне круга.
1. Задача Дирихле: ,
. (178)
2. Задача Неймана: ,
. (179)
где С – произвольная постоянная.
Еще раз необходимо отметить, что решение задачи Неймана существует только при условии
и определяется с точностью до произвольной постоянной.
3. Третья краевая задача:
,
. (180)
Коэффициенты в решениях (178)-(180) являются коэффициентами Фурье функции , и определяются по формулам (177).
Пример 18. Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части круга радиуса R, удовлетворяющее краевому условию
. (18.1)
▲ Здесь задана задача Дирихле, где правая часть граничного условия (18.1) . Решение ищется в круге, значит выписывать решение будем по (172). Найдем в этой формуле коэффициенты. Для этого подставим само решение (172) в левую часть граничного условия (18.1) при, а правую часть, т.е. функциюразложим в ряд Фурье по синусам и косинусам
. (18.2)
Теперь сравним коэффициенты при синусах и косинусах с одинаковыми аргументами и при свободном члене в левой и правой частях полученного равенства (18.2)
(при ), т.к. справа нет слагаемых с,
а также все остальные (кроме ). Подставим ненулевые в решение (172) и получим ответ, т.е. найдем функцию
▲
Пример 19. Найти решение уравнения Лапласа во внешности круга радиуса R , удовлетворяющее на границе условию Неймана
(19.1)
▲ Здесь дана задача Неймана, где правая часть граничного условия (19.1) (уже разложена в ряд Фурье). Так как уравнение Лапласа надо решить вне круга, то будем использовать формулу (178). Найдем в этой формуле коэффициенты. Для этого подставим само решение (178) в левую часть граничного условия (19.1) при:
(19.2)
Теперь сравним коэффициенты при синусах и косинусах с одинаковыми аргументами в левой и правой частях полученного равенства (19.2):
а все остальные .
а все остальные .
Подставим полученные ненулевые коэффициенты в решение (178) и получим ответ, т.е. найдем функцию
▲