- •Внимание!!! контрольная работа должна быть выполнена в рукописном виде. Иначе она принята не будет. Варианты с 6 по 10.
- •1. Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду
- •Задания для самостоятельной работы
- •Составим уравнение движения струны. На элемент струны (х,) действуют силы натяженияи внешняя сила, действующая на струну в точкехв момент времениtи направленная перпендикулярно осиОх.
- •2.2. Формула Даламбера
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •2.5. Решение краевой задачи методом Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.2. Решение краевых задач методом Фурье
- •3.3. Неоднородное уравнение теплопроводности Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.5. Решение уравнения теплопроводности методом Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Или. (158)
- •Задания для самостоятельной работы
3.5. Решение уравнения теплопроводности методом Тейлора
Задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид
(139)
(140)
где – неизвестная функция,– заданы.
Разложим функцию при любом фиксированном в ряд Тейлора по времени относительно точки t=0 (ряд Маклорена)
(141)
Если найти коэффициенты ,то по формуле (141) получим решение. Заметим, что определяется из начального условия (140).
Разложим в ряд Маклорена функцию в правой части уравнения (139)
(142)
Поскольку функция задана, то все могут быть найдены.
Выражения для частной производной и оператора Лапласа в уравнении (139), следуют из (141)
(143)
Подставим (142) и (143) в уравнение (139). В результате получим равенство
Это равенство равносильно соотношениям
(144)
которые определяют коэффициенты и так далее через , заданную в начальном условии (140).
Таким образом, решение задачи Коши (139)–(140) выражается формулой:
(145)
где задана в (140), а остальные находятся по (144)
(146)
Пример 16. Найти решение уравнения
▲ Здесь Так каки, то по (146)Отсюда находим
То есть, все остальные
Подставляем полученные в решение (145)
или
▲
Пример 17. Найти решение уравнения
▲ Здесь Так каки, то по (146)
Найдем по этой формуле
И так далее, все остальные
Подставляем полученные в решение (145)
или
▲
Задания для самостоятельной работы
Решить задачи Коши для уравнения теплопроводности
30. . 31..
32. . 33..
34. . 35..
36. . 37..
38. . 39..
40. .
41. .
4. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
4.1.Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа
Рассмотрим движение несжимаемой жидкости. Пусть некий произвольный фиксированный объем V жидкости, ограниченный поверхностью S, и массой т движется со скоростью . Массат связана с плотностью соотношением
. (147)
Эта масса может изменяться за счет потока жидкости через поверхность S, причем
, (148)
где - внешняя нормаль кS. Тогда из уравнений (147) и (148) получаем
. (149)
Преобразуя поверхностный интеграл, находящийся в правой части выражения (149) по формуле Остроградского (), запишем формулу (149) в виде
.
Отсюда в силу произвольности выделенного объема V следует
.
Это уравнение называют уравнением неразрывности сплошной среды. Для несжимаемой жидкости плотность , и из уравнения неразрывности следует, что
. (150)
Рассмотрим установившееся течение несжимаемой жидкости, для которого . Если это течение безвихревое, то существует потенциал скоростей, такой, что
. (151)
или
, или , (152)
т.е. потенциал скоростей удовлетворяет уравнению (152), которое является уравнением эллиптического типа и называетсяуравнением Лапласа.
Запишем теорему Гаусса для электростатического поля напряженностью в вакууме
. (153)
где - электрическая постоянная в системе Си;- объемная плотность электрических зарядов;V – некоторый объем пространства, ограниченный замкнутой поверхностью S. С помощью теоремы Остроградского соотношение (153) можно преобразовать к дифференциальной форме
. (154)
Поскольку напряженность поля связана с потенциалом этого полясоотношением
,
то из (154) получим уравнение для потенциала электростатического поля
, (155)
которое будет являться уравнением эллиптического типа и называться уравнением Пуассона.
Как и уравнение Лапласа, так и уравнение Пуассона являются стационарными уравнениями, т.к. искомая функция не зависит от времени.
Уравнение Лапласа можно записать не только в системе декартовых координат (152), но и цилиндрической системе
(156)
и сферической системе координат
. (157)
С уравнением Лапласа связано понятие гармонической функции. Функцию называют гармонической в некоторой областиD, если в этой области она непрерывна вместе со своими частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа. Так, если функциязависит только от расстоянияточкидо начала координат, то функциябудет гармонической функцией везде в областиDза исключением точкии будет называтьсяфундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Функциябудет называтьсяфундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.
4.2. Решения краевой задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне его
Уравнением Лапласа описываются различные физические процессы и в каждой задаче искомое решение должно удовлетворять уравнению в некоторой области D, а также некоторому дополнительному условию на границеSэтой областиD.
В зависимости от вида граничного условия различают следующие основные виды граничных задач:
- первая краевая задача или задача Дирихле;
- вторая краевая задача или задача Неймана;
- третья краевая задача,
где - определенные на поверхностиS функции; Р – точка поверхности S; - внешняя нормаль кS; .
Краевые задачи могут быть внутренними или внешними. Они различаются в зависимости от того, в какой области внутренней или внешней относительно поверхности S ищется решение.
Внутренняя задача Дирихле формулируется следующим образом: Найти непрерывную в замкнутой области функциюи(М), которая удовлетворяла бы в области D уравнению Лапласа и принимала бы на поверхности S заданные значения F(P). Математически это можно записать следующим образом:
Внутренняя задача Неймана формулируется так: найти внутри области D решение и(М) уравнения Лапласа
непрерывное в замкнутой области и удовлетворяющее на поверхностиS условию
Рассмотрим теперь краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне его. Пусть существует область, представляющая собой круг радиуса R. Запишем двухмерное уравнение Лапласа в полярных координатах, полагая, что , а