Физпрактикум.Оптика

3.9. Задания физического практикума

171

ния) фаза отраженной волны скачком меняется на 1 (n ( показатель преломления пластины, ) ( угол преломления, Α ( длина волны, m = 0; 1; 2; ...).

Интенсивность отраженного и прошедшего через пленку света зависит от длины волны, толщины пленки, угла падения света на поверхность и от показателя преломления вещества, из которого изготовлена пленка. Это явление используется для изготовления фильтров, для увеличения пропускающей способности объективов и других оптических систем.

Порядок работы

1.Ввести показатель преломления среды n (см. упражнение 1).

2.Ввести меньшее из двух значений для толщины пластинки d (см. таблицу вариантов).

3.Последовательно меняя угол падения от 10¡ до 80¡ через 5¡, регистрировать долю света, отраженного R и прошедшего T через пластинку.

4.Построить графики зависимости R и T от угла падения.

5.Выполнить п. 3 и 4 для второго значения толщины пластинки.

6.Исследовать, как меняется доля отраженного R и прошедшего T света в зависимости от толщины пластинки d при неизменном угле падения:

a)ввести значение угла падения и начальное значение толщины пластинки d, указанные преподавателем. Показатель преломления n остается неизменным;

b)меняя в сторону увеличения толщину пластинки d, измерить долю отраженного R и прошедшего T света. Необходимо зарегистрировать три последовательных экстремума излучения. Вблизи экстремумов изменять толщину пластинки с шагом 0.01;

c)полученные зависимости построить на графике.

Таблица вариантов

Вариант	Толщина пластинки, измеренная в долях длины волны
1	1	3
2	4	8
3	5	10
4	2	6
5	3	9
6	4	7

172	Тема 3. Интерференция света

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте условие временной когерентности.

2.В чем заключается условие пространственной когерентности?

3.Сущность явления интерференции.

4.Условия максимумов и минимумов при двухволновой интерференции.

5.Методы получения когерентных волн в оптике.

6.Расчет картины двух точечных когерентных источников. Вывод формулы для ширины полосы интерференции.

7.Ход лучей при интерференции в тонкой пленке (отраженный и проходящий свет).

8.Как объяснить наблюдаемую в работе зависимость коэффициента отражения от угла падения? От толщины пленки?

Список литературы

1.Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Физматгиз, 2003. Гл. 4.

2.Матвеев А. Н. Оптика. М.: Высшая школа, 1985. Гл. 5.

3.Бутиков Е. И. Оптика. СПб.: Невский диалект, 2003. Гл. 5.

4.Иродов И. Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. Гл. 4.

5.Сивухин Д. В. Общий курс физики: Оптика. М.: Наука, 1980. Т. 4. Гл. 3.

6.Савельев И. В. Курс общей физики. М.: Наука, 1982. Т. 2. Гл. 17.

Тема 4. Дифракция света

4.1. !>J/' 2$7$5'#/<. L+$7 / 67/#) 6/B.)*E//

Латинское слово di ractus означает разломанный, преломленный. Дифракцией волн называют огибание волнами препятствий, в наиболее общем смысле Ð любое отклонение поведения световой волны

от законов геометрической оптики.

Дифракционные явления наблюдаются на волнах различной физической природы. Традиционно принято выделять дифракцию звука, волн на воде, света, рентгеновских лучей, дифракцию микрочастиц (по современным представлениям любая движущаяся частица обладает волновыми свойствами).

Основные закономерности дифракционных явлений не зависят от физической природы волны и в большинстве случаев для их объяснения достаточно знания принципа Гюйгенса Ð Френеля.

Принцип Гюйгенса (1678 г.): любая точка поверхности, которой достигла волна в данный момент времени (т. е. любая точка волновой поверхности), является центром вторичных волн; огибающая вторичных волн дает волновую поверхность в следующий момент времени.

На основании этого принципа можно объяснять явления, подчиняющиеся законам геометрической оптики (законы отражения и преломления света).

Для объяснения дифракционных явлений принцип Гюйгенса следует дополнить гипотезой Френеля (1815 г.): вторичные волны когерентны, т. е. согласованы между собой по фазе. Интенсивность волны в точке наблюдения O является результатом наложения (т. е. интерференции) вторичных волн, излучаемых каждым элементом волновой поверхности.

Пусть S1 и S2 Ð два вторичных независимых источника на волно-
вой поверхности S (см. рис. 4.1), P Ð точка наблюдения. Источники S1
и S2, согласно Френелю, когерентны. Амплитуда волны, пришедшей
от каждого источника S	в точку Р зависит от площади источника,
i	r r

расстояния ri и угла между векторами : и - . В точку наблюдения вторичные волны придут в разной фазе из-за различия путей r1 и r2. Если волны окажутся в противофазе,!то в точке P интенсивность волны будет слабой. Если же волны придут в точку наблюдения в одной фазе (точнее Ð сдвинутыми по фазе на 21m, где m = 0, ,1, ,2, ...), то произойдет усиление интенсивности.

174	Тема 4. Дифракция света

!"#. ).#. _*%)&?)&)*3"G 4/15 /-,*

Дифракционная картина зависит от того, какие участки волновой поверхности S открыты.

Следует обратить внимание на то, что дифракция и интерференция Ð неотделимые понятия; выделение отдельных разделов оптики ÒинтерференцияÓ и ÒдифракцияÓ носит лишь исторический, традиционный характер.

Поставим на пути плоской монохроматической волны экран Э1 с отверстием диаметра d и будем наблюдать след выделенного этим отверстием пучка на экране Э2. При достаточно большом d размер следа соответствует размеру отверстия. Начнем уменьшать размер отверстия. Сначала размер следа будет уменьшаться в соответствии с размером отверстия, а затем начнет увеличиваться из-за явления дифракции. Пучок станет расходящимся (рис. 4.2).

Неизбежное угловое расширение светового пучка определяется углом дифракции φ. Угол φ соответствует направлению на первый минимум дифракционной картины: d á sin φ = λ. В приближении малых углов (sin φ ≈ tg φ ≈ φ):

φ≈λ/d!	(4.1)
Размер освещенной области на экране будет превышать начальные

размеры пучка d на величину hд. Дополнительное дифракционное
уширение !! ! " " #$#% Так как угол мал, !	! ! ""# С учетом фор-
мулы (4.1) имеем:
h! ! L" d. !	(4.2)

4.2. Дифракция Френеля. Метод зон	175

!"#. ).$. ["?&'73"-**-) &'#E"&)*") #/)%-/-0- +127'

Видно, что чем больше размер отверстия d по сравнению с длиной волны λ, тем меньше проявляется дифракционный эффект. Чем дальше находится экран Э2 от отверстия, тем больше дифракционное уширение. Расстояние Lд, на котором дифракционное уширение ста-

новится сравнимым с начальным размером пучка ( h! ! d ), называется длиной дифракции. Из (4.2) следует, что

"! ! #2 ".!

(4.2а)

При L << Lд (d >>) дифракционное уширение hд << d, его можно не учитывать и применять законы геометрической оптики.

Если экран Э2 находится на расстоянии L ! L! !( , Χ ΑC + !hд d), то имеем наиболее сложный для анализа вид дифракции, называемый

дифракцией Френеля.

При L >> Lд (hд >> d, d << ΑC ) лучи, идущие от экрана Э1 в произвольную точку экрана Э2, почти параллельны, а приходящие в эту точку волны Ð плоские. Такой вид дифракции называется дифракцией Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах или дифракция плоских волн).

4.2. M/B.)*E/< @.'#'7<. F'-$6 ($#

Достаточно просто примерное положение дифракционных максимумов и минимумов можно рассчитать, воспользовавшись методом зон Френеля. Идея метода состоит в том, что волновая поверхность разбивается на участки (зоны) так, чтобы расстояния от соседних зон до точки наблюдения (центра экрана) отличались на половину длины волны (см. рис. 4.3).

176	Тема 4. Дифракция света

!"#. ).(. !'6:")*") *' 6-*= I&)*),G:

* & "#%-2*"7 #/)%'3 ! & %-27' *':,94)*"G3 V & 4,"*' #/)%-/-< /-,*=

При таком разбиении можно сказать, что волны от соседних зон в среднем гасят друг друга. Если в отверстии умещается четное число зон Френеля, то в точке наблюдения будет минимум интенсивности, если нечетное, то максимум.

Разбиение волновой поверхности на зоны Френеля не вызывает затруднений, если задача обладает каким-либо видом симметрии.

4.2.1 Дифракция на круглом отверстии и диске

Если препятствие представляет собой круг (круглое отверстие в сплошном экране или, наоборот, сплошной диск), то зоны представляют собой кольца. Радиусы этих зон rm зависят от расстояния a между источником и препятствием, от расстояния b между точкой наблюдения и препятствием, от длины волны λ.

Пусть от точечного источника S распространяется световая волна (рис. 4.4). Вспомогательная поверхность Σ совпадает с фронтом волны, тогда все вторичные источники будут иметь одинаковые фазы. Разобьем поверхность Σ на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояние от краев зоны до точки наблюдения P отличались на λ/2. Так как колебания от соседних зон в точку P приходят в противоположной фазе, то при наложении они взаимно ослабляют друг друга. Поэтому амплитуда результирующего колебания в точке P будет равной:

	E = E1 Ð E2 + E3 Ð E4 +É , Em.								?J	(4.3)
	Площадь m-й зоны Френеля /H % 1									Α не зависит от m.
									? J
	Радиус m-й зоны
	: %	?J	HΑ %	HΑ				&
	H	? J		"	"					(4.4)
				?		J

4.2. Дифракция Френеля. Метод зон	177

!"#. ).). F-*= I&)*),G

Согласно предположению Френеля, действие зон постепенно убывает с ростом их номера m. Выражение (4.3) можно записать в виде:

;

2

;

;

.

3

2

;

.

;

R

3

;

; ;

H

; %

"

4

"

( ;

#

5

4

( ;D

5

&&& ,

H

%

"

,

+

#

#

#

#

#

#

#

# 6

7

6

7

так как выражения в скобках приблизительно равны нулю. Знак плюс соответствует нечетным m, минус Ð четным m.

Одним из методов сложения колебаний, создаваемых в точке Р отдельными зонами Френеля, является метод графического сложения амплитуд. Разобьем каждую зону Френеля на малые подзоны. Колебание, создаваемое в точке Р каждой подзоной, можно изобразить в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол, образуемый вектором с направлением, принятым за начало отсчета, даст начальную фазу колебания. Векторная диаграмма сложения колебаний для кольцевых зон будет иметь вид, изображенный на рис. 4.5. Участок спирали ОО1 соответствует первой зоне Френеля, О1О2 Ð второй,

О2О3 Ð третьей и т. д.

На рис. 4.5 Е01, Е02, Е03, É Ð амплитуды колебаний, создаваемых в точке наблюдения Р соответственно первой, второй, третьей и т. д. зонами Френеля; Е0 Ð амплитуда результирующего колебания в точке Р (от всех зон).

Если на пути световой волны нет препятствий, то m ∞, Em 0 и E = Е1/2, т. е. амплитуда, создаваемая сферической поверхностью в точке P, равна половине амплитуды, создаваемой одной центральной зоной.

178	Тема 4. Дифракция света

!"#. ).+. A)7%-&*'G 4"'0&'..' #,-()*"G 7-,):'*"< 4,G 7-,83)/=5 6-*

Поставим на пути сферической волны непрозрачный экран с отверстием радиуса rот, открывающим m зон Френеля. Тогда интенсивность в точке наблюдения P будет больше, чем при свободном распространении света, если отверстие открывает нечетное число зон Френеля, и близка к нулю, если экран открывает четное число зон. Дифракционная картина на экране вокруг точки P будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец, а в точке P будет темное (при четном m) или светлое (при нечетном m) пятно.

Пусть на отверстие диаметра d падает плоская монохроматическая волна, что соответствует a ∞. Тогда формула (4.4) преобразуется к виду

"!" # "! # !#$.!

(4.5)

Число зон Френеля m, укладывающихся в отверстии, зависит от

его диаметра и расстояния b−.

С ростом расстояния b число зон m, укладывающихся в отверстии, уменьшается, т. е. при удалении экрана от отверстия в центре экрана будет наблюдаться то светлое, то темное пятно, пока m не станет равным 1 (рис. 4.6). При дальнейшем удалении экрана (m < 1) в центре дифракционной картины будет светлое пятно, что свидетельствует о переходе в область дифракции Фраунгофера.

Если rот Ð характерный размер отверстия, то число зон Френеля

	r2		(4.6)
!"
m =		.
	b!

* При нормальном падении света расстояние b соответствует расстоянию L в формуле (4.2).

4.2. Дифракция Френеля. Метод зон	179

2!=!#

2!=!$

2!=!%

2!=!&

2!=!'

!"#. ).,. _6.)*)*") 4"?&'73"-**-< 7'&%"*=

+&" 1.)*8E)*"" &'##%-G*"G -% -%/)%"G 4- L7&'*'.

`"#,- -%7&=%=5 +-,1/-,*-/=5 6-* 1/),"2"/')%#G #,)/' *'+&'/- # $ 4- ,. !'6.)& 7'&%"*= 1.)*8E')%#G3 +&":,"('G#8 7 4"'.)%&1 -%/)%"G

В общем случае дифракционное препятствие может иметь любую форму: отверстие, диск, щель, проволока и т. д. Обозначим буквой d характерный размер препятствия: радиус или диаметр (это несущественно) отверстия, ширину щели и т. п. Заменим в (4.6) rот на d, а расстояние b от преграды до экрана на L. Напомним, что длина дифракции Lд= d2/λ. Тогда (4.6) преобразуется к виду

	m !	d2	!	L!	.	(4.6а)
		L"		L

Число m является параметром дифракции, его значение определяет характер дифракции:

¥при m >>1 дифракция не наблюдается, можно применять законы геометрической оптики;

¥при m Χ 1 наблюдается дифракция Френеля;

¥при m << 1 наблюдается дифракция Фраунгофера.

При этом предполагается, что световая волна падает нормально на отверстие в преграде.

Отметим, что ряд авторов− называют параметром дифракции отношение радиуса первой зоны Френеля r1 к линейному размеру препятствия d:

S %	:"	%	CΑ	%	"	.
	,		,		H

В любом случае характер дифракционной картины зависит от размера препятствия и расстояния от препятствия до экрана.

* Бутиков Е. И. Оптика. СПб, 2003. С. 261.

180 Тема 4. Дифракция света

4.2.2. Дифракция на диске

Диск закрывает некоторое число зон Френеля. Освещенность в точке наблюдения P зависит от числа закрытых зон Френеля (рис. 4.7). Если экран закрывает m зон Френеля, то

Eрез = Em + 1/2 + (Em+1/2 Ð Em+2 + Em+3/2) + (É) = Em+1/2.

Освещенность будет такой же, как от половины первой открытой зоны. То есть при дифракции на одном круглом диске в центре геометрической тени наблюдается светлое пятно, которое называется пятном Пуассона. Вокруг пятна расположены темные и светлые дифракционные кольца. Размеры колец зависят от длины волны света и радиуса диска.

При увеличении радиуса экрана результирующая амплитуда в центре картины монотонно убывает (рис. 4.8).

Если дифракция наблюдается на нескольких дисках (или отверстиях), то результирующая дифракционная картина зависит от взаимного расположения дисков. Если дисков достаточно много и расположены они беспорядочно (пылинки в воздухе), то картина совпадает с дифракцией на одном диске.

!"#. ).-. ["?&'73"G *' 7&10,-. L7&'*)

!"#. )./. ["'.)%& " G&7-#%8 +G%*' 1/),"2"/'9%#G

+&" 1.)*8E)*"" 4"'.)%&' 4"#7'