3.4.4 Производственная функция

Классификация издержек производства по их основным видам (особенно в долгосрочном периоде) позволяет сделать предположение о том, что факторы производства обладают определенными свойствами и подчиняются определенным законам. Эти свойства проявляются, прежде всего, в том, что факторы могут заменять друг друга, но не безгранично. Например, машины заменяют ручной труд и наоборот. Перемещение фактора в пространстве, а также смена его функции называется мобильностью фактора.

Это свойство факторов производства подводит к понятию производственной функции. Она описывает взаимосвязь и отношение между любым набором факторов производства и максимально возможным объемом продукции, производимым из этого набора факторов. Производственная функция характеризует чисто техническую зависимость между количеством применяемых ресурсов и объемом выпускаемой продукции в единицу времени. Производственная функцияописывает множество технически эффективных способов производства.

Улучшение технологии, которое увеличивает максимально достижимый объем выпускаемой продукции при любой комбинации факторов, отражается новой производственной функцией. Она может использоваться для определения минимального количества затрат, необходимого для производства любого данного объема товаров. «Производственную функцию можно сравнить с рецептурой приготовления пищи (блинов). В рецепте перечислены ингредиенты, необходимые для приготовления (блинов) и количество продукции (блинов), которое вы получите, если соедините эти ингредиенты определенным образом» (Франк Р.Х.).

Главный экономический смысл производственной функции заключается в том, что она указывает максимальный выпуск продукции (Q), который может произвести фирма при каждом отдельном сочетании факторов производства.Допустим, что набор факторов производства или ресурсов представлен как затраты труда, капитала и материалов, то производственная функция имеет вид:

где Q— максимальный объем продукции, производимый при данной технологии и данном соотношении труда (L), капитала (К) и материалов (М).

Следовательно, производственная функция отражает разнообразные способы соединения производственных факторов для производства определенного объема продукции.

В теории производства традиционно используется двухфакторная производственная функция вида: Q=f(L, К). Это объясняется не только удобством графического отображения, но и тем, что удельный расход материалов во многих случаях слабо зависит от объема выпуска, а такой фактор, как производственные площади, обычно рассматривается вместе с капиталом. При этом ресурсы «L» и «К», а также выпуск «Q» рассматриваются в мере потока, т.е. в единицах использования (выпуска) в единицу времени.

Несмотря на то, что производственные функции различны для разных видов производства, они обладают общими свойствами:

1. Существует предел для увеличения объема производства, который может быть достигнут за счет увеличения затрат одного ресурса при прочих равных условиях.

2. Существует определенная взаимная дополняемость факторов производства, но без сокращения объема выпуска возможна и определенная взаимозаменяемость этих факторов.

В экономическом анализе наиболее употребительной является конкретная производственная функция Кобба-Дугласа:

где: А–параметр, измеряющий объем производства при L= 1 и К = 1;

— коэффициенты производства, отражающие реакцию объема производства на приращение объема труда и капитала.

На основе расчета показателей производственной функции составляется производственная сетка. Производственная сетка— это таблица, которая описывает, либо конкретно выражает данную производственную функцию для определения максимального объема выпуска, который может быть осуществлен при каждой комбинации факторов (например, для фабрики по производству стульев — таблица 1).

Таблица 1 — Пример производственной сетки

Затраты капитала (К)	Затраты труда (L)
	1	2	3	4	5
1	20	40	55	65	75
2	40	60	75	85	90
3	55	75	90	100	105
4	65	85	100	110	115
5	75	90	105	115	120

Каждый результат в таблице 1 представляет собой максимальный объем выпуска продукции при соответствующем сочетании труда и капитала. Например, использование двух единиц капитала и четырех единиц труда дает 85 единиц продукции. По данным таблицы видно, что общий объем производства возрастает по мере роста трудоемкости при фиксированных затратах капитала. То же самое происходит, когда возрастают затраты капитала при фиксированных затратах труда. Расчеты в таблице показывают, что различные сочетания двух факторов могут давать одинаковые объемы выпуска продукции. Например, 90 единиц продукции можно получить при использовании двух единиц труда и пяти единиц капитала, либо при трех единицах труда и трех единицах капитала, либо при пяти единицах труда и двух единицах капитала и т.д.

Производственная сетка отчетливо показывает, что увеличение выпуска продукции возможно за счет пропорционального увеличения использования всех производственных ресурсов. Результат воздействия на выпуск продукции пропорционального изменения обоих факторов называется отдача от масштаба.

Допустим, что первоначальное соотношение между выпуском продукции и применяемыми ресурсами описывается производственной функцией:

Если фирма увеличивает объемы применяемых ресурсов (масштаб производства) в «к» раз, то новый объем выпуска составит:

Если в результате увеличения количества применяемых факторов (в нашем примере — труда и капитала) в «к» раз, выпуск продукции также увеличится в «к» раз, то имеет место постоянная отдача от масштаба:

Если выпуск продукции увеличится менее чем в «к» раз, то имеет место убывающая отдача от масштаба:

Если же выпуск продукции увеличивается более чем в «к» раз, то имеет место возрастающая отдача от масштаба:

Характеристику отдачи от масштаба при пропорциональном изменении применяемых факторов производства возможно определить на основе структуры конкретной производственной функции (см. функцию Кобба — Дугласа). В том случае, когда сумма показателей степени при «L» и «К» равна единице, то имеет место постоянная отдача от масштаба, а производственная функция называется линейно-однородной. Если сумма показателей степени больше единицы, то имеет место возрастающая отдача от масштаба. При сумме показателей степени меньше единицы наблюдается убывающая отдача.

Постоянная отдача от масштаба наблюдается в тех производствах, где ресурсы однородны (в техническом смысле) и их количества можно изменять пропорционально. В таких производствах увеличение выпуска продукции может быть достигнуто путем кратного увеличения объема всех производственных ресурсов. Убывающая отдача, как правило, связана с ограниченными возможностями управления крупным производством.

Во многих случаях характер отдачи от масштаба изменяется при достижении определенных пределов выпуска. До определенных пределов рост производства может сопровождаться постоянной и даже возрастающей отдачей от масштаба, которая затем сменяется убывающей.

Производственная функция может быть представлена графически с использованием изоквант. Изокванта— это кривая, отражающая все сочетания двух производственных факторов, использование которых обеспечивает одинаковый объем выпуска продукции. Соответственно,карта изоквант— это последовательный ряд кривых, отражающих максимально возможный выпуск продукции при любом данном наборе двух факторов производства (рисунок 39).

Рисунок 39 — Карта изоквант

Изокванты аналогичны кривым безразличия, которыми пользуются при изучении теории потребительского выбора. Однако, в отличие от кривых безразличия каждая изокванта связана с определенным уровнем выпуска продукции и поэтому имеет конкретное количественное определение. Например, «изокванта — 75» означает, что каждая точка этой кривой выражает различное сочетание двух факторов производства (труда и капитала), но один и тот же объем выпуска продукции равный 75 единицам. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска она представляет.

Изокванта является одним из основных инструментов графического анализа технической результативности производства. Поскольку производственная функция выражает зависимость между количеством используемых факторов и максимально возможным выпуском, то изокванта представляет собой множество сочетаний минимально необходимых объемов труда и капитала для заданного выпуска.

Как правило (классический вид) изокванты имеют форму вогнутых кривых. Это означает, что вдоль данной изокванты сокращение потребляемых часов труда требует увеличения работы машин, чтобы не допустить снижения объемов производства. В реальной производственной действительности изокванты (как и кривые безразличия) могут иметь различную конфигурацию. Линейная изокванта (в форме прямой линии) представляет совершенную замещаемость производственных ресурсов, так что данный выпуск может быть получен с помощью либо только труда, либо только капитала, либо с использованием различных комбинаций того и другого ресурса при постоянной норме их замещения.

Изокванта может выражать производственный случай жесткой дополняемости ресурсов. В данном случае она будет представлять собой сочетание двух прямых отрезков, расположенных перпендикулярно относительно друг друга и соединяющихся в одной точке (рисунок 40). На практике это означает, что труд и капитал комбинируются в единственно возможном соотношении.

Рисунок 40 — Изокванта при жесткой дополняемости ресурсов

Анализ производственной функции и карты изоквант позволяет определить возможности и количественные соотношения при замещении (замене) одного фактора производства другим в процессе их использования. Это является важным элементом анализа деятельности фирмы, ее прибыльности или убыточности.

Как уже известно, из определения производственной функции, одно и то же количество продукции может быть получено при различных комбинациях ресурсов, и изокванта производственной функции соединяет точки, соответствующие таким комбинациям. При переходе из одной точки изокванты в другую точку той же изокванты происходит уменьшение затрат одного ресурса с одновременным увеличением затрат другого, так что при этом выпуск продукции остается без изменения, т.е. имеет место замещение одного ресурса другим. Естественно, что при этом важное значение имеет пропорция замены, т.е. величина ресурса, который нужно уменьшить при увеличении другого ресурса на единицу. Показателем этой пропорции является предельная норма технологического замещения.

В двухфакторной производственной функции и соответствующей ей изокванте предельная норма технологического замещения, допустим, капитала трудом (MRTS) определяется величиной капитала, которую может заменить каждая единица труда, не вызывая увеличения или сокращения объемов производства. Иными словами,MRTS(капитала трудом) представляет собой величину, на которую может быть сокращен капитал за счет использования одной дополнительной единицы труда при фиксированном объеме выпуска продукции. Она аналогична предельной норме замещения (МRS) в теории потребления:

при Q_const, где приращения капитала и труда представляют собой относительно небольшие изменения капитала и труда для отдельной изокванты, т.е. для постоянного объема производства. Графически предельная норма технологического замещения выражается отрицательным углом наклона касательной в данной точке изокванты к оси абсцисс.

Выпуклая форма изокванты показывает, что предельная норма технологического замещения капитала трудом уменьшается по мере движения вдоль изокванты (рисунок 41). Это означает, что каждый час труда может заменить все меньшее количество часов работы машин, когда капитал вытесняется трудом, а производство остается на прежнем уровне. Напротив, уменьшение предельной нормы технологического замещения труда капиталом можно рассматривать и как увеличение часов работы машин, необходимое для эффективной замены каждого часа труда при неизменных масштабах производства.

Рисунок 41 — Предельная нора технологического замещения

Причина уменьшения предельной нормы технологического замещения заключается в том, что факторы дополняют друг друга. В этом состоит одна из основных предпосылок теории производства. Каждый фактор может делать то, что не может или может делать хуже другой фактор. В процессе производства труд и капитал не являются абсолютно взаимозаменяемыми. Поэтому кривизна изоквант отражает трудности, которые возникают при замене одного фактора другим в рамках данного объема производства. Они различны для разных отраслей. Например, на фабрике по производству стульев относительно просто заменить машины ручным трудом, что практически невозможно сделать в химической промышленности.

Предельная норма технологического замещения тесно связана с показателями предельного продукта труда и капитала. Напомним, что предельный продукт (MP) выражается отношением прироста продукции к приросту фактора производства (ресурса), с помощью которого произведена продукция:

При замене капитала трудом соблюдается равенство:

Отсюда:

Общеизвестно, что совокупные издержки производства у любой фирмы зависят не только от технологии, т.е. сочетания (взаимозависимости или взаимозаменяемости) факторов производства, но и от цены используемых ресурсов, поскольку фирма покупает на рынке все необходимое для своей производственной деятельности. При анализе изоквант цены факторов производства не принимались во внимание, и расчет производился на основе натуральных показателей (часы работы, количество единиц ресурса). Подобный метод анализа характеризует, главным образом, содержание технологической эффективности. Но такой подход и анализ будет неполным, т.к. не учитывает затраты фирмы на приобретение необходимых ресурсов на соответствующих рынках. Поэтому для определения экономической эффективности деятельности фирмы необходимо сравнивать стоимостные показатели, т.е. цены ресурсов и продукции фирмы.

Учет цены ресурсов имеет важное значение для фирмы и при решении фундаментальной проблемы, а именно: каким образом выбрать оптимальное сочетание факторов с тем, чтобы достичь определенного объема производства с минимальными издержками; какая комбинация ресурсов в наибольшей степени отвечает интересам фирмы?

В расчете по-прежнему используется двухфакторная производственная функция. Поэтому совокупные издержки фирмы составят:

где: — общие издержки;

— цена используемого труда;

— цена используемого капитала.

Множество комбинаций ресурсов, расходы на покупку которых одинаковы, графически изображается прямой линией — аналогом бюджетной линии в теории потребления. В теории производства этот график называется изокоста. ИЗОКОСТА — это график, который отражает все возможные сочетания труда и капитала, при которых общие издержки производства являются неизменными. Для каждого значения совокупных издержек данное уравнение выражается отдельной изокостой. Для сравнения можно указать, что изокванта — это линия одинакового объема производства, изокоста— это линия равных затрат.

Изокоста аналогична бюджетной линии, с которой имеет дело потребитель (рисунок 42). Данное утверждение является верным, поскольку фирма так же выступает потребителем ресурсов и ее затраты на издержки производства определяются ее бюджетом. Поскольку изокоста представлена в форме прямой линии, то ее собственное уравнение выводится из уравнения издержек:

Из данного уравнения следует, что изокоста имеет угловой коэффициент, равный отношению цен труда и капитала:

Угловой коэффициент изокосты показывает, что если фирма отказывается от одной единицы трудозатрат (т.е. экономит ), чтобы приобрести дополнительное количество единиц капитала равное отношению их цен, то при этом совокупные издержки производства останутся без изменения.

Рисунок 42 — Изокоста

Это уравнение прямой представляет комбинации ресурсов, использование которых ведет к одинаковым затратам, израсходованным на производство. Рост бюджета производителя или снижение цен ресурсов сдвигает изокосту вправо, а сокращение бюджета или рост цен — влево (рисунок 42).

Касание изокванты с изокостой определяет положение равновесия производителя, поскольку позволяет достичь максимального объема производства при имеющихся ограниченных средствах, которые можно затратить на покупку ресурсов.

Учитывая, что в точке Т (рисунок 43) изокванта и изокоста имеют одинаковый наклон и что наклон изокванты измеряется предельной нормой технического замещения. Из предыдущего анализа известно, что в теории производства оптимум предприятия определяется симметрично, а именно равенством предельной нормы технологического замещения ресурсов и соотношением их цен:

отсюда:

Рисунок 43 — Равновесие производителя

Путь развития и экономия от масштаба производства. Предположим, что цены ресурсов о­стаются неизменными, тогда как бюджет производителя постоянно растет.

Соединив точки пересечения изоквант с изокостами, мы получим линию OS — "путь развития" (аналогичную линии уровня жизни в теории поведения потребителя). Эта линия показывает темпы роста соотношения между факторами в процессе расширения производства. На рисунке 44, например, труд в ходе развития производства используется в большей мере, чем капитал. Форма кривой "путь развития" зависит, во-первых, от формы изоквант и, во-вторых, от цен на ресурсы (соотношение между которыми определяет наклон изокост). Линия "путь развития" может быть или кривой, исходящей из начала координат.

Рисунок 44 — Кривая "путь развития"

Если расстояния между изоквантами уменьшаются, это сви­детельствует о том, что существует возрастающая экономия от масштаба, т. е. увеличение выпуска достигается при относительной экономии ресурсов (рисунок 45).

Рисунок 45 — Возрастающая экономия от масштаба

Если расстояния между изоквантами увеличиваются, это свидетельствует об убывающей экономии от масштаба (рисунок 46).

Рисунок 46 — Убывающая экономия от масштаба

В случае, когда увеличение производства требует пропорционального увеличения ресурсов, говорят о постоянной экономии от масштаба (рисунок 47).

Рисунок 47 — Постоянная экономия от масштаба

Таким образом, изокванта позволяет не только экономно использовать имеющиеся ресурсы для достижения данного объема производства, но и определить минимально эффективный размер предприятия в отрасли.

В случае возрастающей экономии от масштаба фирме необходимо наращивать объем производства, так как это приводит к относительной экономии имеющихся ресурсов. Убывающая экономия от масштаба свидетельствует о том, что минимально эффективный размер предприятия уже достигнут и дальнейшее наращивание производства нецелесообразно. Тем самым анализ выпуска с помощью изоквант позволяет определить техническую эффективность производства.

Пересечение изоквант с изокостой позволяет определить не только технологическую, но и экономическую эффективность, т. е. выбрать технологию (трудо— или капиталосберегающую, энерго— или материалосберегающую и т. д.), позволяющую обеспечить максимальный выпуск продукции при тех денежных средствах, которыми располагает производитель для организации производства.