уп_Вабищевич_Физика ч

21

1.3. Методические указания к практическим занятиям

Тема

Задачи

Рекомендации

Задачи из сбор-

занятия

ников

Определение

1.

Необходимо помнить, что кинематические величины (за исключением пути) – векторные,

[1], №№ 1.1 – 1.2

кинематиче-

т.е. для их определения требуется найти модуль (длину вектора) и направление в выбранной

[11], №№1.3 – 1.8

ских

харак-

системе координат.

[12], №№1.1 – 1.7

теристик

2.

Путь положителен при любом направлении движения и может только возрастать:

движения

∙ в случае прямолинейного равномерного движения путь равен модулю разности координат

точки

(скорость,

S =

x(t) − x(t0 )

;

ускорение,

∙ если движение неравномерное, то при определении пути поступают следующим образом:

материальной

путь,

пере-

–

определяют закон изменения скорости и ускорения;

мещение)

–

определяют моменты времени ti, когда скорость обращается в ноль (точка разворота),

определяют отрезки пути, соответствующие промежуткам времени [t1 – t 0], [t2 – t 1], [t3 – t 2] … ;

–

определяют общий путь как сумму отрезков пути

t1

t2

движение

S =

x(t1) − x(t0 )

+

x(t2 ) − x(t1)

+ ... или S = ∫

υx (t )

dt + ∫

υx (t )

dt +…

t0

t1

3.

Средняя путевая скорость является скалярной величиной, равной отношению пути, прой-

Прямолинейное

денного материальной точкой за время t, ко времени, затраченному на этот путь,

υср =

S1 +

S2

+ ...

.

t1 +

t2

+ ...

Определение

1.

Выбор системы отсчета может быть произвольным. Начало отсчета удобно совмещать

[12],

уравнения

с положением точки в начальный момент времени, а направление одной из осей удобно со-

№ №1.10 – 1.25

движения по

вмещать с направлением движения.

[11],

известным

2.

Уравнение траектории может задаваться неявно: x = x (t ) ,

y = y (t ) , z = z (t ) . Исключив

№№ 1.11 – 1.17

кинематиче-

время, можно получить уравнение траектории в явном виде. Например, при движении в

[2],

ским

харак-

№№ 1.4 – 1.6

теристикам

плоскости y = y ( x) , а при движении в пространстве y = y ( x) и y = y ( z ) . Пояснить, что

означает каждое из уравнений.

21

22

Тема

занятия

Криволинейное движение материальной точки

									Продолжение
Задачи						Рекомендации			Задачи из
									сборников
Определение	1. Для материальной точки движение по любого вида траектории является только поступа-								[2], №№ 1.41,
кинематиче-	тельным, поэтому решение задач на определение кинематических характеристик криволи-								1.43, 1.45 – 1.50
ских характе-	нейного движения принципиально не отличается от решения подобных задач с прямолиней-								[12],
ристик криво-	ным движением материальной точки.								№№1.26 – 1.38
линейного	2. Упрощению решения таких задач часто способствует применение принципа суперпози-								[11],
движения	ции движений, суть которого в данном случае заключается в разложении движения матери-								№№1.31 – 1.37
	альной точки на прямолинейные движения ее по осям координат, рассмотрение каждого из								[2], № 1.7
	этих движений независимо от других. После этого можно определять кинематические харак-
	теристики криволинейного движения, например,
	υ = υxi		+ υy j	+ υz k ;	a	= axi	+ ay j	+ az k .

3. В некоторых случаях (когда известен радиус кривизны траектории материальной точки в каждой точке этой траектории) задачи удобно решать в системе координат, точка отсчета которой в каждый момент времени совпадает с центром кривизны траектории – мгновенным центром кривизны. При этом криволинейное движение рассматривается как ряд последова- тельных движений материальной точки по окружностям вокруг мгновенных центров кри-

			d υ				υ2
визны. При этом a = aτ + an	;	aτ =		τ ,	an	=		n , где	τ –	единичный вектор, направлен-
			dt				R

ный по касательной к траектории, n – единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории. Иногда величина ускорения a бывает известна (например, ускорение свободно- го падения).

4. Соотношение между этими ускорениями и скоростью определяется с помощью формул

(23) – (26) ( см. также рис. 1.5).

22

23

Тема

занятия

Криволинейное движение материальной точки

Окончание

Задачи

Рекомендации

Задачи из

сборников

Определение

1.

Если известны скорости двух тел

υ1

, υ2 относительно некоторой системы отсчета, то,

[2], № 1.8

относительной

связав движущуюся систему отсчета с одним из тел, относительную скорость в этой системе

[12],

скорости

и

можно определить из соотношения υ = υ

+ υ

или υ

= υ − υ .

№№№1.39 – 1.42

траектории в

1

2

отн

отн

1

2

[11],

2.

Траектория движения в данной системе координат определяется зависимостью r от t .

выбранной

3.

Замена системы отсчета на другую систему, движущуюся относительно данной равно-

№ №1.38, 1.94

системе

коор-

динат

мерно и прямолинейно, приведет к

изменению

υотн ,

ri , но

ускорение

ai сохранится

(i = 1, 2) .

Решение

за-

1.

Сложное (криволинейное) движение в плоскости XOY можно представить как совокуп-

[12],

дач

на

прин-

ность простых движений относительно соответствующих осей: x = f (t ) , y = f

2

(t ) .

№№ 1.44, 1.48

цип

суперпо-

1

2.

Выбрав систему координат, можно определить соответствующие компоненты скорости и

зиции движе-

ускорения, продифференцировав функции

f1 (t )

и

f2 (t ) .

ний.

3.

Составить систему уравнений и решить ее относительно искомых величин.

Определение

экстремаль-

4.

Определить зависимости этих величин (например, дальность полета от угла бросания) от

значений параметров, задающих движения, и найти экстремум функции.

ных значений

параметров

движения

23

1.4. Примеры решения задач

Пример 1. Самолет пролетел расстояние из города А в город В со ско- ростью υ1 = 800 км/ч, а обратно – половину пути со скоростью υ2 = 900 км/ч,

а вторую половину со скоростью υ3 = 700 км/ч. Определить среднюю путе- вую скорость самолета за все время полета. (Уровень 1).

Решение. При движении из города А в город В самолет пролетел рас-

стояние S1 = S (где S –

расстояние между городами) за время

t1. Так как

по условию задачи скорость при этом была постоянной, то

S1 = υ1 t1. При

полете из города В в город А самолет на первую половину пути

S2 = S/2 за-

тратил время t2, а на вторую половину пути

S3 = S/2 – время

t3. При этом

S2 = υ2 t2, S3 = υ3

t3. По определению средней путевой скорости

υ =

S1 + S2 + S3

.

ср

t1 +

t2 + t3

Следовательно,

υср =

2S

=

4υ1υ2υ3

≈ 794

км/ч.

S

S

S

2υ2υ3

+ υ1υ3

+ υ1υ2

υ

+

2υ

2

+ 2υ

1

3

Ответ: υср

=

4υ1υ2υ3

≈ 794 км/ч.

2υ2υ3 + υ1υ3 + υ1υ2

Пример 2.

Материальная точка

M движется так,

что ее радиус-

+

вектор зависит от времени по закону r = 2ti

3t2 j (м). Найти уравнение

траектории y = f (х) точки, а также определить значения нормального, тан- генциального, полного ускорений точки и радиус кривизны траектории в момент времени τ = 1 с. (Уровень 2).

Решение. Для определения уравнения траектории материальной

точки в виде y = f(х) запишем закон движения в координатной форме

x = 2 t;

y = 3t2.

Следовательно,

y = 3х2/4.

t = х/2;

В произвольный момент времени t скорость и ускорение точки равны

dr

dυ

υ(t) =

= 2i

+ 6tj (м/с);

a(t) =

= 6 j 9 (м/с2),

dt

dt

а в момент времени τ

+ 6τj = 2i

+ 6 j (м/с);

= 6 j (м/с2).

(1)

υ(τ) = 2i

a(τ) = a(t)

24

Поскольку точка M движется по кривой, лежащей в плоскости XOY,

вектор ускорения можно разложить на две взаимно перпендикулярные

составляющие –

нормальное и тангенциальное ускорения, лежащие в этой же

плоскости (см. рисунок):

a = a

+ a ,

причем a =

a2

+ a2

,

(2)

n

τ

n

τ

а их абсолютные значения

an

= υ2 ;

aτ = dυ .

Y

a

R

dt

Модуль вектора скорости точки в

aτ

произвольный момент времени равен

υ =

2

2

4 +

36t

2

,

(3)

an

υx + υy =

M

тангенциальное ускорение

d υ

36t

j

aτ (t) =

=

O

X

dt

i

4 + 36t2

в момент времени τ примет значение

a (τ) =

36τ

≈ 5,6 м/с2 .

(4)

τ

4

+ 36τ2

Нормальное ускорение точки можно найти из выражения (2) в мо- мент времени τ

a (τ) =		a2 (τ) − a2				(τ),	(5)
n					τ
или с учетом (1) и (4)
a (τ) = 36 −			324τ2		≈ 1,9		м/с2 .
n		1 + 9τ2

Чтобы найти радиус кривизны траектории в момент времени τ, восполь- зуемся приведенной выше формулой для аn с учетом выражений (3) и (5):

R = υ2 ≈ 21,1 м. an

Ответ: y = 3x2/4; an(τ) = 1,9 м/с2; aτ (τ) = 5,6 м/с2; а (τ) = 6 м/с2; R ≈ 21,1 м.

25

Пример 3. Материальная точка движется так, что ее радиус-вектор за-

висит от времени по закону r = αti

+ (βt2 − γt3 ) j (м), где α = 1 м/с, β = 3 м/с2,

γ = 4 м/с3. Найти максимальную скорость точки. (Уровень 2).

Решение. Координаты материальной точки изменяются по закону

x = αt ;

y = βt2 − γt3 .

(1)

Проекции скорости движения на оси координат

υ

=

dx

= α;

υ

=

dy

= 2βt − 3γt2 .

(2)

x

y

dt

dt

Модуль скорости

υ = υ2

+ υ2 =

α2 + (2βt − 3γt 2 )2

(3)

x

y

с течением времени изменяется. Скорость максимальна в момент времени, соответствующий максимуму величины проекции υy. Исследуя зависи- мость (2) на экстремум, определим производную

dυy = 2β − 6γt . dt

Из условия экстремума (β − 3γτ = 0 ) следует, что τ = β . 3γ

Поскольку вторая производная υy (t) по времени отрицательна

d 2υy = −6γ , dt2

функция υy (t) имеет только максимум, поэтому момент времени τ соответст- вует максимуму проекции скорости υy и максимуму величины скорости:

β4

υ

max

=

α2 + (2βτ − 3γτ2 )2 = α2 +

= 1,25 м/с.

9γ2

Ответ: υ

=

α2 +

β4

= 1,25 м/с.

max

9γ2

Пример 4. С какой наименьшей скоростью и под каким углом к го- ризонту надо бросить мяч, чтобы забросить его на крышу дома высотой А

с расстояния S от дома? Сопротивлением воздуха пренебречь. (Уровень 3). Решение. Выберем систему координат XOY так, как показано на ри-

сунке. Тогда зависимость координат мяча от времени имеет вид

x = υ	t cos α ;	y = υ t sin α −	gt 2	.	(1)
0		0	2

26

Поскольку мяч должен быть заброшен на крышу дома с минимальной
начальной скоростью, то, очевидно, нужно рассмотреть бросок, при котором
мяч попадет в точку А. Уравнения (1), записанные для момента времени, ко-
Y			гда мяч оказался в точке A , при-
			нимают вид
A			S = υ0τ cos α ;
		g	h = υ0τsin α −	gτ2
υ	h			2
α
			и позволяют получить зависи-
O
S		X	мость начальной скорости υ0
			мяча от угла α

τ =

S

;

h

= υ0

S

sin α −

gS 2

υ0 cos α

υ0 cos α

2υ02 cos2 α

или

h = S tgα −

gS 2

;

υ2

=

gS

2

.

2υ2 cos2

α

2cos2

0

α(S tgα − h)

0

Так как в числителе последнего выражения стоит постоянная вели-

чина, то начальная скорость

будет

минимальна,

если знаменатель

f (α) = cos2 α(S tgα − h)

будет максимален. Исследуя функцию f (α) на

экстремум, получим

df

= −2sin α cos α(S tgα − h) + cos2 α

S

= 0 ,

cos2 α

dα

откуда

tgα = h + h2 + S 2 .

S

Найденное значение угла α соответствует наименьшей начальной скорости мяча (поскольку при α → 90° необходимая начальная скорость мяча υ0 → ∞ ).

Следовательно, минимальная скорость, с которой надо бросить мяч,

равна

gS 2 (1 + tg

2α)

υ

=

= g( S 2 + h2

+ h) .

0 min

2(S tgα − h)

h + h2

+ S 2

Ответ: α = arctg

, υ

0 min

= g( S 2

+ h2 + h) .

S

27

Пример 5. Турист плывет на моторной лодке против течения реки. Проплывая мимо одного из причалов, он теряет спасательный круг. Через четверть часа он обнаруживает пропажу, поворачивает назад и догоняет круг на расстоянии S = 2 км от причала, вблизи которого он его потерял. Какова средняя скорость течения реки, если мощность двигателя лодки не

изменялась? (Уровень 3).
					Решение.	Введем систему
		υp			координат, ось ОХ которой на-
υ p	υл				правим против	течения реки,	а
				X
	υл				начало отсчета	О поместим	в
−S	O		L		точку, в которой турист потерял
					спасательный круг (см. рисунок).

Скорость моторной лодки отно- сительно выбранной системы отсчета может быть представлена в виде век-

торной суммы скорости лодки в стоячей воде υл

и скорости течения υ р

υ = υл + υ р .

(1)

После того как турист потерял спасательный круг, он продолжал

плыть против течения реки со скоростью

υ1x = υл − υ р , а после того как

обнаружил пропажу, стал

плыть

по

течению реки

со

скоростью

υ2 x = −(υл + υ р) . Очевидно, что

L = υ1x

t1 = (υл − υ р) t1 ;

S + L =

υ2 x

t2 = (υл + υ р)

t2 ,

(2)

где L – расстояние,

которое турист проплыл до разворота;

t1,

t2 –

время

движения лодки до и после разворота соответственно, причем

t1 = 0,25 ч.

За время

t =

t1 + t2

спасательный круг проплыл расстояние S со

скоростью υр, следовательно,

S = υ р

t .

(3)

Выразив время t2 из (3) и подставив в (2), получим

=

S

− t ;

S + (υ

− υ

) t = (υ

+ υ

S

t

)

2

υ

л

р

л

р

υ

1

1

р

р

− t .

1

Отсюда находим υ р	=		S		= 4	км/ч.
	2			t1

Решение задачи может быть гораздо короче, если использовать дви- жущуюся систему отсчета, связанную со спасательным кругом.

Относительно такой системы отсчета до и после разворота лодка двигалась с одинаковой по модулю скоростью, равной υл. Поскольку до

28

разворота лодка плыла в течение времени

t1,

то и обратно она затратит

столько же времени.

За это время тело отсчета (т.е. спасательный круг)

пройдет путь S со скоростью υ р :

S = υ р 2 t1 ;

υ р

=

S

= 4

км/ч.

t1

2

Ответ: υ р =

S

= 4 км/ч.

2

t1

Пример 6. Колесо диаметром d = 7 см, насаженное на горизонталь-

ную ось, катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоро-

стью υ = 16,8 м/с, по окруж-

′

ности с радиусом

R = 12 см.

O

Найти величину результирую-

ω1

щей угловой скорости точки на

ободе колеса и угол ее наклона

M

α

к вертикали. (Уровень 4).

O′′

ω1

Решение. Пусть

колесо

O

ω

d

2

катится так, что сверху его

ω2

ω

движение

выглядит

происхо-

дящим по часовой стрелке (см.

R

рисунок).

Точка M на ободе

колеса одновременно участвует в двух движениях: вращении вокруг оси

′

′′

с угловой скоро-

OO с угловой скоростью ω2 и вращении вокруг оси OO

′′

Вектор результирующей угловой

стью ω1 ,

направленной вдоль оси OO .

скорости равен сумме ω1

и ω2 :

ω = ω1

+ ω2 .

Так как векторы ω1 и ω2 взаимно перпендикулярны, то

	ω =	ω2	+ ω2				(1)
		1			2
	и	tgα =			ω1	.	(2)
					ω
					2
Угловая скорость ω2	численно равна отношению линейной скорости
					′
вращения точки M относительно оси OO к радиусу вращения:
	ω =		υ	.			(3)
		2	R
		29

Численное значение угловой скорости ω1 найдем из условия, что ко- лесо катится по плоскости без скольжения. Отсутствие скольжения означа- ет, что численное значение линейной скорости точки M равно скорости центра колеса. Поэтому

w =

2u

.

(4)

1

d

Заменяя в формулах (1) и (2) ω1

и

ω2

выражениями (3)

и (4), получа-

4u2

u2

u

2R

ем окончательно: w =

+

=

2

+ d

2

и a = arctg

4R

.

Произве-

d 2

R2

dR

d

дя вычисления, имеем

w =

16,8

= 5 рад/с;

a = arctg

2 ×12

= 73°15¢.

4 ×144 + 49

7 ×12

7

Ответ: ω = 5 рад/с; α = 73°15′ .

Пример 7. Кинематическое уравнение движения материальной точ- ки по прямой (ось х) имеет вид x (t ) = A + Bt + Ct 2 , где А = 5 м, В = 4 м/с,

С = 1 м/с2. Построить график зависимости координаты х и пути S от вре-

мени. Определить среднюю скорость ux	за интервал времени от 1 с до
6 с. Найти среднюю путевую скорость u	за тот же интервал времени.

(Уровень 5).

Решение. Для построения графика зависимости координаты точки от времени найдем характерные значения координаты (начальное и макси- мальное) и моменты времени, соответствующие указанным координатам и координате, равной нулю.

Начальная координата соответствует моменту t0 = 0 . Ее значение

равно x0 = x (0) = A = 5 м.

Максимального значения координата достигает в тот момент, когда точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак). Этот момент времени найдем, приравняв к нулю первую производную от координаты

по времени: u		=	dx	= B + 2Ct = 0 , откуда	t = -	B	= 2 с. Максимальная
	x
			dt	1	1	2C

координата xmax = x(2) = 9 м. Момент времени t , когда координата x = 0 , найдем из выражения

x = A + Bt + Ct2 = 0 .

Решим полученное квадратное уравнение относительно t :

t = -B ± B2 -4AC . 2C

30