Упругие элементы измерительных преобразователей

4-1. РАЗНОВИДНОСТИ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Входной величиной измерительных преобразователей механических величин может быть сосредоточенная сила, крутящий момент (пара сил), давление газа или жидкости. Эта величина воздействует на упругий, элемент и вызывает его дефор­мацию. Деформация воспринимается или ■ непосредственно наблюдателем (как это имеет место в механических показывающих приборах), или последующим изме­рительным преобразователем с естественной входной величиной в виде механиче­ского перемещения (реостатные, емкостные, индуктивные, фото- и другие преобра­зователи), скорости этого перемещения (индукционные) или механического напря­жения (деформации) в некоторой области упругого элемента (тензорезистивиые) [7]_#

	2
	—«-ГС
		1 1	F 1 1
1 гО	ф)
				1 зс

Конструкции упругих элементов весьма разнообразны. В динамометрах на боль­шие усилия (больше 10 кН) используются сплошные стержни, работающие на сжа­тие (рис. 4-1, а) или сдвиг (рис. 4-1, е); для меньших усилий (10—1 кН) исполь­зуют кольца (рис. 4-1, г)_у а для малых усилий — тонкостенные цилиндры (рис. 4-1,6) и плоские пружины в виде балок (рис. 4-1, д_у ё). При этом наиболее эффективными оказываются конструкции в виде тонкостенного цилиндра или балки равного сопро­тивления, когда по всей поверхности упругого элемента механическое напряже­ние одинаково и материал используется наиболее рационально.

На рио. 4-2 показаны часто применяемые преобразователи крутящего мо­мента М в угловое перемещение <р. Это спиральные пружины (рис. 4 2, а, б), сплош­ные, полые и плоские торсионы (рис. 4-2, в, г, е), подвесы и растяжки (рис 4-2, д).

Особенно разнообразны упругие элементы, применяемые для измерения дав лений. Это плоские и гофрированные мембраны и мембранные коробки, исполь зующие собственную жесткость или опирающиеся на внешнюю плоскую пружину

Рис. 4-2

н	• л	V +еА Ч-е
1

или полый тонкостенный цилиндр, на которые наклеены или напылены гензорези- сторы. Для получения больших линейных перемещений применяются сильфоны и трубки Бурдона, а для получения больших угловых перемещений — спираль ные и винтовые трубки с внутренним давлением. Расчет таких упругих элементов имеется в специальных справочниках. Для более простых из этих элементов рас­четные соотношения приведены в следующем параграфе.

4-2. ОСНОВЫ РАСЧЕТА УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ

При расчете упругих элементов стремятся обеспечить их максимальную чув­ствительность. Однако препятствием к этому является возникновение в опасных точках конструкции недопустимо больших напряжений. Поэтому исходным для расчета упругих элементов является описание их с помощью уравнений, которые связывают значения сил, механических деформаций и возникающих напряжений.

Здесь рассматривается использование лишь изотропных материалов (приме* нение анизотропных материалов будет рассмотрено ниже, в § 4-5). Свойства изо­тропных материалов описываются лишь двумя независимыми параметрами: модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона (i. При расчете элементов, испытыоающих чистый сдвиг или скручивание, используют модуль сдвига G, который равен G — « 0,5 Е/ (1 + |ы).

Из трех постоянных E,G и независимыми являются лишь две, а третья всегда может быть выражена через две другие.

Конкретные формулы для расчета упругих элементов различной формы при­ведены ниже, где используются следующие обозначения: F — сила; F₀ — началь­

ное натяжение; М — крутящий момент; Р — давление; б — прогиб, абсолютное удлинение; в — относительное удлинение; е_г — то же в направлении радиуса;

— то же перпендикулярно радиусу; o_li2 — механическое напряжение в точке 7, 2; с₀ — начальное напряжение; о> — напряжение в направлении радиуса; — то же перпендикулярно радиусу; т — касательное напряжение; I — длина; х — текущая координата; b — ширина; h — толщина; R, г — радиус; S — площадь попереч­ного сечения; W — момент сопротивления; / — момент инерции; J_р — полярный момент инерции; Е ~ модуль упругости; |ы — коэффициент Пуассона; G — модуль сдвига; п — податливость; m — масса; g — ускорение силы тяжести.

Стержень (рис, 4-1₁ а) и полый цилиндр (рис. 4-1,6) с площадью поперечного сечения S имеют

c—F/S; n=6/F = l/{SEy,

6i =F/(SE)=o/E; е₂ = ез=—lie,,

Консольный выступ (рис. 4-1, е) испытывает деформации чистого сдвига и из­гиба одновременно. При этом

Кзг-4FP/iEm. а всдв«2 (\+v)Fl/(Ebh),

т. е. б_сдв/6_изг — 0,5 (1 + |л) /г²//³. Отсюда условие преобладания сдвад-а есть I < < h |Л(1 -4-м-)/2. Относительная деформация на всей поверхности боковых граней от сдвига в =» б_сдв/ (2/), а от изгиба ё = 0. Допустимое усилие F определяется на­пряжением в заделке выступа, равным от изгиба о — 6IF/ (bh²)_t а от чистого сдвига т - 2 (1 + р) F/ {bh).

У кольца (рис. 4-1, г) прямоугольного сечения сила F ограничена допусти­мыми напряжениями ^ = +0,31 SrF/W; о₂ = —0,182 r/7IF, где W — Ь№/6. Про­гиб по вертикали б_в = —0,149 r^bF/ (£/) и по горизонтали 0,137 r^bF/ (EJ), где J= bh*/\2.

Консольная балка постоянного сечения (рис. 4-1, д) имеет

при Х~ I

13F

Ш ^И ni^b/F^ty&EJ),

где J - bh?/12; где W « 6Л²/6;

в(х) = о {x)/E = 6Fl (1 —х/1)/(ЕЬ№). Консольная балка равного сопротивления (рис. 4-1, е):

А / л ^6Fl* I ^Х V ^Ь{х)-ЕШЛт) '

при х = I

_л 6F ( Ьг 6 ( I \з

о (*)=const EhSi/fi; е (*)=const = hb_t/l\

Плоская спиральная пружина с числом витков до, толщиной и шириной витка соответственно h и Ь, с жестко заделанным наружным концом (рис. 4-2, а) имеет

Ф=Ml/{EJ)\ г-=я(г_н-Ьг_вн)ш; / —12 и и=ф/М = /Д£/).

То же, но с шарнирной заделкой наружного конца (рио, 4-2, б);

Ф= 1,25М/(£/); n = q>jM = \,26l/{EJ).

Сплошной круглый вал (рис. 4-2, в) или подвес круглого сечения: - ф = Ml/{GJ_p); G = 0,5Е/(1 + (ii); J _р = nRy 2; и = ф/Af = l/{GJ_p); х=MR/J_p = 2УИ/(зх^з) = G^/J;

зх 2

С^ф

2 MR

Полый круглый вал (рис. 4-2, г):

2Ml

Gn {R*—r*)^f

_ _

Г*у ^c" I •

/ ^ Я (/?<

Растяжка на двух нитях радиуса R (рис. 4-2, д):

n=M/q>=KR* (а₀а²+20Я²)//;

а = о₀ Н-/ля/(2яЯ²); % = О^ф//,

где mg — вес подвижной части; о₀ — начальное напряжение в растяжках. Торсион прямоугольного сечения (рис. 4-2, е): при h

Mlk_n lk„ Ghq

8 =

ШЮ'

■ ftgj

т=-

"3 GW

где и k_e зависят от отношения h/b так, как показано в табл. 4-1.

Мембраны, изображенные на рис. 4-3, при расче­те подразделяют на пластины и пленки. Под. пласти­ной понимают упругую перегородку, сопротивляю­щуюся изгибу благодаря своей собственной жесткости. Перегородка же из пленки не имеет собственной изгиб- ной жесткости и приобретает упругие свойства толь­ко благодаря предварительному натяжению!

Таблица 4-1

h/b	w
0 0,1 0,3 1,0	1 1,067 1,233 2,370	1 1,000 1,009 1,481

Отличие расчета пластин (рис. 4-3) со сложным напряженным состоянием состоит в том, что в этом случае относительная деформация е и напряжение о уже не связаны простейшим соотношением о == еЕ. Так, для заделанной по контуру пластины (рис. 4-3, а) при воздействии на ее центр сосредоточенной силы F и отсутствии распределенного давления Р прогиб ее центра, податливость цент­ра, деформации и напряжения в пластине равны:

3 К®(1-

еЛФ

—

к№Е

b(r) = n_nF[l-(r/R? ~-n_aF(In Rfr—l){2h/R*b

F и Иц =

з /?²(1-^²).

4 п№Е -2 (r/R)* In R/r]; во R/П

где 5 = nR².

При воздействии давления Р и F = О

6(г) = 0,25ицР5[1-(г//?)²]², где Лц-0,75*» (1 -^/(Л);

Я.

* И =4 A [l -3 (■£)']; В. «_ЦР5 А [l

Ш']

2

6(г) =

Для пленки с жестким пентром и предварительным всесторонним натяже­нием сг₀ (рис. 4-3, б) при воздействии сосредоточенной силы F (Р = 0)

F In (R/r) 2л/ш_й '

а при воздействии давления Р (F = 0)

4

(f-dVjdt

v_w=<r/S

F=PS

A dB

Рис. 4-3

у

■\Уу у ' 21

Для пластины (рис. 4-3, в), заделанной по концам размера 21 без предваритель­ного натяжения, податливость при воздействии сосредоточенной силы F в центре равна

Пц=12Р/(£№) при Ь^>1

и

Иц = 12/³ (1 — (1^а)/(£6А8) при Ь < I.

Прогиб и относительная деформация при воздействии сосредоточенной силы F равны

а при действии давления Р (F — 0)

««-ЧРН!)"]'

Для пленки (рис. 4-3, в) при натяжении вдоль размера 21 усилием F₀ ~ o₀bh прогиб под действием давления Р составляет

а при действии силы F, сосредоточенной по линии х = 0,

•м-йя^-т)-

Приведенные соотношения справедливы и для натянутой ленточной струны. При одновременном действии как сосредоточенной силы, так и распределенного давления зависимости б (х) и е (х) получаются в результате сложения частных от­клонений и растяжений.

Приведенные соотношения для мембран с предварительным напряжением о₀ справедливы лишь до некоторого минимального предела a_{Q min}, когда упругость элемента при предпосылке «натянутая пленка без изгибной жесткости» равна упру­гости при предпосылке «упругая на изгиб пластина без предварительного напря­жения». Например, для ленточной пленки (рис. 4-3, в) податливость равна п_л = = И (2о₀Ыг), а для пластины (балки) с заделками на обоих концах п^— Р (1 —

— р²) / (2ЕЬ№). Приравнивая эти податливости, получаем c_0min= ₂ (~у) »

т. е. для напряжении а₀ < о_{0 min} мембрану следует рассматривать как пластину, а для напряжений а₀ > a_{Q min} — как пленку.

При использовании мембран (рис. 4-3) в датчиках давления или акустических микрофонах для расчета динамики необходимо учитывать связи между парамет­рами механического возбуждения в центре мембраны (F, 6₀, у) и параметрами воз­буждаемого акустического поля — давлением Р и объемным расходом q = dV/dt в замембранном пространстве (где V—объем, заштрихованный на рис. 4-3). Для этого мембрана может быть представлена эквивалентной механической схемой (рис. 4-3, г) и схемой аналога (рис. 4-3, д), где часть входного усилия F посредством податливости п передается на корпус (через заделку), а другая часть посредством акустической податливости /г_ак приводит в движение жесткий поршень без массы.

4-3. НЕЛИНЕЙНОСТЬ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Все соотношения между входной силой или давлением и выходной величиной в виде относительной деформации е, прогиба б или напряжения в материале а, при­веденные в предыдущем параграфе, описывают строго линейную связь этих вели­чин. Это справедливо, однако, лишь с некоторым приближением, чем обусловлены погрешности линейности таких преобразователей.

Большим диапазоном линейности обладают конструкции, в которых возникаю­щие напряжения одинаковы во всем объеме или по всей поверхности упругого эле­мента (см. рис. 4-1, а, б, в, е; рис. 4-2, а, б, в, г). В конструкциях с неравномерным распределением напряжений (см. рис. 4-1, г, д\ рис. 4-2, е) деформация материала в опасных точках превышает допустимое значение уже тогда, когда в других точках конструкции она еще далека от этого значения. Это вызываетдюявление гистерезиса и нелинейности намного раньше, чем в конструкциях с одинаковыми напряжениями по всей поверхности упругого элемента.

У заделанных по концам или по контуру пластин или мембран прогиб сопро­вождается удлинением нейтральной линии. Это приводит к появлению дополни­тельного. механического напряжения, пропорционального не первой, а второй

степени давления. Возникающая вследствие этого нелинейность не связана со свой­ствами материала, а определяется чисто геометрическими соотношениями и суще­ственно ограничивает использование таких преобразователей в качестве измери­тельных.

Так, при воздействии давления Р газа или жидкости на прямоугольную мем­брану (рис. 4-3, в) дополнительное растягивающее напряжение составляет в центре пластины (при х = 0)

^ад~420\ h ) Е ' а дополнительная относительная деформация

1 (Щ⁶{Р\²

^6д 420 \ h)\Ej^%

Относительная деформация в центре от прогиба равна

Е

\2 Р

е =

Отсюда суммарная деформация, воспринимаемая наклеенным в центре тензорези- стором, будет

1 / 2/ \2 РГ 1 / 2/ \4 р-|

Второй член в квадратных скобках представляет собой относительную погреш­ность линейности, равную

Уп

Е '

/ \4 Р

105 U /

Прогиб центра прямоугольной мембраны с учетом удлинения нейтральной линии

* 1 /⁴ Р

2 Н* в

Для случая, когда b /, вместо Е необходимо подставить El (1 — ц²). Для центра круглой мембраны (рис. 4-3, а) с учетом удлинения нейтральной линии

а прогиб центра мембраны

6_1 с ~ и да р Г, _J56_ _ (Я_\8 /Р_VH ⁰ 16 Е № Ч 15 400 ^'\h)\E)y

Р 4 (h!R\^

Эти уравнения справедливы с погрешностью не более 20%до-^-С^

Р 2 (h/R)⁴

и с погрешностью не более 5% до -g- < ^ ^ .

Пример расчета датчика давления с учетом погрешности линейности. Пусть упругий элемент датчика давления выполнен в виде стальной круглой, заделан­ной по контуру пластины (рис. 4-3, а) с наклеенными (или напыленными) на нее двумя тензорезисторами и предназначен для измерения давлений от нуля до Р_ном ==■ = Ю^ Па. Необходимо выбрать размеры пластины так, чтобы погрешность линей­ности преобразования не превышала 1%; рассчитать радиус г₀ размещения вто­рого тензо резистор а, обеспечивающий равную по значению и противоположную по знаку деформацию по сравнению с деформацией тензорезистора, расположен­ного в центре пластины; рассчитать собственную частоту подвижной части датчика. Нелинейность преобразования, как было указано выше, определяется тем,

что

1 P f RY

Отсюда относительная погрешность линеиности Ул= j 7 2 ТГуТГ/ ^ПР^{И заданИых}

у_Л9 Ри, I^{х и} Е однозначно определяет отношение R/h = Y\7,2Еу_Д/Р. При Я— = 10*? Па, Е = 21 • 10ю Па и — 1 % = 10~² это приводит к значению R/h = 25, т. е. конструктивно толщина пластины должна быть в 25 раз меньше ее радиуса.

Это соответствует совершенно определенному значению относительной дефор- 3 f R р

мации материала мембраны e = -g-f-^-j — , что в нашем случае дает е= 10~⁴. Для

получения большей чувствительности необходима более тонкая мембрана и боль­ший прогиб, но тогда будет и большая нелинейность.

Для определения радиуса г₀ размещения центра второго тензорезистора вос­пользуемся зависимостью

8 (г) =е (0) [1 — 3 (r/i?)²].

Желательно, чтобы е (г₀) = —е (0), т. е. 3 (r₀/R)² =2 или r₀ = R ^2/3 — = 0,816R.

Таким образом, исходно заданные нами условия определяют лишь относи­тельную чувствительность датчика (8 = 10~⁴ при Р = 10^ Па) и соотношения раз­меров (R/h = 25 и rJR = 0,816), но не определяют самих размеров. Поэтому раз­мер пластины может быть выбран исходя из размеров тензорезисторов или исходя из собственной частоты датчика.

Если, например, положить h — 0,5 мм, то R — 12,5 мм и тензорезисторы должны иметь размер не более 4 X 4 мм. Собственная частота пластины составит при этом

/„=0,921 А--|/__£__=29кГц> а прогиб центра пластины

6==^-J-^l^J⁴АР ==0,029/1= 14,5 мкм.

4-4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Погрешности упругих элементов прежде всего определяются свойствами мате­риала. Например, даже для элементов из лучших сортов упругих материалов по­грешность от гистерезиса составляет 0,2—0,05%. Поскольку возникновение замет­ных пластичных деформаций измерительных упругих элементов недопустимо, зна­чение рабочих напряжений о в них должно всегда оставаться меньше ^доп*

Зна­чения основных параметров материалов, необходимых при расчете и конструиро­вании упругих элементов, приведены в работе [7].

В тех случаях, когда упругие элементы должны обладать малой жесткостью, их изготовляют из неметаллических материалов: резины, органического стекла, кварцевых нитей и т. д. Если же при расчете преобразователя ставится задача полу­чения возможно более высокой собственной частоты, то полезно иметь в виду сле­дующее обстоятельство. Для обеспечения высокого значения собственной частоты f₀ упругий элемент приходится выполнять более толстым и коротким. А это, в свою очередь, приводит к тому, что при заданном значении прогиба 6₃ в нем возникают недопустимо высокие механические напряжения а, а при заданном усилии полу­чаем слишком малые для последующего преобразования перемещения б.

Ограничивая при заданном прогибе б₃ возникающие напряжения допустимым значением а_лоп, мы тем самым однозначно задаем для данной конструкции упругого элемента произведение /₀б₃, равное, например, для балки (рис. 4-1, д) /о^з — = ^адоп/(Зя|Л£), а для мембраны (рис. 4-3, а) /о^ез=^_доп/(7,8|/£р), где £нр- соответственио модуль упругости и плотность используемого материала. Поэтому мак­симально жесткий упругий элемент, в котором при б₃ ~ 10 мкм (меньшие переме­щения трудно точно воспринять последующим электрическим преобразователем — индуктивным, емкостным и т. д.) уже достигается а_доп, при изготовлении из алю­миниевого сплава АМгб в виде балки (рис. 4-1,5) имеет собственную частоту 50 кГц и в виде мембраны (рис. 4-3, а) — 60 кГц. При использовании титана ВТ-1 эти ча­стоты достигают соответственно 63,5 и 80 кГц, берилловой бронзы БрБ2 — 73,5 и 90 кГц, сплава К40НХМВ — 82 и 100 кГц, а стали 60С2А — 91 и 110 кГц. Таким образом, достижение собственных частот упругих измерительных элементов 50— 100 кГц является пределом возможностей при использовании любых конструкцион­ных материалов.

4-5. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ^АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

При расчете упругих элементов из кристаллических материалов необходимо учитывать анизотропные свойства последних. Некоторые свойства материалов, например плотность, влажность, удельная теплоемкость и т. д., определяются одним числом и являются скалярными величинами. Ряд других свойств, таких, как электропроводность, магнитная проницаемость, теплопроводность, упругость, за­висят от направления воздействия и структуры используемого материала и лишь для изотропных материалов могут выражаться одним числом; для анизотропных материалов эти свойства определяются таблицей чисел или тензором соответствую­щего ранга. Прежде чем перейти к рассмотрению упругости, являющейся тензо­ром четвертого ранга, рассмотрим некоторые общие свойства тензоров на примере тензоров младших рангов.

Общие свойства тензоров. Тензор нулевого ранга, т. е. скаляр, полностью опре­деляется заданием одного числа.

Тензор первого ранга, т. е. вектор, задается тремя компонентами, которые являются проекциями вектора на соответствующие оси. Например, вектор элек­трической напряженности Е = £₂, £₃].

Тензоры второго ранга, например электропроводность анизотропного провод­ника, содержат уже 9 компонент. На рис. 4-4 показаны векторы плотности тока и напряженности электрического поля в изотропном и анизотропном проводни­ках. В первом случае (рис. 4-4, а) компоненты плотности тока: = уЕ_х; J₂ = уЕ₂ и J₃ = уЕ₃, во втором случае (рис. 4-4, б) J_r = y_ilE_l + у ₁₂Е₂ + УщЕЦ Ъл^л + + у₂₂Е₂ + у₂₃Е₃; J_s = у₃₁Е_г + у_шЕ₂ + у₃₃£₃.

Каждая компонента J теперь зависит от всех трех компонент Е. Если допус­тить, что Е = [Е_г], то J_x = у_иЕъ h — Чъ\^Е\ и h = Tsi^i-

Электропроводность анизотропного проводника задается в виде таблицы, со­держащей 9 компонент и называемой тензором второго ранга:

Уп Via 7i3 У21 Т22 Y23 -Тз1 У32 Тзз-I '

Число индексов у компоненты соответствует рангу тензора. Тензорное соот-

з

ношение можно записать в сокращенном виде: р/— 2 ^ijQf(ⁱ⁼⁼ 2, 3) или, если

опустить знак суммирования, еще компактнее: — T^qj (г, j— 1, 2, 3). Рас­шифровка этой записи приводит к трем уравнениям, повторяющим по форме при­веденные выше уравнения плотности токов:

Pi = ТцЯХ + T&q₂ + ^тгзЯз1

Ра=T₂₁q₂ + T₂₂q₂ + T₂₃q₃;

Рз = ^T2iQs + T₃₂q₂ + Г₃₃д₃.

'■" Индекс / называется индексом суммирования или немым индексом, индекс i является свободным индексом. Индексы суммирования должны встречаться по два раза в каждом из суммируемых членов. При записи в виде таблицы i является номе­ром строки, j — номером столбца.

Совокупность коэффициентов тензора представляет собой физическую вели­чину, которая не зависит от выбранной системы координат, но форма представле­ния этой величины, т. е. численные значения коэффициентов, меняется при пере-

На рис. 4-5, а представлены две системы координат. Углы между новыми Г, 2' и 3' и старыми 1, 2 и 3 осями определяются таблицей направляющих косинусов:

12 3 Г Га_п а₁₂ а₁₃"|

2' j а₂₁ а₂₂ ^агз I

3' L«3i Я32 «ззJ'

Компоненты вектора р в новой системе координат определяются как р[ — — Pl^all + Р₂«12 + P3«13; Ра — Pl°2l + РФ22 + P3«23; Р'з = Pl«31 + Рй«3? + Р₃«33 в сокращенной форме записи р[ — PjCtу.

Каждая компонента тензора второго ранга в новой системе координат опре­деляется всеми девятью компонентами, входящими в тензор в старой системе коор­динат, и записывается в сокращенной форме как Т^ — a_ika_flT_kr Развертывая ТJ- сначала по индексу суммирования I, получим

Т'ц — щ_ка_пТ_к1 + a_ika_j2T_k2+a_ika_J2T_k3.

Дальнейшее развертывание по k дает

Тц = а_1ла_пТ_1г + a_ila_j2T₁₂+щ_га _/3Т₁₃+a_i2a_nT₂₁ +

+ fl£2^fl/3^22 + ^Qi2^G/3^23 + ^ai3^a/l^31 + ^ai3^aj2^32 + ^ai3^a/2?33*

Расшифруем в качестве примера значение компоненты Т[₂: Т; ₂=4- a_na₂₂Ti2 -f- а_па₂₃Т₁₃ 4~ a₁₂a₂iT₂i + -f a_i2a₂₂T₂₂ -f а_Х7а₂₃Т₂₃ -f a_l3a₂\T₃₁+a_l3a₂₂T₃₂ + «13^23^33-

Если тензор относительно некоторых осей может быть преобразован к виду

Г Т_п О 0-1

о т₂₂ о Lo о rj'

то эти оси называются главными.

Прн произвольном направлении воздействия q относительно главных осей (рис. 4-5, б) компонента, параллельная вектору <?, определяется как р = {РТ_и + + m²T_i2 + п*Т_в3) д.

Тензор механических напряжений. Под действием внешних сил тело находится в напряженном состояний. Напряжение называется однородным, если силы, воз­действующие на поверхность элемента определенной формы и ориентации, не зави­сят от положения этого элемента в теле. j,

На рис. 4-6, а показаны силы, действующие па грани единичного куба, т, е. напряжения в однородно напряженном теле: о_и, а₂₂ и а^ — компоненты напряжения

и
*

А

Рис. 4-6

растяжения — сжатия, о₁₂, о₂₁, о₂₃ и т. д. — сдвиговые компоненты напряжения. Напряжения, действующие на задней, левой боковой и нижней гранях куба, равны и противоположны по знаку напряжениям, показанным на рис. 4-6, а и действую­щим иа передней, правой боковой и верхней гранях куба. Деформации, которые испытывает свободный, незажатый элемент под действием сжимающих напряже­нии а_и и под действием сдвиговых напряжений а^, показаны иа рис. 4-6, б и е.

Условно принято считать положительными деформациями деформации растя­жения, а отрицательными — деформации сжатия. Деформация сдвига считается положительной, если прямоугольник деформируется так, что его удлиняемая диа­гональ лежит между двумя осями, имеющими направления одного знака; дефор­мация сдвига отрицательна, если удлиняемая диагональ лежит между осями раз­ных знаков. В примерах, приведенных на рис. 4-6, б и б, напряжение а_и < 0, на­пряжение о₃₂ > 0.

Статическое равновесие сил в единичном элементе налагает определенные усло­вия на величины а^-, а именно: а,-/ — о_/Ъ т. е. а₂₃ = а₃₂, а₁₂ = а₂₁ и о₃₁ — о_1з.

Это условие сокращает число независимых компонент тензора напряжений с девяти до шести, хотя тензор напряжений является тензором второго ранга и в прин­ципе определяется девятью компонентами. Наличие лишь шести независимых ком­понент вместо девяти позволяет перейти к замене индексов и тем самым упростить запись, как показано в следующих выражениях:

	а12			Г*и	^12			Га*	О»	°^61
<*21			н		<?22	<*23	Г		о2	с4
-°31	<*32		1 1	к	<*23	<%J	1	к	с4	<ъ 1

Схема замены индексов: 11—1, 22—2, 33—3, 23 и 32—4, 31 и 13—5, 12 и 21—6.

• На рис. 4-7 приведены примеры некоторых простейших напряженных состоя­ний: а — линейное растяжение; б — плоское растяжение; в — гидростатическое сжатие; г — кручение или чистый сдвиг. Тензоры, описывающие в указанной на

	g*
		л
		\а

I)

0)

X

X

№

/О

Рис. 4-7

рис. 4-7 системе координат поле механических напряжений, для случаев а, б и в выглядят следующим образом:

а) ГО	0	°1	б)	С	0	°1	в) Г —о	0
Р	о	^0 :		0	о	0 ;	^0	—о
о	0	oj		_0	0	oj	L 0	0

При скручивании в зависимости от выбранной системы координат напряжения могут быть заданы в форме г' и г":

О

Г ^0	—т	°1	г") Г-о	0	°1
	0	4	^0	О	^0
L о	0	oj	L о	0	oj

где т — касательное напряжение; о — нормальное напряжение; для рассматри­ваемого примера значения % и о совпадают: т — а.

Упругие свойства тела. При воздействии на тело механического напряжения (меньшего по значению, чем предел упругости) его деформация определяется зако­ном Гука:

8 = So или е—о/Е.

Для анизотропного по своим упругим свойствам тела податливость S — UE или модуль упругости Е являются тензорами четвертого ранга, т. е. тензорами, содержащими 81 компоненту. Соответствующая компонента деформации, напри* ^меР ^еи» находится как е_и = 5_1Ша_Х1 + S_1U2o_l2 + S₁₁₁₃g₁₃ «$1ш^а21 ^П22^а22~Ь*

^1123^а23 "Ъ «Sll31^a31 + ^1132^а32 ^1133^а33'

Однако, если учесть, что, как было сказано выше, напряжения o_if = а_/7 и, кроме того, деформации ву = число независимых констант тензора упругости