Сокращается до 36, что позволяет перейти к другой форме записи, а имешю:

"Sn

Si2

S13

«$14

S15

S16

~£n

&12

frs

Eu

£l5

£16

•$22

•$23

■^24

^26

£21

E 82

^23

£24

^25

£26

^>31

•$32

£33

S34

Sm

Z?

£31

E32

Ess

£34

E 35

£36

S43

<S44

S45

S&6

■ £ =

ЕЦ

Ец2

£43

£44

£45

£46

S51

Sb2

S53

S54

S55

<$56

£51

£53

£54

£55

£56

•$81

$62

5 63

<$64

^65

Ее,

Em

Em

£б4

eg5

£бв

Деформация и напряжение определяются соответственно формулами: ^ei = Si/Oj (/, /= 1, 2, ... , 6); О/ = £//6/ (/, 2, 6).

Напряжения и деформации в изотропных средах. Упругие свойства изотропных материалов характеризуются всего двумя независимыми константами. Эти кон­станты имеют специальные названия: модуль Юнга £ и модуль сдвига G. Эти два модуля связываются через коэффициент Пуассона формулой G = £/ [2 (1 + м>)]. Таким образом, второй независимой константой наравне с модулем сдвига G можно считать и коэффициент Пуассона р.

S —

Форма записи матрицы податливости изотропного материала приведена на рис. 4-8, а. Принятые обозначения: / — компонента, равная 0; 2 — компонента,

ф

\ I г.: • » » «

ш •2

\

.х:

*4 . ®5 *6

Рис. 4-8

отличная от нуля; 3 — равные компоненты; 4 — равные, но противоположные по знаку компоненты; 5 — удвоение компоненты, обозначенной жирной точкой, 6 — компонента, равная 2 (5_n — S_l2).

Поскольку матрица симметрична относительно главной диагонали, то за­писывается обычно ее правая половина; принятая форма записи показана на рис. 4-8, б. В буквенных обозначениях матрица податливости имеет вид

t/£	-p/£	-p/£	0	0	0 -
-V/E	1 /£	-1x/E	0	0	0
	— V-/E	1 IE	0	0	0
0	0	0	1/G	0	0
0	0	0	0	1/G	0
0	0	0	0	0	1/G_

Соответствующие деформации определяются уравнениями: е_г = [о*—р (а₂+с₃)]/£; Е₂ = [с₂ — р (с₃ + оО]/£; е₃=[а₃ — p((Ti+a₂)]/£; e₄ = c₄/G; е₅ = а_б/С; e₆=o₆/G.

Напряжения и деформации в анизотропных телах. Поскольку структуры кри­сталлических тел обладают определенного вида симметрией, то число независимых компонент, связывающих напряжения и деформации в кристаллических телах, ока­зывается значительно меньше 36. Вид матрицы определяется симметрией структуры.

На рис. 4-8, в приведена матрица упругости кварца в системе координат, сов­падающей с кристаллографическими осями, т. е. элемента, вырезанного так, что его ребра совпадают с кристаллографическими осями. Упругость кварца опреде­

ляется, шестью независимыми компонентами (в паскалях в мииус первой степени) S_lt = 1,27- 10-и; 5I₂ = — 0,17- 10-и; —0,15 • 10"H;

0,43 - 10-и; $33 = 0,97 • 10-U; S₄₄ = 2,01 . 10"U.

На рис. 4-8, г приведена матрица упругости кремния, содержащая три незави­симые компоненты (в паскалях в минус первой степени):

S_n =0,762 • 10-U; s_{12 =} _ 0,214 • 10-U; S₄₄= 1,255 - 10-и.

Из кристаллического материала может быть вырезан элемент, произвольно ориентированный относительно кристаллографических осей 2 и 3, например так, как показано на рис. 4-9, а. Если такой элемент подвергается механическим воздей-

.Ф

Рис. 4-9

ствиям в направлении одной из осей, по которым он вырезан, то связь между дефор­мацией и напряжением может быть определена модулем Юнга, задаваемым для данного материала и данного направления. Величина 1 /£" для любого направле­ния, заданного направляющими косинусами /, т и ft, определяется из уравнения

1 /Е'«/² (l²S_u + m²S₁₂+n²Sis -f tnnS₁₄-fnlS_lb + /m5_i6) + +m² (l²S_zt -f m²S₂₂+n?S₂₃ -f mnS_2i-f nlS₂₅ -f lmS₂₆) -f + C²5₃1 + ^²Ss2 + n²S₃₃ + mnS_u + nlS_3b + lmS₂₆) + -f mn (/²Sn+m²S_i2 + ft²S₄₃ + mnS_u + nlS₄₅ + lmS_iG) + H-nl {l*S_bl+m*S_m + ft²S₅₃ + mnSu+nlS_u + lmS_5G) + -f Im {l²S_6l -f m²S_G2+n²S_G3 + mnS_M + nlS_G5+lmS_m). (4-1)

В качестве примера рассчитаем значения модуля Е' и коэффициента Пуассона И' Для пластинки В кремния, вырезанной в плоскости 1—2 (рис. 4-9, б). Составим таблицы углов и направляющих косинусов между осями:

135° 45° 90°~| Г—1/2/2 1/2/2 0

135° 135° 90° J I —j/2/2 —1^2/2 0 •

. 90° 90° 0° J L 0 0 1.

Для определения S'_Ll = ME' воспользуемся уравнением (4-1). Направляю­щие косинусы: / = —|Л2/2, т= 1^2/2, п — 0. Исключив из (4-1) все члены, содер­жащие ft, получим S[ 1² (l²S_n + m²S_l2 -f lmS[_Q) + m² (l²S_2l + m²S^ + lmS_2G) + H- Im (l²S₆₁ -f m²5₆₂ + ImSee). Из матрицы кремния, приведенной на рис. 4-8, г, видно, что S_1G = 0, 5о_в = 0, 5₆₁ = 0 и 5₆₂ = 0. Таким образом, = /² (l²S_u -f + m²S₁₂) -f m² (l²S₂₁ + m²S₂₂) + Pm²S_m. Подставляя в полученную формулу зна-

Одни я направляющих косинусов и константы упругости, получим

= 0J)² [(—0,7)² 0,762+ (0,7)2 (—0,214)1 + (0.7)« [(—0,7)^0,762 + + (0,7)2 (—0,214)] +(—0,7)² (0,7)² 1,255} 10-" = 0,588 • 10"^ Па"*.

Модуль упругости Е'= 1,70* 10^й Па.

Для определения коэффициента Пуассона определим константу упругости SJ₂ и найдем отношение р/ = —£iV⁸n ⁼ —SU^ir Тензор упругости является тензо­ром четвертого ранга, и его компонента = с переходом в новую систему координат выражается как S'_n»₂ = Развертывая эту запись по­

очередно по индексам суммирования t, /, k и I (см. стр. 175) и исключая при этом все члены, в которые входят косинусы а^ = 0 и а^ = 0, получим

122 — ^а1 i^ll^a2l^a2VS1111 ~h^aU^aL 1Й22°22^1122 + ^а1 Л^а11^аЪ\в 22«$1112 + «l2°l2⁰2lC2l59211 +

+ a^a_na₂₂a₂₂S 2222 + 12^21^22^2212+^ii^fli2^2i«2i"S₁₂n++ + a_UOi₂fl21«225l2l2-

Подставим значения направляющих косинусов ац——]/2/2; д₁₂=1^2/2; <321 = —1^2/2 и а_Ъ2 = —К2/2 и заменим индексы в константах упругости: = = 0,25 (S_u + S_l2 + S_1G + S_2l + S_2g + S₂₆ — S_Gi — S_C2 — S_6C). Исключив кон­станты, равные нулю, и подставив численные значения констант упругости, получим

SJ_s = 0,25 (5_и + 512 + 5₂1 + 5₂2 —See)¹³ = 0,25 (0,762 — 0,214 — 0,214 + 0,162 — 1,255) 0,04- 10~" Паг¹.

Коэффициент Пуассона \х' = 0,04/0,588 = 0,0676.