Азбука дифференциального исчисления. Переменные величины.

Основной «объект» изучения - величина - понимается как «нечто», поддающееся измерению. Игнорируя «технологию» измерения, которая конечно же, предполагает наличие соответствующей единицы меры, выделим так называемые переменные величины (п.в.), то есть величины, которые в процессе измерения принимают различные значения. Переменные величины принято обозначать малыми буквами латинского алфавита х, у, z,... Множество значений, принимаемых данной величиной, называется областью определения переменной величины и обозначается соответствующей заглавной буквой Х, Y, Z, ... По характеру этих областей переменные величины делят на непрерывные и дискретные. Переменную величину называют непрерывной, если ее область определения - интервал или набор интервалов. Если область определения п.в. состоит из конечного или счетного набора значений, то она называется дискретной (прерывной) переменной величиной или последовательностью.

Уже сам процесс измерения предполагает некую зависимость данной п.в., либо от времени (если этот процесс «развернут» по времени), либо от «места действия» (измерение вдоль «речки», меридиана и пр.), т.е. от некой другой переменной величины. Такая зависимость, выражающая характер измеряемой п.в. и есть функция. Точнее говоря

Функцией называется правило, по которому каждому значению одной п.в. (например х) ставят в соответствие единственное и четко определенное значение другой переменной величины (например у).

Обозначают функцию символом у = f (х), где буква f обозначает правило «вообще»

Например

1. ; 2. . В этих примерах f - набор арифметических действий.

3. .Здесь f - «код» известного определения данной тригонометрической функции.

Во втором примере переменная - функция у_n зависит от, так называемого, натурального аргумента n (принимающего значения 1,2,3,...) и в этом смысле является последовательностью. Строго говоря, последовательностью и называют любую функцию натурального аргумента. Последовательностями являются и известные арифметические и геометрическая прогрессии «энные», члены которых задаются известными формулами:

- для арифметической прогрессии;

- для геометрической прогрессии.

Предел переменной

Выстраивая в ряд члены последовательности : 0; 0,5; 2/3; 0,75; ...; 0,9; 0,99; ... замечаем, что с ростом n они все меньше и меньше отличаются от единицы. Скажем, в этом случае, что наша последовательность стремится к единице, или что число 1 является ее пределом. В общем случае

Число А называется пределом переменной у, если в процессе ее изменения модуль разности у-А делается и остается меньше любого, заданного наперёд сколь угодно малым, положительного числа ε.

Стандартная запись А = lim y читается так: «число А есть (равно) предел(у) переменной у". Для переменной - последовательности это корневое определение конкретизируется . Так:

Число А называется пределом последовательности у_n если по любому, заданному сколь угодно малым, положительному числу ε найдется такое число К = К (ε), что все члены последовательности с номерами n>K будут удовлетворять неравенству

|y_n - А| < ε.

Заметим, что здесь обязательны три главных слова: “любому”, “найдется”, “все”. Они отражают динамику стемления у_n к 0. Запись читается так: “предел последовательности у_n при n стремящимся к бесконечности равен А”.

Из многочисленных признаков существования предела последовательности выделим один - так называемый признак Вейерштрасса. Но прежде назовем монотонно возрастающей (убывающей) последователность, у которой каждый последующий член не меньше (не больше) предыдущего. Скажем также, что последовательность ограничена, если все ее члены не превышают по модулю некоторого числа М. Тогда признак Вейерштрасса можно сформулировать так