Дифференцирование неявных функций

С помощью частных производных вычисляются производные так называемых неявных функций.

Говорят, что переменная у является неявной (неявно заданной) функция от переменной х, если эта зависимость определяется уравнение вида , то есть уравнением не разрешенным относительно у. Точно также можно говорить, что уравнение видаопределяет неявно заданную функцию «z от х и у», то есть неявную функцию двух переменных. Можно показать, что в первом случае - для неявной функции «у от х» - производная «от у по х» находится по формуле.

Частные производные от неявной функций двух переменных - - могут быть найдены по формулам

,

,

Дифференциал функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Полный дифференциал функции z=f(x¸y) двух переменных мы определим как выражение вида:

Пример: z=x·y³;dz=y³·∆x+3xy²·∆y.

Его компоненты - слагаемые обзываются соответствующими частными дифференциалами («по х» и «по у»). Как и дифференциал функции одной переменно величина dz является главной линейной частью так называемого полного приращения и связан с ним соотношением

где , а γ - некая бесконечно малая. Используя геометрический смысл частных производных, показывается, что для поверхности - графика функцииz=f(x¸y) уравнение касательной плоскости в произвольной ее точке М₀(х₀, у₀, f(x₀¸y₀)) можно записать в виде

Уравнение соответствующей нормали - прямой, перпендикулярной к касательной плоскости в точке касания можно записать так:

.

На рисунке условно изображены касательная плоскость и нормаль к графику некоторой функции в т. М₀. Сравнивая уравнение касательной плоскости и соответствующий дифференциал функции, замечаем, что дифференциал (являясь главной частью полного приращения) выражает полное приращение аппликаты касательной плоскости к графику этой функции в данной точке.

Старшие производные

Так же как и для функции одной переменной, определяются вторые, третьи, ... .. «энные» частные производные. Правда, наличие двух и более переменных делает «букет» из них более богатым. Так, в частности, по определению и обозначению

- вторые «смешанные» производные.

- вторые «чистые» производные.

- третья смешанная производная.

Аналогичным образом определяется и производные более высокого порядка.

Пример:

; ,

, ,, ...

Экстремумы функций двух переменных.

С помощью частных производных можно отыскать точки экстремумов функции и определить их характер. Так необходимым признаком того, что точка является точкой минимума (максимума) то есть точкой экстремума дифференцируемой функции,является выполнение в этой точке условий:

.

Точки, в которых эти условия выполняются, по – прежнему будем называть критическими.

Достаточным признаком того, что критическая точка действительно экстремальна, является выполнение в этой точке неравенства

При этом, если

, то - точка максимума, а если, то- точка минимума.

Если , то критическая точка не экстремальна (она называется в этом случае седловой точкой). Если же, то вопрос о характера критической точки открыт (требуются дополнительные исследования).

Пример: Найти экстремуму функции

.

Решение , отсюда М₀ (-2,3) - критическая точка

; ;М₀ (-2,3) - точка минимума.