Линейные действия с векторами.

1. Произведением вектора на число λ будем называть вектор, со направленный при λ>0 и «антинаправленный» при λ<0 с вектором, длина которого.

2. Суммой векторов ибудем называть вектор+который может быть получен с помощью так называемого «правила треугольника»: это вектор, начало которого совпадает с началом, а конец - с концом, если конеци началосовпадают. Эти две операции называют линейными операциями над векторами. Можно показать, что имеют место свойства

1) +=+2) (+) +=+ (+)

3. λ (α+ β) = λα+ λβ

Вектор будем называть линейной комбинацией векторовс коэффициентами.

Линейная комбинация называется нулевой, если - ноль – вектор.

Линейная комбинация называется тривиальной (простейшей), если все её коэффициенты равны нулю. Очевидно, что тривиальная линейная комбинация является нулевой комбинацией. На предыдущем рисунке приведены примеры ненулевых линейных комбинаций. Теперь дадим очень важное определение.

Векторы называют линейно независимыми, если их нулевой комбинацией может быть только тривиальная их комбинация. В противном случае, то есть при наличии не тривиальной нулевой линейной комбинации векторы называют линейно независимыми.

Векторы на соседнем рисунке линейно зависимы так как, очевидно, а числа 2, 3, 1 - коэффициенты этой линейной зависимости. Отметим, что два вектора линейно зависимы, если они коллинеарны, а три - если они компланарны.

Базис и координаты.

Базисом векторного пространства (множества векторов «на плоскости» или множество векторов «всего» пространства) будем называть любой упорядоченный максимальный набор линейно независимых векторов из этого пространства. Так, базисом на плоскости будет любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов, а базисом в пространстве - упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Любой вектор данного пространства векторовлинейно зависим с векторами его базиса и может быть выражен как линейная комбинация векторов базисам, и в, этом смысле, «разложен» по базису. Так, на последнем рисунке

Назовем координатами вектора в данном базисе коэффициенты (компоненты) его разложения по векторам базиса, записывая это так:

, если в базисе

, если в базисе.

Из свойства линейных операций с векторами следует основное свойство координат вектора, состоящее в том, что линейным операциям с векторами отвечают те же операции с их координатами, то есть при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число - все его координаты на это же число и умножаются.

Декартовым прямоугольным базисом в пространстве ( на плоскости) будем называть упорядоченную тройку (пару) единичных и взаимно перпендикулярных векторов (). Координаты векторов в таком базисе будем называтьдекартовыми координатами вектора в соответствующем базисе, обозначая их (x¸y¸z), ((х,у)). Итак, = (2,3) еслии = (3,5,1), если = .