Решение систем
Все приведенные в матричной азбуке понятия применимы прежде всего для решения систем линейных алгебраических уравнений («линейных систем») то есть систем вида
(*)
Решением такой системы m – линейных уравнений с n – неизвестными называется упорядоченный набор (х01, х02, ...., х0n) значений всех его неизвестных, удовлетворяющий всем уравнениям системы. Матрицы
А
=
Называются соответственно главная - А, матрица столбец неизвестных - Х, и матрица - столбец свободных членов - В. С помощью этих матриц система (*) может быть переписана в так называемой матричной форме
А·Х=В
То
есть как
Остановимся на трех методах решения таких систем. Это - для m=n – так называемые «метод обратной матрицы» и «метод Крамера», а, - для любых m и n, - «метод Гаусса».
I. Метод обратной матрицы.
Пусть данная линейная система имеет главную невырожденную квадратную матрицу А. перепишем систему в виде линейного матричного уравнения А·Х=В и, найдя А-1 умножим, это матричное уравнение слева на матрицу А-1, то есть придем к уравнению А-1· А · Х = А-1 · В. Учтя, что А-1· А = Е и Е· Х = Х, получаем формулу для решения данной системы в матричном виде
Х
= А-1
· В
(**)
Пример
А-1
=
;
Х =
·
.
Ответ: (2, 1, -1).
II. Правило Крамера.
Было вместе с определителями пере изобретено женевским математиком Крамером в семидесятых годах XVIII века, хотя к идее детерминантов и применению их к решению систем почти за семьдесят лет до этого пришел лейбниц. Впрочем, тогда же о них благополучно забыли. Примечательно и то, что определителем изучались и применялись как Лейбницем, так и Крамером без какого – либо отношения к матрицам, которые были придуманы ещё почти сто лет - в конце XIX века. И «только теперь» мы можем открыть для себя «страшную тайну» - праило Крамера это ни что иное, как метод обратной матрицы расписанный покоординатно. Действительно, вспомнив, что каждая строка матрицы А-1 это столбец алгебраических дополнений А*ki, 1 ≤ k ≤ n, поделённый на определитель ∆ главной матрицы выпишем i – ый элемент матрицы А-1 · В, то есть i – ую компоненту решения полученного с помощью формулы (**):
.
Сравнивая теперь числитель этой формулы с разложением определителя по i – му столбцу (см. свойство (2) определителей) убеждаемся, что и его (числитель) можно восстановить в некий определитель ∆xi матрицы, которая отличается от главной лишь тем, что её i – ый столбец это столбец свободных членов системы. Так вот, переписанная в виде
(***)
она и являет собой правило Крамера.
Пример:
∆ =
Ответ: (2, 1 -1).