III. Метод Гаусса

Если m и n не связаны условием равенства или ∆ = 0, то есть линейная система формально не может быть решена с помощью описанных выше методов, то для её решения можно применить описанную выше процедуру Гаусса. Для этого введем в рассмотрение так называемую расширенную матрицу системы - (m x (n + 1)) – матрицу , полученную из главной добавлением столбца свободных членов. Сразу скажем, что вопрос о совместности системы решает

Теорема Кронекера – Капелли: Линейная система совместна, если и только если равны ранги расширенной и основной матрицы этой системы.

Чтобы определить ранг основной и расширенной матриц системы приведем к трапециевидному виду последнюю, используя для этого лишь элементарные преобразования строк.

Этим преобразованиям адекватно отвечают аналогичные преобразования с соответствующими уравнениями системы и именно поэтому система «восстановленная» по последней трапециевидной матрице будет равносильна исходной. В случае совместности она и решается с помощью так называемого обратного хода, суть которого состоит в следующем: все неизвестные, если таковые имеются, коэффициенты которых не вошли в угловой базисный минор переносятся в правую часть и обзываются свободными или параметрическими.

Оставшиеся в правой части неизвестные при этом называются базисными. Последнее k – ое уравнение решается относительно х_к и это решение подставляется во все оставшиеся уравнения системы. После этого процедура повторяется для х_к-1, х_к-2 и так далее, до нахождения «последнего» - х₁. Конечно же если ранг основной и расширенной матриц равен числу неизвестных системы, то все эти неизвестные будут базисными и система в таком случае имеет единственное решение. Если же число неизвестных превосходит этот ранг то все базисные будут выражены через какое то количество свободных, которым можно будет придавать произвольные значения, почему система и будет иметь бесчисленное множество – «пространство» решений. Количество свободных неизвестных определяет размерность этого пространства.

Примеры:

1)

С

истема несовместима. Действительно, система восстановленная по последней матрице, в силу бессмысленности последнего уравнения не имеет решений.

2)

3)

Векторная азбука Основные определение и обозначения

Будем называтьвектором направленный отрезок, т.е. «объект», наделенный длиной - модулем и направлением - определенной внутренней (стрелка от начала к концу) и внешней (в пространстве) ориентацией.

Векторы принято обозначать строчными или двумя заглавными(первая - начало, вторая - конец) латинскими буквами со «стрелкой» над ними, аизображать - отрезок со стрелкой (рис. 1). Длины обозначаются

соответственно или. Векторы естественно принято считать равными (одинаковыми) и не различать, если они имеют одинаковую длину и со направлены, т.е. при совмещенииначал «совпадают» и их концы.

Векторы принято называть коллинеарными, если они параллельны одной, прямой и компланарными, если они параллельны одной плоскости. Ноль – вектор (- вектор) начало и конец которого совпадают, принято считать коллинеарным с любым вектором (а значит, не имеющим направления).