2. Методологические основы математического моделирования

[4], c. 5-18

Исходные положения для моделирования.

Определяются понятия система, организационная система и системный подход, алгоритм и алгоритмизация.

Анализируются понятия модель, моделирование, проводится классификация моделей по назначению и по средствам создания. Рассматриваются понятия математическая модель и математическое моделирование, детально анализируются виды математического моделирования.

Определяются понятия эффективности и критериев эффективности, связываются понятия эффективность, оптимальность и рациональность, рассматриваются на примерах соотношения оптимального и рационального решений.

Для детального исследования моделей вводится понятие структуры математической модели и структурных связей в ней, определяются целевая функция, область допустимых значений, множество ограничений, накладываемых на независимые параметры и параметры модели.

Рассматривается общая методология математического моделирования и анализируются этапы математического моделирования. Определяется важность этапов моделирования и роль инженера-специалиста на каждом этапе моделирования. Анализируется роль специалиста в конкретной технической области по определению целей, формулировке задач исследования, построению модели или совокупности моделей, проверка их на адекватность реальным процессам. Рассматривается конкретный пример построения простейшей математической модели.

Студент должен знать основные определения и понятия математического моделирования, представлять и уметь формулировать обобщенные критерии эффективности исследуемой технической системы; четко представлять понятия модели и моделирования, знать структуру и основные этапы создания математических моделей. Кроме того, студент должен чувствовать разницу между понятиями оптимальное и рациональное решение.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Определить понятия: система, организационная система, системный подход для исследования технических систем и процессов.

2. Определить понятия моделирование и модель. Какова основная цель моделирования?

3. Привести классификацию моделей по назначению и средствам создания.

4. Дать определения математического моделирования и математической модели.

5. Классификация математического моделирования, суть каждого вида моделирования.

6. Выбор критерия, понятия оптимальное и рациональное решение модели.

7. Назвать этапы математического моделирования. Дать их краткую характеристику.

8. Роль инженера-специалиста в процессе создания и исследования математических моделей.

3. Моделирование задач с использованием математического программирования

[1]; [4] Т. 1, c. 25-132

В процессе принятия решения важную роль играет задача, связанная с выбором наилучшего из всех возможных способов действий, т.е. оптимального. Таковой является задача математического программирования. Определяется предмет и область применения данной задачи, указывается, что не для всех этих задач разработаны методики решения. Одной из наиболее решаемых задач является задача линейного программирования.

Определяется общий вид задачи линейного программирования, указываются, варианты для которых разработаны точные и однозначные методики ее решения. Приводится каноническая форма задачи линейного программирования и дается методика ее получения.

Для отдельного класса задач – при наличии только двух неизвестных – разработана методика определения оптимального решения на геометрической плоскости. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования, области допустимых планов. Теорема об оптимальности в области допустимых планов. Методика построения произвольного допустимого плана и определения оптимального плана.

Достаточно часто используется на практике один из частных классов задачи линейного программирования – транспортная задача линейного программирования. Постановка транспортной задачи линейного программирования и разработка математической модели транспортной задачи. Методика решения транспортной задачи: приведение транспортной задачи к канонической форме, определение начального допустимого плана и методика его улучшения. Оптимальность полученного решения транспортной задачи линейного программирования. Возможная неоднозначность полученного решения.

Зачастую исследуются технические процессы, которые развиваются во времени, и, при этом допускают огромное множество возможных решений. Для решения задач такого типа используется метод динамического программирования. Определяется предмет и область применения динамического программирования. Формулируется теорема Беллмана, позволяющая определить общую методологию получения оптимального решения. Методика получения оптимального по произвольному критерию решения задачи: метод «Киевского веника».

После изучения темы студент должен иметь представление об основных методах линейного программирования; знать формулировку основных теорем задач математического программирования; уметь формулировать и ставить задачи линейного программирования, транспортную задачу линейного программирования и сводить эти задачи к канонической форме; иметь понятие о постановке задачи динамического программирования; уметь решать задачу линейного программирования на плоскости для двух неизвестных.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Пояснить разницу между понятиями оптимальное и рациональное решение.

2. Общая постановка задачи математического программирования, возможность ее однозначного решения.

3. Постановка задачи линейного программирования: целевая функция и ограничения.

4. Методика приведения задачи линейного программирования к каноническому виду.

5. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

6. Область допустимых планов, методика ее получения.

7. Теорема об оптимальности решения задачи линейного программирования.

8. Постановка транспортной задачи линейного программирования.

9. Математическая модель транспортной задачи линейного программирования.

10. Сведение транспортной задачи линейного программирования к канонической форме.

11. Постановка задачи динамического программирования. Класс задач, решаемых с использованием метода динамического программирования.

12. Теорема Беллмана и ее применение для решения задач данного класса.