141

9.1. Выравнивание рядом Фурье

Особое место в аналитическом выравнивании динамических рядов занимает выравнивание с помощью ряда Фурье, в котором уровни можно выразить как функцию времени следующим уравнением:

y)	=a	+ ∑m	(a	k	cos kt+b sin kt).	(9.1)
t	0		1		k
		k =

Выравнивание по формуле (9.1) рекомендуется проводить в тех случаях, когда в эмпирическом ряду наблюдается периодичность изменений уровней. В этом случае периодические колебания уровней динамического ряда можно представить в виде синусоидальных колебаний. Поскольку последние представляют собой гармонические колебания, то синусоиды, полученные при выравнивании по ряду Фурье, называют гармониками различных порядков. Показатель k в уравнении (9.1) определяет число гармоник. Обычно при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают несколько гармоник (чаще не более 4) и затем уже определяют, с каким числом гармоник ряд Фурье наилучшим образом отражает изменения уровней ряда.

При выравнивании по ряду Фурье периодические колебания уровней динамического ряда представлены в виде суммы нескольких синусоид (гармоник), наложенных друг на друга.

Так, например, при k=1 ряд Фурье будет иметь вид

yt =a0 +a1 cost+b1 sin t,

а при k=2 соответственно

yt =a0 +a1 cost+b1 sin t+a2 cos2t+b2 sin 2t .

Параметры уравнения теоретических уровней, определяемого рядом Фурье, находят, как и в других случаях, методом наименьших квадратов. Приведём без вывода формулы, используемые для исчисления параметров ряда Фурье:

a =∑ y		;a =	2∑ y cos kt	;b =	2∑ y sin kt	.	(9.2)
0	n	k	n	k	n

142

Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением

(приростом), равным – 2nπ , где п – число уровней эмпирического ряда.

Например, при п=10 временные точки t можно записать следующим образом:

0;

2π

1;

2π

2;

2π

3;

2π

4;

2π

5;

2π

6;

2π

7;

2π

8;

2π

;

2π

9,

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

или (после сокращения)

0;π5 ;25π ;35π ;45π ;π;55π ;65π ;75π ;85π ;95π ;

При n=12 значения t, соответственно, будут

0;π6 ;π3 ;π2 ;23π ;56π ;π;76π ;43π ;32π ;53π ;116π .

Значения sin kt и cos kt удобно расположить в таблице. Например, в табл. 9.1, приведены значения sin kt и cos kt (k=1 k=2) для п=12.

Выравнивание по ряду Фурье часто даёт хорошие результаты в рядах, содержащих сезонную волну.

Проиллюстрируем выражение по ряду Фурье на условном примере данных о продаже зимней одежды в одном из районов города в отчетном году.

Таблица 9.1. Значения коэффициентов в разложении (9.1) для п=12

t	cos t	cos 2t	sin t	sin 2t
0	1	1	0	0
π/6	0.866	0.5	0.5	0.866
π/3	0.5	-0.5	0.866	0.866
π/2	0	-1	1	0
2π/3	-0.5	-0.5	0.866	-0.866
5π/6	-0.866	0.5	0.5	-0.866
π	-1	1	0	0
7π/6	-0.866	0.5	-0.5	0.866
4π/3	-0.5	-0.5	-0.866	0.866
3π/2	0	-1	-1	0
5π/3	0.5	-0.5	-0.866	-0.866
11π/6	0.866	0.5	-0.5	-0.866

143

Таблица 9.2. Сводная таблица расчётных разложений

		Продано,			1 yˆt	y cos 2t	y sin 2t	2 yˆt
Месяц	t	тыс. руб.	y cos t	y sin t
		y
1	0	37	37.0	0	35	37	0	37.9
2	π/6	40	34.64	20.0	39.3	20	34.64	39.6
3	π/3	44	22.0	38.1	45.5	-22	38.1	43.0
4	π/2	52	0	52.0	51.7	-52	0	43.8
5	2π/3	46	-23.0	39.84	56.5	-23	-39.84	56.2
6	5π/6	70	-60.62	35.0	58.4	35	-60.6	61.0
7	π	60	-60.0	0	57.0	60	0	59.9
8	7π/6	48	-41.57	-24.0	52.7	24	41.57	53.0
9	4π/3	46	-23.0	-39.84	46.5	-23	39.84	44.0
10	3π/2	38	0	-38.0	39.3	-38	0	36.4
11	5π/3	36	18.0	-31.17	35.5	-18	-31.18	35.2
12	11π/6	35	30.31	-17.5	33.6	17.5	-30.31	36.2
n=12		552	-66.24	34.43	551.0	17.5	-7.78	551.2

В табл. 9.2 приведены исходные и расчеты показателей, необходимых для получения уравнения первой гармоники (k=1). Итак,

a0	=		∑y =	552 = 46,
			n	12
a	=		2∑y cos t			= ∑y cos t	= − 66,24 = −11,04,
1			n	6			6
b	=	2∑y sin t			= ∑y sin t		= 34,43 = 5,74.
1			n	6			6
Отсюда
			1 yˆt	= 46 −11,04 cost + 5,74sin t .

Подставляя в данное уравнение значения cos t и sin t (из табл. 9.1), получаем теоретические значения объема продажи по месяцам, показанные в графе «уt» табл. 9.2. Как видно, теоретические значения yt, рассчитанные по уравнению первой гармоники, заметно отличаются от эмпирических у. Поэтому попытаемся определить уравнение второй гармоники, то есть

2 y)t = a0 + a1 cost +b1 sin t + a2 cos 2t +b2 sin 2t.

Необходимые расчеты также приведены в табл. 9.2.

1 yt .

144

Находим параметры а2 и b2:

a2 = ∑y cos 2t =		17,5	= 2,9,	b2	= ∑ y sin 2t	= − 7,78 = −1,3.
6	6				6	6
Отсюда уравнение второй гармоники
2 yt	= 46 −11,04 cos t + 5,74 sin t + 2,9 cos 2t −1,3sin 2t.
Подставляя в данное уравнение значения cos t, sin t, cos 2t, sin 2t (из табл.
9.1), получаем теоретические значения 2 yt					(см. последнюю графу табл. 9.2).

Нетрудно заметить, что теоретические значения 2 yt , рассчитанные по уравнению второй гармоники, более близки к эмпирическим уровням, чем Об этом свидетельствует и сумма квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических:

∑(y−1 yˆt )2 = 286,88,

∑(y−2 yˆt )2 = 232,22.

Аналогично рассчитывают параметры уравнения с применением третьей и четвертой гармоник и проверяют близость теоретических значений к эмпирическим.

В заключение отметим, что выравнивание играет важную роль в анализе рядов динамики. Правильный подбор типа кривой для определения тренда представляет не только теоретический, но и практический интерес, в частности при прогнозировании.

Следует отметить, что найденные уравнения тренда часто используют для прогнозирования методом экстраполяции, то есть распространения в будущее закономерности развития, выявленной в прошлом, в исследованном периоде.

Однако экстраполировать ряд по уравнению тренда можно только тогда, когда есть уверенность в том, что выявленная и описанная уравнением тренда закономерность развития устойчива и сохранится и будущем, то есть что условия, в которых происходили изучаемые явления в определенном периоде и в прошлом, стабильны и предположительно не изменятся и в ближайшем будущем, на которое экстраполируется ряд.