145

9.2. Измерение колеблемости в рядах динамики

Как уже отмечалось, уровни ряда динамики формируются под влиянием различных взаимодействующих факторов, одни из которых определяют тенденцию развития, а другие – колеблемость (вариацию).

Изучение колеблемости в рядах динамики как предмета исследования часто является самостоятельной задачей математической статистики.

Колебания уровней ряда могут носить разный характер. Исследователи временных рядов всегда пытались классифицировать факторы, вызывающие те или иные колебания, и соответственно выделить типы колебаний. Большинство авторов чаще всего выделяют (наряду с трендом) циклические (долгопериодические), сезонные (обнаруживаемые в рядах, где данные приведены за кварталы или месяцы) и случайные колебания.

Для измерения колеблемости уровней в рядах динамики могут использоваться показатели, аналогичные показателям вариации признака:

−размах, или амплитуда, отклонений отдельных уровней от их средней (по модулю) или от тренда;

−среднее линейное отклонение d (по модулю) отдельных уровней от общей средней или от тренда;

−среднее квадратическое отклонение а отдельных уровней от общей средней или от тренда;

−относительный показатель колеблемости уровней, аналогичный

коэффициенту вариации, V = σy 100 % .

При этом важно учитывать, относительно какого показателя (уровня) исследуется колеблемость. Например, можно исследовать колеблемость вокруг среднего уровни ряда у, который на графике выразится прямой, параллельной оси абсцисс. А можно исследовать колебания уровней вокруг линии тренда (или скользящей средней). Различный характер таких колебаний наглядно виден на графике (рис. 9.1).

146

Рис. 9.1. Колебания фактических уровней yi относительно среднего уровня y и линии тренда yt

Рассмотрим традиционный случай расчета среднего квадратического отклонения отдельных уровней yt от общего среднего уровня ряда y :

σ =	∑(yi − y)2		.	(9.3)
		n
В данном случае величина ∑(yi − y)2		характеризует сумму квадратов

отклонений фактических уровней от общей средней, за счет всех факторов, формирующих уровни, как основных, определяющих тренд, так и случайных. Задача исследования колебаний уровней в рядах динамики сводится к разложению общей колеблемости на составляющие и выделению именно тех

колебаний, которые интересуют исследователя.

Для решения этой задачи требуется разложить общую сумму квадратов отклонений от средней ∑(yi − y)2 на составляющие.

Имея фактические (эмпирические) уровни ряда у и уровни, выровненные по определенному тренду, yt можно рассчитать следующие суммы квадратов отклонений:

1) ∑(yi − y)2 – общую сумму квадратов отклонений фактических уровней от их общей средней;

∑(yi − y)2

деления ∑(yi − y)2

В свою очередь, используя

147

2) ∑(yi − y)2 – сумму квадратов отклонений за счет тренда (за счет

фактора времени);

3) ∑(yi − y))2 – сумму квадратов отклонений за счет случайных факторов.

Согласно правилу сложения вариации и правилу сложения дисперсий первая сумма равна сумме двух последних:

∑(yi − y )2 = ∑(yˆi − y )2 + ∑(yi − yˆt )2 .

Отсюда, пользуясь величиной ∑(yi − y )2 , можно рассчитать среднее квадратическое отклонение уровней ряда за счет тренда (фактора времени).

∑(yi − y )2 , можно рассчитать среднее

квадратическое отклонение уровней за счет случайных факторов. Чем меньше эта сумма, тем ближе фактические уровни к линии тренда. Это означает, что линия тренда подобрана удачно, то есть адекватна эмпирическим данным.

Поэтому среднее квадратическое отклонение, рассчитанное на основе данной суммы квадратов отклонений от тренда, одновременно рассматривается как

средняя квадратическая ошибка уравнения тренда. При этом поскольку разные уравнения тренда имеют различное число параметров т, средняя квадратическая ошибка уравнения тренда S (или σост ) рассчитывается путем

не на п, а на (п – т), то есть на число степеней свободы:

	S =	∑(yi − yˆt )2	.	(9.4)
		n − m

Если уровни ряда являются месячными или квартальными показателями и несут на себе влияние сезонности, то в общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от их средней можно выделить также составляющую,

характеризующую сезонные колебания.

148

9.3.Выявление и измерение сезонных колебаний

Врядах динамики, уровни которых являются месячными или квартальными показателями, наряду со случайными колебаниями, часто наблюдаются сезонные колебания, под которыми понимается периодически повторяющееся из года в год повышение и снижение уровней в отдельные месяцы или кварталы.

Сезонным колебаниям подвержены внутригодовые уровни многих показателей. Так, например, расход электроэнергии в летние месяцы значительно меньше, нежели в зимние. Потребление мяса больше в зимние месяцы, производство некоторых видов продуктов (сахара, растительного масла и др.), связанных с переработкой сельскохозяйственной продукции, увеличивается в месяцы, непосредственно следующие за окончанием уборки урожая, рыночные цены на овощи в отдельные месяцы далеко не одинаковы и т. д.

При графическом изображении таких рядов сезонные колебания проявляются в повышении и снижении уровней в определенные месяцы (или кварталы).

Вкачестве иллюстрации рядов с сезонными колебаниями могут служить данные по продаже изделий за 2006-2007, по месяцам (табл. 9.3) и их графическое изображение (рис. 9.2).

Таблица 9.3. Данные по продаже изделий за 2006–2007 гг.

Год						Месяц
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2006	109,5	102,7	86,6	82,3	76,6	70,0	57,6	24,5	36,3	70,7	95,2	104,5
2007	97,6	95,5	114,2	101,3	105,6	94,6	75,2	38,6	38,9	78,7	96,5	111,0

149

2006	2007

Рис. 9.2. Динамика продаж

Вместо месячных показателей могут быть квартальные. Если колебания не случайны, они сохраняются и в квартальных уровнях, как это показано в табл. 9.4, где месячные данные нашего примера преобразованы в квартальные, и на рис. 9.3.

Таблица 9.4. Квартальные данные по продажам

Год				2006					2007
Квартал		I	II		III	IV	I	II		III	IV
Продано,		298,8	228,9		118,4	270,4	307,3	301,5		152,7	286,2
кг

2006

2007

Рис. 9.3. Динамика продаж по кварталам

150

Наблюдение за сезонными колебаниями позволяет, с одной стороны, устранить их там, где они нежелательны (например, можно более равномерно использовать в течение года строительных рабочих), с другой стороны, решить ряд практических задач (например, определить потребности в рабочей силе, оборудовании и сырье в тех отраслях, где влияние сезонности велико).

При изучении рядов динамики, содержащих «сезонную волну», ее выделяют из общей колеблемости уровней и измеряют. Существует ряд методов для решения этой задачи. Все они основаны на сравнении фактических уровней каждого месяца (или квартала) со средним уровнем, предполагающим равномерное распределение годового показателя по месяцам (или кварталам), либо со сглаженными скользящими средними или выровненными по уравнению тренда. При этом для измерения «сезонной волны» рассчитывают либо абсолютные разности (отклонения) фактических уровней от среднего уровня (или от выровненных), либо отношения месячных уровней к среднему месячному уровню за год, так называемые индексы сезонности:

I сез =	yi	100 %.	(9.5)
	y

В табл. 9.5 показан расчет индексов сезонности и абсолютных отклонений уровней от среднего на примере данных о продажах товара в 2006 г.

Средний месячный уровень за год y = ∑nyi = 91612,5 = 76,375 кг.

В графе 3 табл. 9.5 индексы сезонности рассчитаны как процентное отношение фактического уровня каждого месяца yi к среднему месячному у за год, то есть по формуле (9.5). В графе 4 приведены абсолютные отклонения уровней каждого месяца от среднего месячного за год, а в графе 5 – эти же отклонения в процентах к среднему месячному уровню. Нетрудно видеть, что данные графы 5 представляют собой разность между индексом сезонности и 100 %. Другими словами, независимо от того, как учитываются различия в

151

месячных уровнях, измерение сезонности в конечном счете сводится к расчету индексов сезонности.

Таблица 9.5. Сезонные колебания продаж

			Индекс		Абсолютное	Абсолютное
		сезонности,
		% к среднему			отклонение	отклонение,
Месяц	Продажа	месечному			от среднего	% к среднему	(I	сез	−100%)2	(y	i	− y)2
			уровню		месячного	месячному
						уровню
			yi		уровня yi − y
				100%		(yi − y)/ y
			y
1	2	3			4	5			6			7
Январь	109,5	143,4			33,125	43,4		1883,56		1097,266
Февраль	102,7	134,5			26,325	34,5		1190,25		693,006
Март	86,6	113,4			10,225	13,4		179,56		104,551
Апрель	82,3	107,8			5,925	7,8			60,84	35,106
Май	76,6	100,3			0,225	0,3			0,09	0,051
Июнь	70,0	91,6			-6,375	-8,4			70,56	40,641
Июль	57,6	75,4			-18,375	-24,6		605,16		352,501
Август	24,5	32,1			-51,875	-67,9		4610,41		2691,018
Сентябрь	36,3	47,5			-40,075	-52,5		2756,25		1606,006
Октябрь	70,7	92,6			-5,675	-7,4			54,76	32,206
Ноябрь	92,2	124,6			18,825	24,6		605,16		354,381
Декабрь	104,5	136,8			28,125	36,8		1354,24		791,016
Итого	916,5	1200			0	0		13370,84		7797,747

Графическое изображение индексов сезонности (рис. 9.4) наглядно показывает форму, характер «сезонной волны» относительно среднего месячного уровня за год, принимаемого за 100 %.

Рис. 9.4. Индексы сезонности продажи в 2006 году

Данные табл. 9.5 и рис. 9.4 показывают, что минимальный объем продаж приходился на август, а максимальный – на январь.

152

Для характеристики силы (меры) колеблемости уровней динамического ряда из-за сезонной неравномерности часто предлагается использовать среднее квадратическое отклонение индексов сезонности (в процентах) от 100 %, то есть

	σсез =	∑(Iсез −100 %)2	.	(9.6)
		n

В нашем примере сумма ∑(Iсез −100 %)2 =13370,84 рассчитана в графе

6 (см. табл. 9.5). Тогда

σсез =	13370,84	= 33,38 %.
	12

Этот же результат можно получить и по-другому, как коэффициент вариации (колеблемости):

V = σy 100 %,

	где σ =	∑(yi − y)2	– квадратическое отклонение уровней ряда.
		n

В табл. 9.5 сумма квадратов отклонений от среднего уровня ∑(yi − y)2

рассчитана в графе 7, среднее значение уровня y = 76,375 . Отсюда

σ =	∑(yi − y)2	=	7797,747	= 25,5 кг,
	n		12

V = σy 100% = 7625,375,5 100 = 33,38 %,

то есть результаты двух показателей (σсез и V) идентичны.

Необходимо отметить, что в формуле (9.3) сумма квадратов отклонений месячных уровней от общего среднего уровня, то есть ∑(yi − y)2 , измеряет

колеблемость за счет всех факторов, а не только за счет сезонной неравномерности, поэтому, пользуясь ею для измерения колеблемости ряда изза сезонной неравномерности, не следует переоценивать ее значение.

153

Конечно, там, где колебания в основном определены влиянием сезонности, расчет по формуле (9.3) их учитывает. Однако при этом не исключается и влияние случайных колебаний.

В рассмотренном методе расчета индексов сезонности I сез = yyi 100 %

использовались данные одного года. Этот метод довольно прост, но, в силу элемента случайности, месячные данные одного года недостаточно надежны для определения меры сезонных колебаний. Поэтому рекомендуется пользоваться месячными (или квартальными) данными за ряд лет (в основном за 3 года, хотя не исключена возможность использования данных за 2 года, а также за период более 3 лет).

Расчет индексов сезонности за ряд лет

При наличии месячных данных за ряд лет расчет индексов сезонности можно осуществить по-разному. Рассмотрим несколько способов.

1. По данным ряда лет рассчитывается среднее значение уровня для

каждого месяца yi , а также средний месячный уровень за весь период y .

Затем определяются индексы сезонности как процентное отношение средних уровней для каждого месяца к общему среднему месячному уровню всего ряда (за все годы), то есть по формуле

Iсезi	=	yi	100 %.	(9.7)
		y

Например, по данным табл. 9.3 за 2 года получим следующие средние уровни по месяцам:

в январе y1 = (109,5 +97,6)/ 2 =103,55 кг;

в феврале y2 = (102,7 +95,5)/ 2 = 99,1 кг;

в марте y3 = (86,6 +114,2)/ 2 =100,4 кг.

154

Средний месячный уровень за 2 года

24

∑yi

	y =	1	= 82,0175 тыс. т. 82 кг.
		24

y

Отсюда индексы сезонности I сезi = yi 100 % :

в январе I сезi = 103,5582 100 % =126,3 % ;

в феврале I сезi = 99,182 100 % =120,5 % ;

в марте I сезi = 100,482 100 % =122,5 .

Данный метод используется в основном в тех случаях, когда уровни одноименных месяцев в разные годы отличаются незначительно.

Если же наблюдается тенденция к увеличению или снижению уровней из года в год, то эффективнее рассчитывать индексы сезонности по следующей схеме.

2. Для каждого года отдельно рассчитываются индексы сезонности по

формуле 9.5, то есть как	I сез	=	yi	100 %., а затем из индексов одноименных
			y

месяцев находится средняя арифметическая.

Покажем этот метод на примере данных табл. 9.3. Рассчитаем индексы сезонности для 2007г. так же, как для 2006г.

В 2001 г. средний месячный уровень y составил 87,3 тыс.т. Отсюда

месячные индексы сезонности 2001 г:

	в январе		97,6		100 % =111,8 % ;
		87,3
	в феврале	95,5			100 % =109,4 % ;
		87,3

				155
	в марте	114,2		100 % =130,8 %	и т.д.
			87,3

Зная месячные индексы сезонности за 2006 г. (см. табл. 9.5) и за 2007 г., определяем из них для каждого месяца среднюю арифметическую, которую и принимаем в качестве обобщенной меры сезонных колебаний:

вянваре (143,4 +111,8)/ 2 =127,6 % ;

вфеврале (134,5 +109,4)/ 2 =121,95 % ;

вмарте (113,4 +130,8)/ 2 =122,1 % и т. д.

3.Следующий прием измерения сезонных колебаний при наличии тренда

вданных за ряд лет основан на сопоставлении фактических месячных (или квартальных) уровней либо со сглаженным методом скользящей средней, либо с выровненными определенной аналитической формуле.

В первом случае месячные данные за ряд лет сглаживаются 12-месячной скользящей средней (при квартальных данных – 4-квартальной скользящей средней). Затем фактические уровни каждого месяца (или квартала) выражают

впроцентах к скользящей средней.

На основе таких отношений (индексом сезонности) за ряд лет находится средняя арифметическая для каждого месяца (или квартала). Полученные усредненные индексы сезонности и являются искомыми, характеризующими «сезонную волну».

Аналогично рассчитываются индексы сезонности и во втором случае на основе сопоставления фактических уровней с выровненными по аналитической формуле. Здесь та же последовательность расчетов с той лишь разницей, что вместо сглаженных скользящих средних сначала находится уравнение тренда и

по нему рассчитываются выровненные (теоретические) уровни y)t . Затем определяется отношение фактических уровней к выровненным, то есть

156

рассчитываются индексы сезонности для каждого месяца (или квартала):

	I		=	yi
		сезi		yˆt .		(9.8)

Поскольку за п лет отдельные месяцы повторяются, значения месячных индексов сезонности для отдельных лет усредняются.

Рассмотрим этот метод расчета индексов сезонности по отношению к тренду на условном примере динамики объема строительных работ в одном из районов города по кварталам за 3 года. Исходные данные и последующие расчеты показаны и табл. 9.6.

Предполагая, что фактические уровни у (см. графу 2 табл. 9.6) имеют линейный тренд, и ведя счет времени от начала ряда (t=1,2, 3, ...), подсчитываем все необходимые суммы в таблице (графы 2–5). По этим суммам и определяем параметры а0 и flj, решая систему нормальных уравнений:

+ a1 ∑ t = ∑ y,

12a

+ 78a

=198,

na 0

0

1

∑

t + a

∑

t 2 =

∑

yt , то есть

78a

+ 65a

=1388,8,

a

0

1

0

1

или сразу по формулам

∑yt − ∑y∑t

1388,8

−

198

78

a1

12

=

n

=

=

0,71,

∑t 2

−

(∑t)2

650

−

782

12

n

a0

= ∑y − a1

∑t

=

198

− 0,71

78

=11,9.

12

n

n

12

Отсюда уравнение тренда

yˆ t = 11 ,9 + 0 ,71 t.

Подставляя в него значения t=1,2, ...,12, находим выровненные уровни yˆt , (с точностью до одной десятой) (см. графу 6 табл. 9.6).

157

Таблица 9.6. Расчет величин для определения индексов сезонности по

отношению к тренду

			Выпол-											Сред-			Выров–
																	ненные
			нено			Вре-			Выровненные			Индекс		ний			уровни с
	Год	Квар-	работ,			мя	t2	yt	уровни	сезонности,				индекс			учетом
		тал	млн.						y)t =11,9 + 0,71t				сезi = yi / y)i	сезон-			сезон–
						t				%	I
			руб.	y	i									ности			ности
														I			~	)
																	yt = yt I
	А	1	2			3	4	5	6		7			8			9
		I	11,3			1	1	11,3	12,6		89,7			88,4			11,1
2005		II	12,2			2	4	24,4	13,3		91,7			95,1			12,6
		III	17,5			3	9	52,5	14,0		125,0			121,3			17,0
		IV	14,4			4	16	57,6	14,7		98,0			95,1			13,9
		I	13,8			5	25	69,0	15,4		89,6			88,4			13,6
2006		II	15,6			6	36	93,6	16,2		96,3			95,1			1,4
		III	20,2			7	49	141,4	16,9		119,5			121,3			20,5
		IV	17,4			8	64	139,2	17,6		99,0			95,1			16,7
		I	15,7			9	81	141,3	18,3		85,8			88,4			16,1
2007		II	18,4			10	100	184,0	18,9		97,4			95,1			17,9
		III	23,5			11	121	258,5	19,7		119,3			121,3			23,9
		IV	18,0			12	144	216,0	20,4		88,2			95,1			19,4
											1199,5
	∑	12	198,0			78	650	388,8	198,0					1199,7			198,1
											(1200)			(1200)
		Отношения фактических уровней yi (графа 2) к выровненным
	(теоретическим) yˆt					(графа 6) и являются индексами сезонности (графа 7) по
	отношению к тренду.
		Поскольку квартальные индексы в разные годы различны, они

усредняются. Например, для I квартала I1 =(89,7 + 89,6 + 85,8)73 = 88,4, для II

квартала I2 =(91,7 + 96,3 + 97,4)73–95,1 и т. д.

Усредненные значения записываются в качестве искомых индексов сезонности для всех трех лет (графа 8).

Умножая выровненные уровни на средние индексы сезонности, получаем теоретические (выровненные) уровни с учетом «сезонной волны» (графа 9).

158

Прогнозирование с учетом индекса сезонности

Индексы сезонности используются при прогнозировании. Так, зная уравнение тренда и средние индексы сезонности, можно продлить наш ряд, то есть спрогнозировать квартальные уровни, например, в 2008 при условии, что выявленная для 2005-2007 гг. закономерность развития устойчива и сохранится в прогнозируемом периоде. Этот метод продления в будущее закономерности (тенденции), выявленной в прошлом, называется экстраполяцией.

В общем виде

yˆпрогноз = f ()t Iсез.

В нашем примере

yˆпрогноз = (a0 + a1t)Iсез = (11,9 +0,71t)Iсез.

Подставляя соответствующие значения t и индексов сезонности, получаем следующий прогноз на 2008 г.:

I квартал yˆ I = (11,9+0,71*13)*0,884=18,7 млн. руб.;

IIквартал yˆII = (11,9+0,71*14)*0,951=20,8 млн. руб.; III квартал yˆIII = (11,9+0,71*15)*1,213=27,4 млн. руб.; IV квартал yˆIV = (11,9+0,71*16)*0,951=22,1 млн. руб.

Рассмотренная схема учета «сезонной волны» (умножение тренда на индекс сезонности) является мультипликативной.

Возможна и другая схема учета сезонной волны – аддитивная, когда к тренду прибавляется средняя величина абсолютных отклонений.

Чтобы экстраполировать ряд, приведенный в табл. 9.6, по аддитивной схеме, определим отклонение фактических уровней от выровненных и выполним все необходимые расчеты в табл. 9.7.

По аддитивной схеме yˆ = f (t)+ (yi − yˆt )= тренд + средние отклонения по кварталам.

В нашем примере прогноз на 2008 г., выполненный по аддитивной схеме,

								159
даст следующие показатели по кварталам:
		I квартал			ˆ	= (11,9+0,71*13)-1,83=19,3 млн. руб.;
					yI
	II квартал				ˆ	= (11,9+0,71*14)-0,73=21,05 млн. руб.;
					yII
	III квартал				ˆ	= (11,9+0,71*15)+3,53=26,08 млн. руб.;
					yIII
	IV квартал				ˆ	= (11,9+0,71*16)-0,97=22,29 млн. руб.
					yIV
			Таблица 9.7.Экстраполяция ряда по аддитивной схеме
					Выровнен-			Абсолютное		Среднее			Выровненные
			Фактичес										уровни с учетом
Год	Кварта									отклонение
			кие уровни		ные уровни			отклонение от						сезонности
	л		y				yˆt		yi − yˆt	по	кварталам		~	= ˆ	+
																(yi		− ˆ
				i									yt
					(тренд)			тренда			yi − yˆt			yt				yt )
А	1		2			3		4		5					6
	I		11,3		12,6			-1,3		-1,83				10,77
2005	II		12,2		13,3			-1,1		-0,73				12,57
	III		17,5		14,0			3,5		3,53				17,53
	IV		14,4		14,7			-0,3		-0,97				13,73
	I		13,8		15,4			-1,6		-1,83				13,57
2006	II		15,6		16,2			-0,6		-0,73				15,47
	III		20,2		16,9			3,3		3,53				20,43
	IV		17,4		17,6			-0,2		-0,97				16,63
	I		15,7		18,3			-2,6		-1,83				16,47
2007	II		18,4		18,9			-0,5		-0,73				18,17
	III		23,5		19,7			3,8		3,53				23,23
	IV		18,0		20,4			-2,4		-0,97				19,43
			198,0		198,0			0		0				198,0

Результаты прогнозирования, полученные по мультипликативной и аддитивной схемам, несколько отличаются, но эти различия не столь значительны. Вообще, точечный прогноз весьма сомнительное дело. Обычно для прогнозируемых показателей с заданной вероятностью определяются интервалы «от и до», которые учитывают среднюю квадратическую ошибку уравнения тренда.

Разложение общей суммы квадратов отклонений фактических уровней от их средней

Как уже отмечалось, при анализе рядов динамики с наличием тренда и сезонных колебании важно выделить в общей колеблемости фактических данных долю отдельных составляющих (тренда, сезонности и случайных

160

колебаний). Эту задачу можно решить путем разложения общей суммы квадратов отклонений фактических уровней от среднего уровня ряда за весь период, то есть ∑(yi − y)2 , на отдельные составляющие. Так, если принять

следующие обозначения для разных уровней:

yi – фактические уровни ряда, y – средний уровень ряда,

yˆt – тренд (теоретические уровни, рассчитанные по аналитической функции),

~	= yˆt Iсез	– тренд с учетом сезонности,
yt

тогда интерпретация следующих сумм будет такова:

1) ∑(yi − y)2 – общая сумма квадратов отклонений фактических уровней

от их средней;

2)∑(yˆi − y)2 – сумма квадратов отклонений за счет тренда;

3)∑(yˆi − y)2 – сумма квадратов отклонений за счет сезонности;

4)∑(yˆi − y)2 – сумма квадратов отклонений за счет случайных

колебаний.

Общая сумма квадратов должна быть равна сумме трех последних сумм. Проиллюстрируем это на нашем примере, для чего выпишем в отдельную

					~
таблицу исходные данные yi и все рассчитанные нами уровни yˆt , yt , а также
квадраты соответствующих отклонений (табл. 9.8).
Итак, в результате расчетов получаем
∑(yi − y)2		=129,04,	∑(yˆt − y)2		= 72,06,
~	2	= 54,51,	~	2	= 3,89.
∑(yˆt − yt )			∑(yi − yt )

161

Таблица 9.8. Расчет величин для разложения общей суммы квадратов отклонений фактических уравнений от их средней ( y =16,5)

		Факти-		Выров-		Выров-
						ненные
Год	Квар-	ческие		ненные		уровни с	2	(yˆt − y)	2	~	~
	тал	уровни		уровни		учетом	(yi − y)			(yˆt − yt )	(yi − yt )
					ˆ
		y				сезонности
			i	(тренд)	yt
						~
						yt
А	1	2		3		4	5	6		7	8
	I	11,3		12,6		11,1	27,04	15,21		2,25	0,04
2005	II	12,2		13,3		12,6	18,49	10,24		0,49	0,16
	III	17,5		14,0		17,0	1,00	6,25		9,00	0,25
	IV	14,4		14,7		13,9	4,41	3,24		0,64	0,25
	I	13,8		15,4		13,6	7,29	1,21		3,24	0,04
2006	II	15,6		16,2		15,4	0,81	0,09		0,64	0,04
	III	20,2		16,9		20,5	13,69	0,16		12,96	0,09
	IV	17,4		17,6		16,7	0,81	1,21		0,81	0,49
	I	15,7		18,3		16,1	0,64	3,24		4,84	0,16
2007	II	18,4		18,9		17,9	3,61	5,76		1,00	0,25
	III	32,5		19,7		23,9	49,00	10,24		17,64	0,16
	IV	18,0		20,4		19,4	2,25	15,21		1,00	1,96
		198,0		198,0		198,1	129,04	72,06		54,51	3,89

Сумма слагаемых (72,06; 54,51; 3,89) равна 130,46. Незначительное отличие этой суммы от 129,04 – это результат округлений на всех этапах расчета выровненных уровней.

На основе полученных данных можно сделать вывод, что случайные колебания в исходном ряду были весьма незначительны. Основные факторы колеблемости уровней исследуемого ряда – тренд и сезонность.

162

15 10. ЗАВИСИМОСТЬ СРЕДНЕЙ ОШИБКИ ПРОГНОЗА ОТ ПЕРИОДА ПРЕДЫСТОРИИ И ВЕЛИЧИНЫ ПРОГНОЗИРУЕМОГО ПЕРИОДА

Одной из важнейших задач прогнозирования является повышение точности расчетов. Критерием точности может служить средняя ошибка прогноза, вычисляемая по формуле

		1 l		y		−y*
ε	пр =		∑		n + l	n+l		100 ,	(10.1)
		t			yn + l
			1

где yn + l – фактические уровни временного ряда;

y *n + l – прогнозируемые уровни временного ряда;

n – период предыстории (n=1, 2, . . . , N);

l – прогнозируемый период (l=N+1, N+2, …, T).

Как известно, точность прогноза зависит как от длины периода предыстории, так и от величины прогнозируемого периода. Поэтому можно построить модель, характеризующую зависимость средней ошибки прогноза от двух параметров n и l:

( )	.	(10.2)
εпр= f n,l

Процедура построения модели (2) осуществляется следующим образом. Весь временной ряд t (t=1, 2, ..., Т) разбивается на две части: первая – n(n=1,2,...,N) принимается за период предыстории, вторая – l(l=N+1, N+2, ..., Т)

– за прогнозируемый период. Для периода n строится модель прогноза

yt =a0 +a1t , по которой прогнозируются уровни временного ряда yt на период l.

С этой целью в полученное уравнение модели прогноза последовательно подставляют значения t, равные N+1, N+2,..., Т, то есть порядковые номера лет периода прогноза, и получают прогнозируемые уровни временного ряда на период l. По существу, мы осуществляем ретроспективный прогноз. Поскольку фактические значения временного ряда за период l известны, можно

163

определить величину средней ошибки прогноза за этот период. Далее период предыстории увеличивается на один момент времени, то есть его длина становится (n+1), а период прогнозирования тем самым уменьшается на единицу. Для временного ряда длиной (n+1) строится модель прогноза, по которой осуществляется прогнозирование на период l–1, то есть на N+2,N+3,..., T, и находится средняя ошибка прогноза. Такая процедура повторяется до тех пор, пока прогнозируемый период не будет равен нескольким моментам времени, по которым еще можно будет проверять ретроспективный прогноз1. В результате, можно построить таблицу, в которой будут содержаться данные для построения модели зависимости средней ошибки прогноза от длины периода предыстории и величины прогнозируемого периода.

Таблица 10.1. Данные для построения модели

	Средняя ошибка прогноза						Величина периода	Величина прогнозируемого
					ε	пр	предыстории n	периода l
				ε	пр(l)		n;(1,2,L, N )	l;(N +1, N + 2,L,T )
		ε		пр(l −1)			n +1;(1,2,L, N +1)	l −1;(N +1, N + 3,L,T )
					•		•	•
					•		•	•
					•		•	•
							n + p;(1,2,L, N + p)	l − p;(N + p +1, N + p + 2,L,T )
	εпр(l − p)

Вышеописанный метод проиллюстрируем на примере временного ряда выпуска цемента в СССР за период с 1950 по 1971 г. (табл. 10.2 гр. 3):

εап – средняя ошибка аппроксимации 9,1 10,8 12,4 12,8 12,7 12,9

13,4;

εпр – средняя ошибка прогноза 19,4 15,9 12,4 10,6 9,9 8,0 5,1.

1 В нижеприведенном примере мы остановились на этапе, когда минимальный период прогноза равен 5 годам.

164

Таблица 10.2. Определение средней ошибки периода

			Выпуск	Относительные ошибки аппроксимации и прогноза в
	Годы	t	цемента
							процентах
			(млн.т)
	1	2	3	4	5	6		7	8	9	10
			10,2	+30,0	+38,1	+46,8		+52,5	56,4	+62,6	+70,4
			12,1	+13,0	+17,8	+23,8		+26,5	+29,2	+33,3	+38,6
			13,9	-0,2	+2,2	+5,1		+7,2	+8,7	+11,4	+14,8
			16,0	-8,2	-7,7	-6,7		-5,8	-5,0	-3,6	-1,6
			19,0	-9,0	-9,0	-10,3		-10,3	-10,1	-9,6	-8,8
			22,5	-7,1	-8,9	-10,4		-11,0	-11,3	-11,5	-11,5
			24,9	-10,4	-13,1	-15,3		-16,5	-17,1	-17,8	-18,5
			28,9	-6,9	-10,0	-12,8		-14,3	-15,2	-16,3	-17,4
			33,3	-2,8	-6,4	-9,5		-11,3	-12,3	-13,7	-15,1
			38,8	+3,0	-0,7	-4,0		-5,9	-7,0	-8,5	-10,2
			45,5	+9,7	+6,1	+2,8		+0,8	-0,3	-1,9	-3,6
			50,9	+12,6+	+8,9	+5,5		+3,4	+2,2	+0,6	-1,3
			57,3	+16,6	+12,7	+9,2		+7,2	+6,0	+4,2	+2,3
			61,0	+16,1	+12,1	+8,4		+6,2	+4,9	+3,1	+1,0
			64,9	+15,9	+11,7	+7,9		+5,7	+4,3	+2,3	+0,1
			72,4	+19,9	+15,9	+12,2		+9,9	+8,6	+6,6	+4,4
			80,0	+23,3	+19,3	+15,6		+13,4	+12,1	+10,1	+7,9
			84,8	+23,6	+19,6	+15,8		+13,6	+12,1	+10,3	+8,0
			87,5	+22,1	+17,9	+13,9		+11,7	+10,2	+8,1	+5,7
			89,7	+20,2	+15,8	+11,7		+9,3	+7,8	+5,6	+3,1
			95,2	+21,0	+16,9	+12,8		+10,3	+8,8	+6,6	+4,1
			100,3	+21,8	+17,4	+13,4		+10,9	+9,4	+7,1	+4,6

Весь период в 22 года был разбит на две равные части, то есть n=11; l=11. Затем для отрезка исследуемого ряда за период с 1950 г. по 1960 г. была построена линейная модель

yt =3,744 + 3,393t .

(10.3)

Подставляя в это уравнение порядковые номера последующих лет (t=12,13, .., 22), получаем относительные ошибки прогноза для каждого года на период c 1961 г. по 1971 г. по формуле

			y	n + l	−y*
ε	пр	=			n+l	100 .	(10.4)
				yn + l

По формуле (10.1) находится средняя ошибка прогноза для этого отрезка временного ряда. Относительные ошибки прогноза и средняя ошибка прогноза

165

представлены в табл. 10.2, гр. 42. Далее период предыстории был увеличен до 12 лет (1950 – 1961 гг.), построена модель прогноза

yt =2,670+3,641t ; (t=1,2,…,12)

(10.5)

и осуществлена экстраполяция на период 1962 – 1971 гг., в результате которой были определены относительные ошибки прогноза по годам и средняя ошибка прогноза (табл. 10.2, г.р.2).

Модели прогноза для всех проделанных этапов представлены в табл. 10.3, а в табл. 10.2 – величины относительных и средних ошибок аппроксимации.

Таблица 10.3. Модели прогноза по этапам прогнозирования

Период предыстории	Период прогноза (годы)		Уравнения для моделей прогноза
(годы)
1950—1960	1961—1971		yt = 3,744+3,393t
(11 лет)	(11 лет)
1950-1961	1962—1971		yt = 2,670+3,641t
(12 лет)	(10 лет)
1950—1962	1963—1971		уt= 1,546+3,881t
(13 лет)	(9 лет)
1950—1963	1964-1971		yt = 0,815+4,027t
(14 лет)	(8 лет)
1950—1964	1965—1971		уt = 0,326+4,119t
(15 лет)	(7 лет)
1950—1965	1966—1971		yt = -0,445+4,255t
(16 лет)	(6 лет)
1950—1966	1967—1971		yt = -1,39.8+4,414t
(17 лет)	(5 лет)

В результате проделанных расчетов была получена информация для построения модели, характеризующей зависимость средней ошибки прогноза от длины периода предыстории и прогнозируемого периода (табл. 10.4).

2 В гр. 4, 5 и т. д. относительные ошибки прогноза расположены ниже выделенного прямоугольника. В прямоугольники заключены относительные ошибки аппроксимации.

166

На основании данных табл. 10.4 была построена модель зависимости средней ошибки прогноза от периода предыстории и периода прогноза:

ε

пр=3,860−0,441n+1,741l .

(10.6)

Таблица 10.4.Средние ошибки прогноза и величина периода предыстории и

прогнозируемого периода

	Средняя ошибка прогноза	Период предыстории	Период прогноза l (лет)
		n (лет)
	19,4	11	11
	13,9	12	10
	12,4	13	9
	10,6	14	8
	9,9	15	7
	8,0	16	6
	5,1	17	5

Коэффициент множественной корреляции, равный 0,981, указывает на довольно тесную связь между средней ошибкой прогноза и обоими факторами. Вариация средней ошибки прогноза на 96,2 % объясняется колеблемостью периода предыстории и прогнозируемого периода, о чем свидетельствует величина коэффициента множественной детерминации (R2 = 0,962).

Это уравнение показывает, что увеличение периода предыстории на один год снижает ошибку прогноза на 441 %. В то же время увеличение прогнозируемого периода на один год ведет к увеличению средней ошибки на

1,741 %.

Итак, точность прогноза объясняется совместным влиянием периода предыстории и периода прогноза.