167

10.1. Обоснование периода упреждения

Период времени, на который разрабатывается прогноз – период упреждения. По периоду упреждения прогнозы делятся на оперативные (до 1 года); среднесрочные (до 5 лет); долгосрочные (от 5 до 15 лет); дальнесрочные (свыше 15 лет).

При разработке прогноза оценку его точности требуется производить заранее (априорно), когда интенсивное значение прогнозируемой величины еще не известно. Точность прогноза оценивается величиной доверительного интервала для заданной вероятности его осуществления, а под достоверностью понимают оценку вероятности осуществления прогноза в заданном доверительном интервале, то есть точность прогноза выражается с помощью вероятностных пределов фактической величины от прогнозируемого значения.

По теории статистики при условии, что случайные ошибки имеют нормальное распределение, величины разброса событий (доверительный интервал) при величине Р = 0,997 ∆= ±3σn, для Р = 0,95 ∆= ±2σn для Р = 0,68

∆=±σn, где σn – среднеквадратическая ошибка.

Так как величина σn является среднеквадратической ошибкой

«генеральной совокупности» величин уi, достигаемой лишь при i→∞, то необходимо вводить поправку на недостаточный объем выборки. С этой целью в формулу вычисления границ доверительного интервала необходимо ввести коэффициент-значение t-статистики Стьюдента и оперировать выборочной среднего квадратического отклонения (СКО):

∆=taS	yˆ	,	(10.7)

где Syˆ – выборочная среднеквадратическая ошибка тренда; ta- значение t-

статистики Стьюдента.

Величина ta выбирается из таблиц статистики в зависимости от

α(α=1−Р), где Р – заданная вероятность осуществления прогноза и

v(v=n−m), где n – число уравнений динамического ряда, m – число параметров уравнения тренда (для линейного тренда m =2).

168

В качестве меры рассеяния наблюдений вокруг линии регрессии принимают такую характеристику, как дисперсия:

n

(

−

2

n (

− ˆ

)2

y

yˆ

)

∑ y

∑

y

Sy =

i =1

i

; Sy2 =

i =1

i

.

n−m

n−m

Погрешность в оценке параметров модели также учитывается дисперсиями дисперсией параметра а и дисперсией параметра b:

a=	1 ∑ y и b= ∑ y τ / ∑τ2
		n	n	n
		i =1 i	i =1 i i	i =1 i
	n

	1	n
где τi =ti −		∑ti .
	ni =1

Здесь параметр а есть выборочное среднее. Оценка дисперсии выборочного среднего при его распределении по нормальному закону представляет собой отношение остаточной дисперсии к общему числу наблюдений, то есть

Sa2 =1n Sy2 .

Дисперсия параметра b представляет собой отношение относительной дисперсии к сумме квадратов отклонений (от средней) значение независимой

n (

)2

с учетом квадрата значения независимой переменной

переменной ∑τi

i =1

n

∑τk2 (переменной для которой определяется прогноз):

i =1

τ2

(t

)2

2

2

k

−t

2

S

b

=

k

S

y

=

S

y

.

(10.8)

n

n

∑τ

2

∑(t −t

)2

i =1

i

i=1

i

Уравнение, определяющее средние квадратические ошибки линии тренда,

можно записать в виде Syˆ =

Sa2 +Sb2 . В общем виде его можно представить

169

как Syˆ =Syk , где k – некоторая функция числа наблюдений и периода

упреждения.

Величина k характеризует собой отношение средних квадратических ошибок, и для линейного тренда её можно определить как:

k=

Syˆ

=

1

+

τk2

=

1

+

(tk −t

)2

.

(10.9)

n

Sy

n

n

n

∑τi2

∑(tk −t

)2

i =1

i =1

Так как последовательность значений ti составляет натуральный ряд, то

					n						( )
			n+1			(				)	n n−1
t =					и ∑ t			−t =				.
			2								2
					i =	1	i

Величина tk −t характеризует расстояние z от середины динамического ряда до точки на оси времени, для которой делается прогностическая оценка.

Тогда
					n+1 n+2z−1
tk −t		=n+z−					=			.	(10.10)
						2			2
Таким образом,
	1			(		)2
k=			+	3n+2z−1
	n			2
				n n		−1

и представляет собой среднюю квадратическую ошибку уравнения, измеренную в единицах СКО от тренда. Этой величиной можно воспользоваться в качестве некоторого критерия погрешности, из ее значения определить минимально необходимое число наблюдений при заданном периоде упреждения.

Доверительный интервал также учитывает возможность отклонения от тренда. Если t=i+z (где z – количество единиц времени, на которое продлен тренд), то доверительный интервал прогноза, учитывающий эту ошибку (СКО прогноза), составит yˆi + z =yˆk ±∆=yˆ±taSn ,

170

где Sn – СКО прогноза.

Доверительный интервал уменьшается или увеличивается при увеличении продолжительности наблюдения (периода основания прогноза) и растет с увеличением периода упреждения прогноза.

Среднеквадратическая ошибка в основном зависит от t

k

−t= f t

.

упр

Таким образом,

период упреждения –

это функция ошибки прогноза, то

(

)

, где интервал ∆=taSn .

есть tупр= f ∆

Ошибка прогноза – это функция, которая зависит от объема выборки, и

это есть функция периода упреждения, то есть

(

)

[ (

−t

)]

. Для того

f ∆ = f

n, tk

(

)

,его надо связать с n и f

( )

, и, так

чтобы обосновать период упреждения tk −t

∆

как интервал ∆=taSn , тогда

1

2

t

S

= S 2

1+

+

(tk −t )

×t

a

n

y

n

(

)2

a

∑ ti −t

2

(

)

1

(

)

(

)

1

2

2

ta Sn

tk −t

ta Sn

(

)

(

)

2

−1−

n

=

∑

(t

2

;

Sy

−1−

∑ tk −t

=tk −t

.

Sy

k

−t )

n

Следовательно, выражение для периода упреждения рассчитывается по формуле

				1		(
	ta Sn							)2
tk =			−1−
					×∑ ti −t			+t .
		Sy
				n

Таким образом, чем больше период упреждения, тем больше ошибка прогноза [8].