44

3. Уравнения линеаризуемых трендов и трендов, сводящихся к модифицированной экспоненте

В практике прогнозирования довольно часто встречаются случаи, когда трудно судить о линейности исходного динамического ряда или когда при графическом изображении его точек нелинейность явно просматривается «на глаз». Тогда есть смысл получить по экспериментальным данным формулу нелинейной парной зависимости. При этом можно рассчитывать, что нелинейная формула даст меньшую остаточную дисперсию Sy2 , вследствие

чего сузится доверительный интервал прогноза. Следует только помнить, что речь идет о зависимости, нелинейной по фактору x (статическая задача прогнозирования) или по фактору t при динамической постановке задачи. По параметрам же тренда зависимость остается линейной.

3.1. Парные регрессии, сводящиеся к линейному тренду

Используя метод наименьших квадратов, можно построить практически любые формы нелинейной парной связи. Для этого используют линеаризующие преобразования, так как только линейные по параметрам функции восстанавливаются с помощью МНК.

Широко распространены два вида преобразований: натуральный логарифм ln и обратное преобразование I/t. При этом, очевидно, возможно преобразование как зависимой переменной y, так и независимой переменной t(x) или одновременно той и другой.

В табл. 3.1. приведены восемь часто встречающихся преобразований парных зависимостей, полученных комбинацией из индивидуальных преобразований зависимой переменной у и независимой переменной t. Качество прогнозирования проверяют на основе уравнения

ˆy′ = a′+b′t .

45

Таблица 3.1. Функции и линейные преобразования

	Функция			Линеаризующие
				преобразования
			Преобра-			Выражения
Название	Уравнение			зование		для величин
		переменных					a и b
		y	′	t	′	a	′	b
								′
1	2	3		4		5		6
Линейная	ˆyt = a +bt	y		t		a		b

Экспонен-	ˆyt = aebt
циальная		ln y	t	ln a	b
(простая)

Степенная

ˆyt = atb

ln y

ln t

ln a

b

	Гиперболи-	ˆyt = a +	b		1		b
	ческая			y		a
					t
			t
	1 типа

	Гиперболи-	ˆyt =	1	1
	ческая				t	a	b
			a +bt	y
	2 типа

	Гиперболи-	ˆyt′ =	1	1	1
	ческая			y	t	b	a
			a +bt
	3 типа

Вид кривой

7

b

1

a

b>0 b<0

b<0

b>0

b>0

a

b<0

b>0

b<0

1/b b>0

b<0 a/b

46

Окончание табл. 3.1

Логариф-

ˆyt

= a +b ln t

y

ln t

a

b

a

мическая

1

Обратно-

1

1

b>0

ˆyt

=

ln t

a

b

b<0

логариф-

y

a +bln t

1

мическая

a

a/b>ln t

ˆyt = ae

a +b / t

1

ea

ln y

a

b

b>a

S-образная

t

b<-a

После вычисления коэффициентов a′ и b′ по методу наименьших квадратов выполняют обратные преобразования, то есть по a′ и b′ определяют a и b.

Так, например, простая экспоненциальная кривая (экспонента) определяется уравнением

ˆyt = a ebt ,

где e – основание натурального логарифма.

Это уравнение можно переписать в другом виде:

ˆyt = a e a′+bt , где a′ = ln a

или ˆyt = a(b′)t , где b′ = eb .

От обеих частей исходного уравнения возьмем натуральный логарифм. Получим

ln ˆyt = ln a +bt ln e

или

ˆ

′

=

a

′

+

ˆ

′

=

ˆ

′

=

.

y

bt(y

ln yt , a

ln a)

47

Параметры a′ и b определим МНК и, преобразуя a = anti ln(a′), снова перейдем к исходному уравнению.

Для конкретизации примера используем исходные данные, отражающие изменения количества типовых объектов (табл. 2.1), с учетом линеаризующих преобразований составим новую таблицу (табл. 3.2).

Таблица 3.2. Исходные данные для определения параметров

экспоненциальной прогнозной модели

T, год	1973	1975	1977	1979	1981	1983	1985
t	1	2	3	4	5	6	7
yt, шт.	227	219	209	197	193	200	199
yt′ = ln yt	6,425	5,389	5,342	5,283	5,263	5,298	5,293
yt′t	5,425	10,778	16,027	21,133	26,313	31,790	37,053

T, год	1987	1989			1991	1993		1995	1997	1999
t	8	9			10	11		12	13	14
yt, шт.	197	191			177	175		167	193	144
yt′ = ln yt	5,283	5,252			5,176	5,165		5,118	5,263	4,970
yt′t	42,266	47,270			51,761	56,813		61,416	68,415	69,577
n			n			n			n
∑ yt′ = 73,520 ;			∑ yt′t	= 546,037 ;		∑ti =105;			∑ti2 =10,15.
t =1			t =1			i =1			i =1
В соответствии с системой уравнений (2.3) систему нормальных
уравнений запишем в виде
		73,520		=	a′ 14	+b 105 ;
		546,037 =			a′ 105 +b 1015 .
Решение этой системы дает
	b =		14 546,037 −105 73,520				= −0,024 ;

14 1015 −1052

a′ = 141 (73,520 + 0,024 105)= 5,431; a = anti ln 5,431 = 228,378 .

Уравнение регрессии,

а точечный прогноз на 2005

48

следовательно, имеет вид

ˆyt = 228,378 e−0,024t ,

г. (tk =17 )

ˆy1995 = 228,378e0,024 17 153 объекта.

Для линеаризованных выражений также можно найти среднеквадратические ошибки оценок параметров и значений ˆyt . Отсюда можно определить и среднеквадратическую погрешность прогноза. Воспользуемся в чисто иллюстративных целях данными нашего примера, в котором мы оценили параметры экспоненты. Определим теперь доверительные интервалы для нее.

Поскольку уравнение содержит два оцениваемых параметра, то число степеней свободы при расчете квадратического отклонения составит 14–2=12; необходимые для расчета квадратического отклонения разности между фактическими и расчетными значениями логарифмов уровней приведены в табл. 3.3.

Сумма квадратов отклонений (в логарифмах) равна 0,047. В соответствии с выражением (2.5)

Sy2 =	∑n (ln yt −ln ˆyt )2			= 0,047 = 0,004
	i =1
		n −υ
				12
и
			Sy = 0,063.
						= 7,5 , то
Так как прогноз осуществлялся для tk =17 (на 1995 г.), t
∑n (ti −t			)2 − 227,5	(см. табл. 3.2)
i=1

Sп = 0,063 I + I / 14 + (17 − 7,5)2 = 0,092 . 227,5

yпред

49

Таблица 3.3. Расчет отклонений от экспоненциального тренда

t	1	2	3	4	5	6	7
yt	227	219	209	197	193	200	199
ln yt	5,425	5,389	5,342	5,283	5,263	5,298	5,293
ln ˆyt	5,404	5,380	5,356	5,332	5,308	5,284	2,260
ln yt −ln ˆyt	0,021	0,009	–0,014	–0,049	–0,045	0,014	0,033

t	8	9		10		11		12	13	14
yt	197	191		177		175		167	193	144
ln yt	5,283	5,252	5,176			5,165		5,118	5,263	4,970
ln ˆyt	5,236	5,212	5,188			5,164		5,140	5,116	5,092
ln yt −ln ˆyt	0,047	0,040	–0,012			0,001	–0,022		0,147	–0,122
Для данного примера t-статистика Стьюдента равна 1,78. Таким образом,
∆ = 0,092 1,78.
Доверительный интервал определится следующим выражением:
					± 0,092 1,78			,
		anti ln ln y		2000

что будет соответствовать 129-180 объектам.

Часто при прогнозировании тенденций развития техники необходимо определять предельные значения изучаемых переменных, изменяющихся по экспоненте. Такие величины имеют начальные значения y0 и предел, к

которому стремятся в бесконечности, (асимптоту).

Доказано, что финишные участки экспоненциальной кривой хорошо аппроксимируются гиперболической зависимостью

y = t(a + bt).

Разделив числитель и знаменатель правой части этого выражения на t, нетрудно заметить, что

	y =			1	, при t → ∞ y =			1	→ yпред =1 b .
		a				a
				+b				+b
		t				t

50

Параметр b определяется методом наименьших квадратов после линеаризующей замены переменных согласно табл. 3.1.

3.2. Парные регрессии, сводящиеся к модифицированной экспоненте

Все ранее рассмотренные кривые описывают ситуации, когда коэффициент наклона касательной либо возрастает, либо убывает. Однако иногда встречаются данные (это касается в первую очередь техникоэкономических процессов), которые необходимо описывать кривыми, имеющими точку перегиба, то есть точку, где рост наклона касательной сменяется падением или, наоборот, падение сменяется ростом. При этом динамика явления такова:

–вначале рост довольно медленный, затем он убыстряется;

–промежуточный период роста сменяется третьим периодом;

–третий период – уменьшение роста и приближение к уровню насыщения.

Широко распространенными кривыми, обладающими точкой перегиба и наиболее точно описывающими процессы полного цикла, являются так называемые S-образные кривые, среди которых наибольшее применение получили логистическая кривая (кривая Перла) и кривая Гомпертца.

Кривая Гомпертца и логистическая кривая могут быть получены из другой кривой, известной как модифицированная экспонента, тем же способом, каким были получены из обычной линейной регрессии кривые, рассмотренные ранее.

Модифицированная экспонента задается тремя параметрами (вместо двух параметров при линейной зависимости), и ее уравнение отличается от простой экспоненты:

y	t	= aebt	или при eb = c	y = act
				t

лишь дополнительными слагаемыми. Таким образом,

51

y	t	= b + act	или	y = a +bct .
				t

Эта функция сама по себе не имеет точки перегиба и в записи

yt = a +bct имеет горизонтальную асимптоту y = a , ее график стремится к асимптоте при t →∞ либо при t → −∞, но никогда ее не пересекает.

Обычная процедура наименьших квадратов непосредственно к модифицированной экспоненте неприложима, однако существует и эффективный метод определения параметров этой кривой.

Теория, лежащая в основе описываемого ниже метода определения параметров модифицированной экспоненты, в пособии не рассматривается, однако с ней можно ознакомиться по другим источникам. Следуя этому методу, сначала определяют параметр с, а затем параметры a и b.

Приведем формулы для определения параметров модифицированной экспоненты в порядке их вычисления:

		n−1			n−1	n−1
	c =	(n −1)∑ yt yt +1			− ∑ yt ∑ yt +1
		t =1			t =1	t =1	;
				n−1	n−1	2
		(n −1)∑ yt2			− ∑ yt
				t =1	t =1
	n	n		n		n	n
	n∑ct yt − ∑ct ∑ yt				; a =	∑ yt −b∑ct
b =	t =1	t =1 t =1				t =1	t =1	.
	n		n	2		n
	n∑c2t −		∑ct
	t =1	t =1

Втабл. 3.4 и ниже приводятся вычисления, необходимые для нахождения параметров a, b и c модифицированной кривой, для примера, рассмотренного в предыдущих разделах.

Врезультате из приведенных уравнений получим

c =		13 483938 −	2554 2461	= 0,69397 ;
		13 501212	−(2544)2
b =	14	477,44951− 2,25402 2688			= 78,9289 ;
		14 0,92895 −(2,25402)2

		52
	a =	2688 −78,9288 2,2540	=179,29235 .
		14

Таким образом, уравнение модифицированной экспоненты будет иметь

вид

ˆyt =179,292 + 78,929 0,694t .

Модифицированная экспонента, как отмечалось, служит базовой кривой, на основе которой с помощью некоторых преобразований получаются используемые чаще логистическая кривая и кривая Гомпертца.

Логистическая кривая может задаваться уравнением

ˆyt =1(a +bct ).

Произведем обратное преобразование левой и правой частей этого

уравнения:	ˆyt ′	=	a	+	bc	yt′	=	1 yt	.
						t , где ˆ		ˆ

Последнее уравнение имеет вид модифицированной экспоненты, поэтому ее параметры с, b и а можно найти по приведенным ранее формулам.

Логистическая кривая имеет S-образную форму с точкой перегиба, равной

tп = (1ln c) ln(ab).

Значение ˆy в точке перегиба равно

ˆytп =12a .

Кривая Гомпертца несимметрична и определяется уравнением

ˆyt = abct .

Если логарифм параметра b отрицателен, то верхний предел для ординаты равен a, нижний равен 0; если он положителен, то асимптота проходит ниже кривой.

Возьмем от обеих частей уравнения натуральный логарифм, получим

ln ˆyt = ln a + ct ln b ,

53

что приводит к виду

ˆyt′ = a′+ b′ct , где ˆyt′ = ln yt ; a′ = ln a ; b′ = lnb.

Последнее уравнение имеет вид модифицированной экспоненты, поэтому параметры a′, b′ и c могут быть получены по известным формулам.

Следует отметить, что на практике при оценивании параметров рассматриваемых кривых часто прибегают к упрощенным методам оценивания, в частности к методу трех точек.

Допустим, логистическая кривая задана в виде

ˆyt	=		a
			+ be−ct
	1

и нет полного ряда данных. Тогда для оценки параметров можно воспользоваться методом трех точек. Причем подбор параметров производят так, чтобы кривая прошла через некоторые заданные точки: уровни ряда динамики в начале и конце ряда. Непременным условием является равенство расстояний между этими уровнями. Итак, нам необходимо провести логистическую кривую через три точки, соответствующие уровням y0 , y1 и y2 . Пусть расстояние между y0 и y1 равно n единицам времени. Тогда,

используя соотношение (3.1), получим

1

=

1

(1+b);

1

=

1

(1+be−cn );

y

0

a

y

a

1

Определим теперь разности d1 и d2 :

d1

=

1

−

1

=

b

(1−e−nc );

d2 =

y

y

0

a

1

Отсюда d1 = e−nc .

d2

Таким образом c = 1n (ln d1 −ln d2 ).

	1		=			1		(1 + be − c2n ).
	y2					a
1		−		1				=	b	e−nc (1−e−nc )..
				y
y					2				a
1

54

d 2

Далее определим значение выражения 1 .

d1 − d2

После ряда преобразований получим

d 2

b

1

1

1

=

=

−

.

a

y0

a

d1 − d2

Откуда

1

=

1

−

d12

a =

1

,

.

a

y0

d1 − d2

1

−

d12

y0

d1 − d2

Наконец, исходя из

1

=

1

(1 +b), получим b =

a − y0

.

y0

a

y0

Для иллюстрации допустим, что нам необходимо провести

логистическую кривую через точки: y0

=12,9, y1 = 62,1 и y2 =152,7 .

Интервалы y0 − y1 и y1 − y2 равны шести единицам времени, то есть n = 6.

На основе этих данных получим

1

= 0,0775;

1

= 0,0161;

1

= 0,0065

;

y

y

0

y

2

1

d1 = 0,0614;

d2 = 0,0095;

c =

1

(ln 0,0614 −ln 0,0095) 0,31;

6

1

= 0,0775

−

0,06142

−0,0095 0,0048.

a

0,0614

Откуда

a = 208,2; b =

208,2 −0,0775

= 2682.

0,0775

Таким образом,

ˆyt

=

208,2

.

1 + 2682e0,31t

55

Таблица 3.4. Исходные данные и вычисления, необходимые для

определения параметров модифицированной экспоненты

Т	t			yt			yt +1	yt yt +1	yt2	ct	ct yt	c2t	ˆyt
1973	1	227					219	49713	51529	0,69397	157,53119	0,48159	234
1975	2	219					209	45771	47961	0,48159	105,46916	0,23193	217
1977	3	209					197	41173	43681	0,33421	69,85031	0,11170	206
1979	4	197					193	38021	38809	0,23193	45,69082	0,05379	198
1981	5	193					200	38600	37249	0,16095	31,0,6424	0,02591	192
1983	6	200					199	39800	40000	0,11170	22,33953	0,01248	188
1985	7	199					197	39203	39601	0,07751	15,42545	0,00601	185
1987	8	197					191	37627	38809	0,05379	10,59721	0,00289	183
1989	9	191					177	33807	36481	0,03733	7,1016	0,00139	182
1991	10	177					175	30975	31329	0,02591	4,58543	0,00067	181
1993	11	175					167	29225	30625	0,01798	3,14619	0,00032	181
1995	12	167					193	32231	27889	0,01248	2,08355	0,00016	180
1997	13	193					144	27792	37249	0,00866	1,67104	0,00007	180
1999	14			144						0,00601	0,86523	0,00004	179
n−1
∑		2544					2461	483938	501212
t=1
n
∑										2,25402	477,44951	0,92895
			2688
t=1

Как было показано, непременным условием применения данного метода является равенство расстояний по оси времени между выбранными для подбора кривой точками. Если это условие не соблюдено, то подбор кривой также может быть осуществлен, однако для этого необходима дополнительная информация, а именно оценка значения асимптоты. Значение асимптоты можно в ряде случаев оценить или получить вне данного статистического наблюдения, например исходя из существа развития самого изучаемого явления и различного рода ограничений, сопутствующих ему.

Пусть оценка параметров логистической кривой производится на основе заданного значения асимптоты а* и ординат двух первых точек кривой. Тогда

b = a* −y0 ; y0