1.2. Закони розподілу квантових частинок за енергетичними рівнями

Тіло, що вивчається як джерело електромагнітного випромінювання (нитка розжарення, газовий розряд і т.д.), завжди можна розглядати як систему безлічі мікрочасток (квантових частинок), що характеризуються певним станом.

У класичній механіці розподіл частинок деякої системи за енергетичними рівнями визначається законом Л. Больцмана (1844-1906), тобто законом розподілу ймовірності заповнення різних енергетичних станів. Згідно закону Больцмана співвідношення між числом частинок з різними енергіями описується таким чином:

, де ,- число частинок, що знаходяться на енергетичних рівняхn і m або володіють енергією і.

Розподіл середнього числа частинок за енергетичними рівнями описується функцією Максвелла-Больцмана, яка має вигляд:, де−

n-ий енергетичний рівень квантової системи, - функція стану термодинамічної системи, хімічний потенціал.

Графічна залежність цієї функції при різних значеннях температури показана на рис.1.1.

Рис. 1.1. Функція розподілу частинок у системі за статистикою Максвелла-Больцмана

Статистика, що описує такий розподіл мікрочасток в системі, називається статистикою Максвелла-Больцмана.

Система ж частинок, що підкоряється цій статистиці, називається моделлю Максвелла-Больцмана. У цій системі будь-які два стани, які відрізняються тим, що частинки помінялися місцями, різні. Всі частинки в моделі Максвелла-Больцмана помітні, вони володіють індивідуальністю.

У квантовій механіці розглядаються системи, всі частинки яких вважаються невиразними, абсолютно ідентичними. У таких моделях безлічі частинок у фізичній ситуації нічого не змінюється, якщо, наприклад, дві частинки помінялися місцями.

Частинки, на які, окрім умови непомітності, ніякі інші обмеження не накладаються, називаються бозонами. Модель подібних частинок називають моделлю Бозе-Ейнштейна, а статистика, що описує стан системи, - відповідно статистикою Бозе-Ейнштейна. До бозонів відносяться частинки, спін яких кратний цілому числу , наприклад, фотон, атом гелію, молекули достатньо розрідженого газу.

Для бозонів справедливий наступний закон розподілу за енергетичними станами, тобто середнє число частинок системи в будь-якому n-ому квантовому стані:

Ця статистика в 1924 році була введена для світлових квантів індійським фізиком Ш Бозе (1894-1974), а потім узагальнена на всі квантові системи А. Ейнштейном (1879-1955). Застосовується вона для рідкого гелію ⁴He₂, для електромагнітного випромінювання, що знаходиться в термодинамічній рівновазі з речовиною.

Частинки, спін яких рівний напівцілому числу тобто, називаютьсяферміонами. До них відносяться електрони, протони, нейтрони. На ферміони, окрім принципу непомітності, накладається додаткове обмеження – принцип Паулі (сформулюваний в 1925 р. швейцарським фізиком В. Паулі (1900-1958)), згідно якого в одному квантовому стані може знаходитися тільки одна частинка, або два ферміони не можуть знаходитися в одному і тому ж стані, одночасно.

Модель подібної системи частинок - система ферміонів підкоряється статистиці Фермі-Дірака:

Графічна залежність функції розподілу ферміонів за енергетичними рівнями при різних значеннях температури показано на рис. 1.2.

Ця статистика була запропонована в 1925 році італійським фізиком Є. Фермі (1901-1954), а її зв'язок з квантовою механікою детально з'ясований в 1926 році англійським фізиком-теоретиком П. Діраком (1902г.).

Рис.1.2. Розподіл ферміонів по енергетичних рівнях при різних значеннях температури

Згідно статистиці Фермі-Дірака ступінь заповнення квантових станів лежить в інтервалі:

0≤f_Ф-Д(Е)≤1

Розподіл Фермі-Дірака нормований умовою, яка в неявному вигляді визначає хімічний потенціал як функцію температури Т і населеності N₀.

Якщо , то f_Ф-D(E)→f_-Б(Е).

Те ж саме відбувається і з розподілом Бозе-Ейнштейна, тобто при (Е_n-)»kТ і відповідно функція Бозе-Ейнштейна переходить у функцію Максвелла-Больцмана, тобто f_Б-Э(E_n)→f_-Б(Е_n). Цей факт розкриває глибокий взаємозв'язок фізичної природи випромінювання і речовини.

Рівень Фермі Е_Ф - це найвищий заповнений рівень енергії при Т = 0°К. Чим більше число електронів в системі, тим вище розташований рівень Фермі. Якщо електрони мають температуру вище 0°К, то частина з них заповнює рівень вище за рівень Фермі, тобто електрони знаходяться у виродженому стані, коли розподіл електронів по рівнях Фермі-Дірака відрізняється від розподілу Максвела-Больцмана.