2. Кiнематикаматеріальної точки

1.2.1. Рівномірний прямолінійний рух. Відносність руху`

• Положення матеріальної точки в просторі задається радіус-вектором :

де –орти;x, y, z–координати точки.

• Рівняння траєкторії у параметричній формі :

x = f(t), y = f(t), z = f(t).

• Миттєва швидкість матеріальної точки:

= (Δ/Δt) = d/dt.

• Вектор швидкості виражають у проекціях на координатні осі:

= υ_x + υ_y+ υ_z, або = (dx/dt) + (dy/dt) + (dz/dt) .

• Модуль вектора швидкості обчислюється:

υ = (υ_x² + υ_y² + υ_z²).

• Середня швидкість руху матеріальної точки

υ =Δr/Δt,

де Δr –переміщення матеріальної точки за час Δt.

• Середня скалярна швидкість:

υ = s/t,

де s – шлях, пройдений матеріальною точкою за часt.

1. Задачі

21. Рівномірно рухаючись, тіло перемістилось із точки з координатами (2; 3) у точку (3, 10). Виконайте рисунок, знайдіть переміщення, його проекції на координатні осі та пройдений тілом шлях. [8,1 м; 1 м; 8 м; 8,1 м].

22. Катер рухається озером за такою траєкторією: протягом 1 год зі швидкістю 5 км/год точно на схід, 20 хв зі швидкістю 3 км/год на південь та 40 хв зі швидкістю 2 км/год на захід. Знайдіть шлях та переміщення катера. [7,2 км; 3,8 км].

23. Швидкість велосипедиста 30 км/год, а швидкість вітру 5 м/с. Яку швидкість матиме вітер у системі відліку, пов’язаній з велосипедистом, коли вітер а) зустрічний; б) попутний? [13,3 м/с; 3,3 м/с].

24. Рухи двох автомобілів задано рівняннями X₁=5+4t; X₂=30–t. Побудуйте графіки залежності x=f(t), знайдіть час та координату їх зустрічі. [5 с; 25 м].

25. Рух першого велосипедиста задано рівнянням X₁=25+2t. Запишіть рівняння руху другого велосипедиста, якщо початково відстань між ними була 10 м, а зустрілись вони через 20 с. [Х₂=15+1,5t або Х₂=35+0,5t].

26. Два автомобілі стартують з різницею в часі 10 с. Перший рухається із середньою швидкістю 80 км/год, другий – 90 км/год. Через який час та якій відстані від місця старту другий автомобіль наздожене першого? [90 с; 2 км].

27. Прямолінійним відрізком шосе в одному напрямку стартували два велосипедисти з інтервалом часу 30 с. На якій відстані від місця старту другий велосипедист наздожене першого, якщо швидкість першого 36 км/год, а другого – 12 м/с? [1,8 км].

28. Відстань між містами у 30 км автобус проходить за 1,5 год, витрачаючи на зупинки 20 хв. Яка середня швидкість автобуса на всьому шляху та яка його середня швидкість руху між зупинками? [40 км/год; 51,3 км/год].

29. Першу половину шляху тіло рухалось зі швидкістю 35 м/с, другу – 108 км/год. Визначити середню швидкість руху. [32,3 м/с].

30. Тіло пройшло першу частину шляху за 6 с, другу – за 8 с. Визначити середню швидкість руху, якщо весь пройдений шлях складає 60 м. [4,3 м/с].

31. Відстань між містами А та В автобус проїхав зі швидкістю 60 км/год, а назад повернувся зі швидкістю 20 км/год. Яка середня швидкість руху автомобіля? [30 км/год].

32. Два потяги рухаються назустріч один одному зі швидкостями 50 та 60 км/год. Пасажир другого потягу помічає, що перший, проходить повз нього за 16 с. Яка довжина першого потягу? [489 м].

33. Два велосипедисти рухаються рівномірно назустріч один одному, а віддаль між ними зменшується на 100 м за кожні 10 с. Якщо ці ж велосипедисти з такими ж за величиною швидкостями почнуть рухатись в одному напрямку, то відстань між ними збільшуватиметься на 10 м за кожні 3 с. Які власні швидкості велосипедистів? [6,6 м/с; 3,3 м/с].

34. Ескалатор метрополiтену пiднiмає пасажира, що стоїть на ньому нерухомо за 40 с. Нерухомим ескалатором пасажир, рухаючись рiвномiрно, пiднiмається за 3 хв. За який час пасажир пiднiметься рухомим ескалатором? [; 33 с].

35. Рибалка, пливучи човном проти течії, випустив вудочку. Через 10 хв він, помітивши втрату, повернув назад і наздогнав вудочку на 500 м нижче від місця втрати. Яка швидкість течії річки, якщо швидкість човна відносно води стала. [0,8 м/с].

36. Людина знаходиться на відстані 50 м від прямої ділянки дороги, якою рухається автобус зі швидкістю 10 км/год. У якому напрямку повинна людина бігти зі швидкістю 3 км/год, щоб зустрітися з автобусом, який знаходиться на відстані 200 м від людини? [56,3^о≤α≤123,4^о].

37. Паром перетинає річку шириною 1 км зі швидкістю 5 км/год. Яким повинен бути напрямок руху парома, щоб він рухався найкоротшою відстанню між берегами, якщо швидкість течії річки в середньому 1 м/с? Яка власна швидкість парома? На яку відстань буде знесено паром, якщо вектор його власної швидкості буде перпендикулярним відносно вектора швидкості річки? [під кутом 54^о відносно берега; 1,7 м/с; 588 м].

38. Швидкість руху човна відносно води у 3 рази більша від швидкості течії річки відносно берега. Порівняйте час руху човна за течією та проти течії річки. [].

39. Моторний човен рухається перпендикулярно до берега річки шириною 1 км зі швидкістю 20 км/год, а течія зносить його на 200 м вздовж берега. Знайдіть швидкість течії річки. За який час човен досягне берега? [0,7 м/с; 4,5 хв].

40. При швидкості вітру 10 м/с крапля дощу падає під кутом 30° до вертикалі. При якій швидкості вітру крапля буде падати під кутом 45°? [14,2 м/с].