1.2.6. Кiнематика гармонiчних коливань

• Рівняння гармонічного коливального руху

x = A sin (ωt + φ),

де x– зміщення точки,A – амплітуда коливання;ω–циклічна або колова частота,φ – початкова фаза,t– час.

• Швидкість та прискоренняточки в гармонічному коливальному русі:

;.

• Зв’язок періоду коливань Т, циклічної або колової частоти та частоти коливань :

.

• Амплітударезультуючого коливання, одержаного внаслідок складання двох гармонічних коливань однакової частоти, які відбуваються в одному напрямку:

А = .

• Початкова фаза результуючого коливання

.

• Рівняння траєкторії точки внаслідок додавання двох взаємно перпендикулярних коливань

.

• Частота биття,яке виникає при складанні двох коливань одного напрямку з близькими частотами:

ν = ν₁ – ν₂.

Задачi

101. Визначити перiод, частоту та початкову фазу коливань, якi задано рiвнянням x = A∙sin ω(t+t_o), якщо ω =1,5π с^-1, t_o=0,6 c. [1,3 с; 0,75 с^–1; 0,9π].

102. Матерiальна точка виконує коливання за законом x = A∙sin(ωt+φ_o), де А=12 см. Визначити початкову фазу φ_o, якщо х(0)= –2√2 см, dx(o)/dt<0. Побудувати векторну дiаграму для t=0. [166^о].

103. Матерiальна точка виконує коливання за законом x= =A∙cos(ωt+ +φ_o), де А= 2 см. Визначити початкову фазу, якщо х(0)=–2√3 см, dx(o)/dt>0. Побудувати векторну дiаграму для t=0. [].

104. Точка виконує коливання за законом x=A∙sin(ωt+ φ_o), де А=4 см, ω = π с^-1, φ_o = π/4 рад. Побудувати графiки залежностi x=f(t), dx/dt=f(t), d²x/dt²=f(t).

105. Точка виконує коливання за законом x=A∙сos(ωt+ φ_o), де А=2 см, ω =3/2 π с^-1, φ_o= π/5 рад. Побудувати графiки залежностi x=f(t), dx/dt=f(t), d²x/dt²=f(t).

106. Точка виконує коливання з амплiтудою 5 см та перiодом 4 с. Записати рiвняння цих коливань, якщо в момент часу t=0 – x(0)= 0, a dx(0)/dt< 0. Визначити фазу (ωt+φ_o) для моменту часу, коли х=2 см, а dx/dt >0. [; 24^о].

107. Точка виконує коливання з амплiтудою 2 см та перiодом 2 с. Записати рiвняння цих коливань, якщо в момент часу t=0 ─ x(0)= 0, a dx(0)/dt> 0. Визначити фазу (ωt+ φ_o) для моменту часу, коли х< 0, а dx/dt = – 2 см/с. [ 162^о].

108. Знайти амплiтуду та початкову фазу результуючого коливання, яке виникає при складаннi двох коливань однакових напрямкiв та перiодiв: x₁=A₁∙sin ωt, x₂ = A₂∙sin ω(t+t_o), де А₁= 2 см, А₂= 3 см, ω = π/2 с^-1, t_o= 1 c. Записати рiвняння результуючого коливання. [0,04; 0,26π; )].

109. Записати рiвняння результуючого коливання, яке виникає при складаннi двох коливань однакових напрямкiв та перiодiв: x₁ =A₁cos ωt, x₂ = A₂ cos ω (t+t_o), де А₁=A₂= 2 см, ω = π с^-1, t_o= 2 c. [].

110. Знайти амплiтуду та початкову фазу результуючого коливання, яке виникає при складаннi двох коливань однакових напрямкiв та перiодiв: x₁=A₁∙cos ωt, x₂ = A₂∙cos ω(t+t_o), де А₁=1 см А₂=5 см, ω = π с^-1, t_o= 10 c. Записати рiвняння результуючого коливання. [].

111. Частоти двох камертонiв 500 та 501 гц. Визначити перiод биття, яке виникає при одночасовому звучаннi камертонiв. [1 с].

112. Точка виконує одночасово два гармонiчні коливання з однаковими частотами у взаємно перпендикулярних напрямках. Рiвняння цих складових x= A₁∙sin ωt та y= A₂∙sin ω(t+t_o). Записати рiвняння результуючого коливання, якщо A₁= А₂= 1 см, ω = π с^-1, t_o=2 c. [].

113. Точка виконує одночасово два гармонiчні коливання з однаковими частотами у взаємно перпендикулярних напрямках. Рiвняння цих складових x= A₁∙соs ωt та y= A₂∙sin ω(t+t_o). Записати рiвняння результуючого коливання, якщо A₁=1 cм, А₂= 2 см, ω = =π/2 с^-1, t_o= =4 c. [].

114. Матерiальна точка бере участь одночасово у двох гармонiчних коливаннях, якi вiдбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках та записуються рiвняннями x₁= A₁∙sin ωt ; x₂= A₂∙sin2 ωt, де А₁= А₂= 5 см. Побудувати таку траєкторiю руху.

115. Знайти рівняння траєкторії точки, яка одночасово бере участь у двох взаємно перпендикулярних напрямках за законами x=0,2∙cos πt, y=0,05∙cost. Зобразьте траєкторію графічно. [].