127838-229237

Величина Nl = n =1d фактически представляет собой число витков, приходящихся на единицу длины тороида (соленоида).

Рис. 1.50

Между напряженностью и индукцией магнитного поля в ферромагнетике имеется зависимость [11.5]:

B = mm0 H ,

(3)

где магнитная проницаемость μ может быть определена по графику зависимости B = f (H ), приведенному в приложении 12.

Для определения величины магнитного поля в сердечнике воспользуемся теоремой о циркуляции вектора напряженности магнитного поля [11.6]:

ò H × dl = å Ii .		(4)
l	i

В качестве контура интегрирования целесообразно взять среднюю линию тороида, длина которой l = πD . В силу соображений симметрии во всех точках этого контура величина поля должна быть постоянна ( H = const ), поэтому выражение (4) запишется в виде Hl = NI , откуда:

H =	NI		=	I	.	(5)
	l
				d
Вычисления по (5) позволяют найти значение напряженности
магнитного поля в стальном сердечнике:
H =		0,50				=1250 А/м.
	0,40 ×10−3
						101

Величину магнитной индукции в сердечнике определяем по

кривой		намагничивания стали								(смотри приложение	12):
B = 1,22 Тл. Выражение (1) с учетом (2) и (3) будет иметь оконча-
тельный вид:
L = pDS					B	.					(6)
		d 2			H
После подстановки числовых значений получим:
L =	3,14 × 0,40 × 3,0 ×10−4 ×1,22								= 2,3Гн.
		(0,40 ×10−3 )2 ×1250
Энергия магнитного поля соленоида индуктивностью											L , по
обмотке которого течет ток силой										I , выражается соотношением
[10.14]:
W =		LI	2	.							(7)
	2
Рассчитанная индуктивность позволяет получить значение
энергии магнитного поля тороида:
W =	2,3 × 0,50						2	= 0,288 Дж.
			2

Ответ: L = 2,3Гн, W = 288 мДж.

Пример 22. Обмотка тороида с сердечником, в котором имеется узкий вакуумный зазор, содержит 1200 витков (рис. 1.51). Сила тока в обмотке составляет 1,0 А. Диаметр тороида по средней линии равен 32 см. Определить длину вакуумного зазора, при которой индукция магнитного поля в нем будет равна 0,60 Тл?

Дано:

N =1200 ,

I =1,0 А,

d = 32 см = 0,32 м, B = 0,60 Тл.

Найти: l0 .

102

Решение. Для решения задачи необходимо использовать тео-

рему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля H

[11.6]:

ò H × dl = å Ii .		(1)
L	i

Рис. 1.51

Выберем замкнутый контур L вдоль средней линии тороида. Тогда левая часть (1) будет определяться выражением:

ò H × dl = (pd - l0 )H + l0 H 0 ,	(2)
L
где H и H 0 – модули вектора напряженности магнитного поля в
сердечнике и зазоре соответственно.
Таким образом, теорема (1) примет вид:
(pd - l0 )H + l0 H 0 = NI .	(3)

Пренебрегая рассеянием магнитного потока в области зазора, учтем, что B = B0 , где B и B0 – модули векторов индукции магнитного поля в сердечнике и зазоре соответственно.

Для вакуумного зазора величины индукции и напряженности магнитного поля связаны соотношением [11.5]:

H 0	=	B0	.	(4)
		m0
				103

Для стального сердечника величину H определим по кривой намагничения для стали (смотри приложение 12): при B = B0 = 0,60 Тл значение H = 150 А/м. Подставив (4) в (3), выра-

жая l0 , получим:

l0 = m0 (NI - pdH ) . B0 - m0 H

Подставляя числовые значения, имеем:

	l0	=	4 × 3,14 ×10−7	(1200 ×1,0 - 3,14 × 0,32 ×150)		= 2,2	×10−3	м.
			0,60	- 4 × 3,14 ×10−7	×150

Ответ: l0 = 2,2 мм.

Пример 23. Конденсатор емкостью 5,0 мкФ, обладающий зарядом 0,50 мКл, в начальный момент времени замкнули на резистор. Найти зависимость силы тока в цепи, а также количества теплоты, выделившегося на активном сопротивлении, от времени. Через какой промежуток времени заряд на конденсаторе уменьшиться в пять раз? Сопротивление резистора принять равным

1,0 кОм.

Дано:

C = 5,0 мкФ = 5,0 ×10−6 Ф,

q0 = 0,50 мКл = 0,50 ×10−3 Кл, R = 1,0 кОм = 1000 Ом.

n = 5,0 .

Найти: I = f (t), Q = f (t), t .

Решение. Согласно закону Ома для участка цепи [5.15], в которую входят резистор и конденсатор:

iR = j1 - j2 ,

(1)

где j1 - j2 – разность потенциалов между обкладками конденсатора, i – сила тока.

104

Так				как напряжение на конденсаторе [4.10]				равно
u = j1 - j2					= q C , то выражение (1) запишется в виде:
iR =		q			.				(2)
		C						di
Продифференцируем по времени выражение (2), учитывая									< 0 :
di R = - dq						1		dt
							.		(3)
dt					dt C
Сила тока по определению [5.1]:
i =	dq			,					(4)
	dt

поэтому в (3) с учетом (4), разделяя переменные, получим дифференциальное уравнение вида:

	di	= -	1	dt .	(5)
	i		RC

Проинтегрируем уравнение (5) по времени от нуля до t , учитывая,

что при этом сила тока изменяется от I0

до I :

I di

1 t

I

t

t

ò

= -

ò dt , следовательно, ln i

I0 = -

, откуда

I0

i

RC 0

RC

0

ln

I

= -

t

.

(6)

I0

RC

После потенцирования выражение (6) можно записать в виде:

I = I0 e-t (RC ) .

(7)

Из равенства (2) при q = q0 имеем i = I0

= q0

(RC). С учетом

этого уравнение (7) примет вид:

I =

q0

e

-t (RC )

.

RC

Выполнив вычисления, получим:

I =

0,50 ×10-3

e-t (1000×5,0×10−6 ) = 0,10e-t 0,005 .

1000 × 5,0 ×10-6

Количество теплоты, выделяемое в сопротивлении при протекании по нему изменяющегося электрического тока, определяется из закона Джоуля-Ленца [7.1] в дифференциальном виде:

105

dQ = I 2 Rdt .

(8)

Количество теплоты, выделившееся за конечное время t , определяется выражением, полученным путем интегрирования выражения (8):

t

2 Rdt .

Q = ò I

(9)

0

После подстановки (7) в (9) получим:

t

2

-2t (RC )

2

t

-2t (RC )

2

æ

RC ö

-2t (RC )

t

Q = ò I

0 e

Rdt = RI

0

ò e

dt = RI0

ç

-

÷e

=

0

(1 - e-2t (RC ) ).

0

è

2 ø

0

=

q02

2C

С учетом данных задачи получим:

Q =

(0,50×10-3 )2

(1- e-2t

(1000×5,0×10−6 ))= 0,025(1- e-400t

) Дж.

2×5,0×10-6

За время dt через сопротивление R пройдет заряд (восполь-

зуемся определением силы тока (4) и выражением (7)):

dq = I0 e-t (RC )dt .

t ,

(10)

Заряд, который прошел за промежуток времени

можно опре-

делить путем интегрирования уравнения (10):

Dt

-t (RC )dt = I0 (- RC)e-t (RC )

Dt = I0 RC(1

- e-Dt (RC ) )=

q = I0

ò e

o

0

= q0 (1 - e-Dt (RC ) ).

(11)

По условию задачи заряд на конденсаторе через некоторый

промежуток времени уменьшается в пять раз,

то есть q = q0 n ,

тогда выражение (11) можно записать в виде:

1 n =1- e-Dt (RC ) ,

(12)

преобразовывая и потенцируя (12), получим искомое выражение для нахождения промежутка времени:

æ	n	ö
Dt = RC lnç		÷ .
è n -1		ø

После подстановки числовых значений получим:

106

	Dt =1000 × 5,0 ×10−6	æ		5	ö	=1,12 ×10−3 с.
		× lnç			÷
			5	-1
		è			ø

Ответ: I = 0,10e−t0,005 А, Q = 0,025(1- e−400t ) Дж, t = 1,12 мс.

Пример 24. В замкнутом контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Определить частоту колебаний, если максимальный заряд конденсатора 1,0 мкКл, а максимальный ток в контуре – 10 А. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.

Дано:

q0 =1,0 мкКл =1,0 ×10−6 Кл,

I0 =10 А.

Найти: ν .

Решение. В колебательном контуре совершаются незатухающие свободные колебания, так как активным сопротивлением контура пренебрегаем. В этом случае выполняется закон сохранения энергии: в любой момент времени энергия контура, определяемая суммой энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки, остается постоянной. В момент, когда конденсатор максимально заряжен, сила тока в катушке равна нулю, и, наоборот, когда сила тока в катушке максимальна, – конденсатор полностью разряжен. Закон сохранения (превращения) энергии будет иметь вид [4.18], [10.14]:

	q2			LI 2
	0	=		0			= const .		(1)
				2
	2C
Период незатухающих электромагнитных колебаний в конту-
ре определяется формулой Томсона [13.6]:
T = 2p					LC			.	(2)
Из соотношения (1) выразим LC :
				q2
	LC =			0		.			(3)
				I02
				107

Учитывая связь периода с частотой T =1n [13.27], а также соотношение (3), выражение (2) можно записать в виде:

n =	I0	.	(4)
	2pq0

Подставляя числовые значения в (4), получим искомое значение частоты:

n =		10	»1,6 ×106 Гц.
		× 3,14 ×1,0 ×10−6
2

Задачу можно также решить, учитывая, что в случае незатухающих электромагнитных колебаний контура выражение, определяющее изменение заряда на конденсаторе с течением времени, имеет вид [13.2]:

q = q0 cos(w0t + j),

(5)

где q0 – начальный максимальный заряд конденсатора, w0 – собственная циклическая частота колебаний контура, ϕ – начальная

фаза колебаний.

По определению сила тока является первой производной заряда по времени:

i =	dq	= -w0 q0 sin(w0t + j),
	dt
или с учетом тригонометрических соотношений:
i = w0 q0 cos(w0t + j + p 2).			(6)
Величина, стоящая перед косинусом – амплитудное значение
силы тока, то есть:
w0 q0 = I0 .			(7)
Воспользовавшись соотношением между частотами [13.27]
w0 = 2pn ,
выражение (7) преобразуется к виду:

n = 2pI0q0 ,

то есть совпадает с выражением, полученным первым способом.

Ответ: ν = 1,6 МГц.

108

Пример 25. Какую энергию необходимо подвести к колебательному контуру с малым затуханием с логарифмическим декрементом затухания 0,020, чтобы поддерживать в нем незатухающие колебания в течение 30 мин, если контур состоит из конденсатора емкостью 40 нФ и катушки с индуктивностью 5,0 мГн, а максимальное значение силы тока в катушке достигает 6,0 мА?

Дано:

λ = 0,020 ,

t = 30 мин = 180 с,

C = 40 нФ = 4,0 ×10−8 Ф, L = 5,0 мГн = 5,0 ×10−3 Гн, I0 = 6,0 мА = 6,0 ×10−3 А.

Найти: W .

Решение. Вследствие наличия активного сопротивления катушки колебания в контуре будут затухающими, то есть амплитуда силы тока в катушке со временем будет уменьшаться по экспоненциальному закону:

I = I0 e−βt ,

(1)

где β – коэффициент затухания.

Так как энергия контура пропорциональна квадрату амплитуды силы тока в катушке индуктивности [10.14], то, используя соотношение (1), получим выражение для изменения со временем энергии контура:

W = W0 e−2βt ,

(2)

где W0 – максимальное значение энергии катушки (контура).

Относительное уменьшение энергии за период с учетом выражения (2) равно:

DW ¢ = W0 -W0 e−2βT =1 - e−2βT .

W0 W0

Так как колебания слабозатухающие, то коэффициент затухания мал, поэтому, воспользовавшись приближенной формулой

109

eα »1 + a при α <<1,0 , а также [13.11], получим окончательное выражение для относительного изменения энергии контура:

DW ′ » 2bT = 2l .	(3)
W0

Для нахождения периода слабозатухающих колебаний можно воспользоваться формулой Томсона для периода незатухающих колебаний в электромагнитном контуре [13.6]:

T » 2p			LC		.	(4)
Полная энергия, поддерживаемая в контуре [10.14]:
	LI 2
W0 =		0		,		(5)
		2

Изменение энергии контура за период вследствие потерь (то есть та энергия, которую нужно подвести извне для поддержания незатухающих колебаний) равно

¢

DW

DW

=

Dt T ,

(6)

где W – изменение энергии контура за время t .

С учетом соотношений (4) – (6) выражение (3) запишется в

виде:

DW

2p

2

= 2l .

(7)

LC

Dt

LI02

После преобразований выражение (7) будет иметь вид:

lI02 Dt

DW =

L

.

2p

C

Подставляя числовые значения, получим:

0,020 × (6,0 ×10−3 )×180

DW =

5,0 ×10−3

= 7,3 ×10

−3

Дж.

2 × 3,14

40 ×10−9

Ответ:

W = 7,3 мДж.

Пример 26. Определить полное, активное и реактивное сопротивления катушки, ее индуктивность, а также полную и реактивную мощности при прохождении через нее переменного тока, мгновенное значение силы которого определяется уравнением

110