127838-229237

Рис. 1.30

Поэтому, выбирая (произвольно) направление нормали n , мы определяем не только знак потока Φ , но и знак ЭДС индукции Ei . При выбранных положительных направлениях – в соответствии с

правилом правого винта – величины Ei и ddtΦ имеют противопо-

ложные знаки.

Направление индукционного тока определяется правилом Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направ- ление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изме- нению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток.

Направление вектора магнитной индукции Bi индукционного тока и направление самого тока Ii также связываются правилом

правого винта.

Если вращать замкнутую рамку в однородном магнитном поле, то в ней также возникает индукционный ток. Этот принцип лежит в основе принципа действия генераторов – устройств, применяемых для преобразования механической энергии в электрическую (например, генераторы используются на электростанциях всех типов).

Если рамка вращается в однородном магнитном поле с ин-

дукцией B с постоянной угловой скоростью ω , то магнитный поток, сцепленный с рамкой в любой момент времени, равен

Φ = BS cos ωt ,			(10.2)
где ωt – угол поворота рамки в момент времени t			(рис. 1.31).
При вращении рамки возникает ЭДС индукции:
Ei = −	dΦ	= BSωsin ωt .	(10.3)
	dt

Так как BSω = Emax , то ЭДС индукции при равномерном вращении рамки будет изменяться по гармоническому закону:

41

Ei = Emax sin ωt .

(10.4)

Если проводнику длиной l , помещенному в однородное

магнитное поле с индукцией B , сообщить скорость поступательного движения υ (рис. 1.32), то электроны внутри проводящего стержня относительно поля будут двигаться с той же скоростью. В этом случае в проводнике возникает ЭДС индукции

– под действием сторонней силы неэлектростатического происхождения (магнитной составляющей силы Лоренца) происходит перераспределение зарядов.

Рис. 1.31

Рис. 1.32

Возникающая ЭДС индукции (разность потенциалов на концах проводника) может быть найдена из выражения:

2	r	r	r
Ei = ϕ1 − ϕ2 = ò	[υ × B]dl ,			(10.5)
1

где dl – элементарная длина проводника, а интегрирование производится по всей длине проводника.

Из закона Био-Савара-Лапласа следует, что магнитная индукция B пропорциональна силе тока I . Тогда магнитный поток Φ , сцепленный с замкнутым проводящим контуром с током силой I, определяется выражением:

Φ = LI ,	(10.6)
где L – коэффициент пропорциональности,	который называется
индуктивностью контура.

Индуктивность контура определяется его геометрическими параметрами и магнитной проницаемостью той среды, в которой он находится.

Если контур, в котором индуцируется ЭДС, состоит не из одного витка, а из N одинаковых витков (например, представляет собой соленоид), то ЭДС соленоида будет равна сумме ЭДС, ин-

42

дуцируемых в каждом из витков в отдельности. ЭДС индукции, возникающая в сложном контуре, будет равна

	Ei = −å	dΦ	= −	dΨ	,	(10.7)
		dt		dt

где величина Ψ = NΦ – потокосцепление или полный магнитный поток.

Индуктивность соленоида определяется выражением:

	L = μ0	μ	N 2 S	,	(10.8)
			l
	где N – число витков соленоида, l			– его длина, S	– площадь по-

перечного сечения соленоида.

Самоиндукция – явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока, а также индуктивности контура.

Закон самоиндукции: ЭДС самоиндукции в проводящем кон-

туре прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур и обусловленного наличием тока в контуре:

Eis = − ddtΦ s , или с учетом (10.6) Eis = −L dIdt − I dLdt .

Если при изменении тока I в контуре индуктивность L контура остается постоянной, то выражение, определяющее закон самоиндукции, будет иметь вид:

	Eis = −L	dI	( L = const ).	(10.9)
		dt

Если два контура с токами 1 и 2 (рис. 1.33) расположить близко друг к другу, то наблюдается взаимоиндукция – явление возникновения ЭДС индукции в одном из контуров, при изменении силы тока в другом:

Ei2	= −L21		dI1		,	(10.10)
			dt
Ei1	= −L12	dI2			,	(10.11)
			dt

где Ei2 , Ei1 – ЭДС, возникающие во втором (при изменении силы

тока в первом) и в первом (при изменении силы тока во втором) контурах соответственно.

43

Коэффициенты пропорциональности L12 и L21 называются

взаимной индуктивностью контуров и в отсутствие ферромагне-

тиков (смотри главу 11) равны между собой:

L12 = L21 . (10.12)

Рис. 1.33

Устройство, применяемое для понижения или повышения напряжения переменного тока, называется трансформатором, представляющим собой замкнутый магнитопровод (ферромагнитный сердечник), на который намотаны две катушки. Принцип действия трансформатора основан на явлении взаимной индукции.

Коэффициент трансформации – отношение числа витков во вторичной обмотке N2 к числу витков в первичной обмотке N1 ,

показывающее во сколько раз ЭДС во вторичной обмотке E2 больше (или меньше), чем в первичной E1 :

	E2	=	N2	= k .	(10.13)
	E1		N1
При k > 1 трансформатор повышающий, при					k <1 – понижа-

ющий.

Энергия магнитного поля, созданного контуром индуктивностью L , в котором протекает ток силой I , равна

W =			LI 2			.			(10.14)
			2
Объемная плотность энергии магнитного поля определяется
из выражения:
wм =	dW			=		B2		,	(10.15)
	dV				2μ0		μ

где μ – магнитная проницаемость среды.

44

слабомагнитные

(ферромагнетики).

11. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

Магнетик – любое вещество, способное приобретать магнитный момент (намагничиваться) под действием внешнего магнитного поля. Все вещества могут быть разделены на две группы:

(диа- и парамагнетики) и сильномагнитные

Диамагнетики (например, Ag , Au , Cu , большинство

органических соединений) – вещества, молекулы которых не обладают магнитным моментом. Во внешнем магнитном поле в диамагнетиках индуцируются элементарные круговые токи (магнитные моменты), которые создают собственное или внутреннее магнитное поле. Собственное индуцированное магнитное поле при этом ослабляет внешнее ( μ <1,0 ).

Парамагнетики (например, Pt , Al , редкоземельные элементы) – вещества, молекулы которых обладают магнитным моментом. В связи с тепловым движением молекул суммарный магнитный момент равен нулю. Во внешнем магнитном поле внутри парамагнетика устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов по полю. Собственное магнитное поле усиливает внешнее ( μ >1,0 ).

Ферромагнетики (например, Fe , Co , Ni и их сплавы) – вещества, обладающие спонтанной намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля. Постоянные магниты – пример типичных ферромагнетиков ( μ >>1,0 ).

Вектор намагничивания (намагниченность) J магнетика –

это векторная физическая величина, определяемая магнитным моментом единицы объема магнетика:

r	=	å Pm	,	(11.1)
J		V

где å Pm – сумма магнитных моментов всех молекул, заключенных в объеме V .

Напряженность магнитного поля H – векторная физическая величина, характеризующая магнитное поле в веществе, и может быть представлена соотношением векторных величин:

45

	r	B	r
	H =		− J	,	(11.2)
		μ0
	где B – вектор индукции внешнего магнитного поля, J – вектор
	намагничивания.
	Для диа- и парамагнетиков связь между векторами				J и H
	имеет линейный характер:
	J = χH ,				(11.3)

где χ – магнитная восприимчивость вещества.

Магнитная восприимчивость ферромагнетиков сама является функцией напряженности магнитного поля H , поэтому намагни-

ченность J является неоднозначной функцией напряженности магнитного поля. При медленном циклическом изменении магнитного поля наблюдается явление гистерезиса: связь между

векторами H и J определяется предшествующей историей намагничивания ферромагнетика. Петля гистерезиса отображена на рисунке 1.34.

Рис. 1.34

Магнитная восприимчивость вещества χ – безразмерная

физическая величина, характеризующая способность веществ к намагничиванию. Для диамагнетиков величина χ < 0 , для пара-

магнетиков – χ > 0 . Для ферромагнетиков χ > 0 и достигает очень больших значений.

46

Учитывая соотношение (11.3), выражение (11.2) для H при-

	нимает вид:
	r	B
	(1 + c)H =		.	(11.4)
		m0
	Отсюда следует связь между векторами H и B :
	B = mm0 H ,			(11.5)

где m = (1 + c) – магнитная проницаемость среды, которая для

диамагнетиков меньше единицы, для парамагнетиков больше единицы, а для ферромагнетиков имеет аномально высокое значение

(для некоторых сплавов максимальное значение достигает »106 ). Величина магнитной проницаемости ферромагнетиков определяется по экспериментальным кривым B = f (H ) (смотри приложе-

ние 12).

Теорема о циркуляции вектора H : циркуляция вектора на-

пряженности магнитного поля H по любому замкнутому конту- ру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охвачен- ных этим контуром:

r	r	n
ò H × dl		= å Ik .	(11.6)

Lk =1

12.ПРОСТЕЙШИЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ВЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Процессы при переходе от одного установившегося в электрической цепи режима к другому – переходные процессы (например, зарядка и разрядка конденсатора, размыкание и замыкание цепи с индуктивностью).

Разрядка конденсатора емкостью C , заряженного до напряжения U 0 , обкладки которого замкнуты через активное сопро-

тивление R , происходит с убыванием напряжения U на конденсаторе по экспоненциальному закону:

−	t
U =U0 e τ ,			(12.1)
47

где τ = RC – постоянная времени (время релаксации) – время,

за которое напряжение (заряд) на конденсаторе уменьшается в e раз.

Зарядка конденсатора емкостью C , подключенного через активное сопротивление к источнику напряжения U 0 происходит

при нарастании напряжения U на конденсаторе, которое задается функцией:

æ				−	t	ö
ç					τ ÷		(12.2)
U =U 0 ç1 - e					÷ .
è					ø
Размыкание цепи с индуктивностью. Сила тока I							при раз-
мыкании убывает по экспоненциальному закону:
	−	t
I = I0e		τ ,					(12.3)

где I0 – ток в начальный момент времени ( t = 0 ), t = LR – по-

стоянная времени (время релаксации) – время, в течение кото-

рого сила тока в цепи уменьшается в e раз.

Замыкание цепи с индуктивностью. При замыкании цепи,

содержащей L и R , нарастание силы тока задается функцией:

æ		−	t	ö
ç	- e		τ ÷		,	(12.4)
I = I0 ç1		÷
è		ø

где I0 – установившийся ток в цепи (при t → ∞ ).

13. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Колебательный контур – это электрическая цепь, состоящая из емкости C и катушки индуктивности L , в которой обкладки конденсатора замкнуты катушкой индуктивности (рис. 1.35).

Если конденсатор перед соединением с катушкой индуктивности в колебательный контур зарядить до напряжения U 0 , то в

колебательном контуре возникают свободные колебания электрического заряда q , а также напряжения U на обкладках конден-

сатора.

48

Рис. 1.35

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний имеет вид:

&&	2	(13.1)
q	+ ω0 q = 0 ,

где ω0 – собственная циклическая частота контура, q&& – вторая

производная электрического заряда по времени.

Решением дифференциального уравнения (13.1) является

функция:
q = q0 cos(ω0t + ϕ0 ),	(13.2)

где q0 – максимальное (амплитудное) значение заряда на обкладках конденсатора, ω0t + ϕ0 – фаза колебаний (характеризует значение колеблющейся величины в любой момент времени), ϕ0 – начальная фаза.

Значение собственной частоты колебаний ω0 определяется

свойствами самого контура, а значения q0 и ϕ0	– начальными
условиями.
Напряжение между обкладками конденсатора изменяется по
закону:
U = U 0 cos(ω0t + ϕ0 ),	(13.3)
где U 0 = q0 C .

С учетом определения силы тока, функция зависимости силы тока в катушке будет иметь вид:

I = dqdt = −ω0 q0 sin(ω0t + ϕ0 ), или

I = I 0 cos(ω0t + ϕ0 + π 2).	(13.4)
49

Таким образом, при свободных незатухающих колебаниях ток в катушке опережает по фазе напряжение на конденсаторе на p2 .

Значение собственной циклической частоты колебаний в контуре определяется выражением:

w0 =		1		.	(13.5)
С учетом выражения T0		LC
	= 2p w0				период свободных коле-

баний в идеальном колебательном контуре (при отсутствии активного сопротивления) будет определяться формулой Томсона:

T0 = 2p

LC

.

(13.6)

Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание проводов. При таких условиях свободные электромагнитные колебания будут затухающими.

Дифференциальное уравнение затухающих свободных

колебаний имеет вид:

2

&&

&

(13.7)

q + 2bq

+ w0 q = 0 ,

где β – коэффициент затухания.

При b2

< w02

решением уравнения является функция:

q = q0 e−βt

cos(wt + j),

(13.8)

1

æ

R ö2

2

2

где w =

w0

- b

=

- ç

÷ .

LC

è

2L ø

График непериодической функции (13.8) на рисунке 1.36 оп-

ределяет затухающие колебания. Множитель q0 e−βt

называют ам-

плитудой затухающих колебаний; ее зависимость от времени отображена штриховой линией на рисунке 1.36.

	Величину		2p
	T =					(13.9)
			w2	- b2
			0

принято называть периодом затухающих колебаний. При незна-

чительном затухании ( b2 << w02 ) период затухающих колебаний практически равен периоду свободных незатухающих колебаний.

50