127838-229237
.pdfПример 11. Нагревательный элемент электрического чайника имеет две обмотки. Если в сеть включена одна из них, вода в чайнике закипает через 12 мин. Если в ту же сеть включена другая – через 25 мин. Сколько времени необходимо для закипания воды в чайнике, если включить в сеть две обмотки: параллельно; последовательно? КПД чайника постоянен.
Дано:
τ1 = 12 мин, τ2 = 25 мин.
Найти: τпосл , τпар .
Решение. Учитывая, что во всех случаях чайник включается в одну и ту же сеть с напряжением U , то для решения воспользуемся законом Джоуля-Ленца [7.1] в форме:
Q = |
U 2 |
τ . |
(1) |
|
R |
||||
|
|
|
Так как количество воды в чайнике, а также его КПД постоянны, то для закипания воды во всех случаях требуется одинаковое количество теплоты Q′ , которое связано с количеством тепло-
ты Q , выделяемым при прохождении электрического тока в об-
мотках, соотношением: |
|
|||
Q′ = ηQ , |
|
(2) |
||
где η – КПД чайника. |
|
|||
Тогда при включении первой обмотки с сопротивлением |
R1 |
|||
выражение (1) с учетом (2) примет вид: |
|
|||
Q′ = η |
U 2 |
τ1 . |
(3) |
|
R1 |
||||
|
|
|
При включении второй обмотки получим аналогичное выражение:
Q′ = η |
U 2 |
τ2 . |
(4) |
|
R2 |
||||
|
|
|
При последовательном соединении обмоток общее сопротивление проводников [5.13]:
81
Rпосл = R1 + R2 . |
(5) |
Следовательно, выделяющееся при этом количество теплоты равно:
Q¢ = h |
U 2 |
|
||
|
|
tпосл . |
(6) |
|
R1 |
|
|||
|
+ R2 |
|
При параллельном соединении обмоток их общее сопротивление определяется из выражения [5.14]:
Rпар = |
|
R1 R2 |
. |
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
R1 + R2 |
|
|
|
|
|
|
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|||
Q¢ = h |
U 2 (R + R |
2 |
) |
|
|
|||
1 |
|
|
|
tпар . |
(8) |
|||
|
R1 R2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Выражая из (3) и (4) сопротивления R1 и R2 , подставляя сначала в
(6), а затем в (8), получим:
Q¢ = |
hU 2 tпосл |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||
hU 2 t |
1 |
|
|
hU |
2 t |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q¢ |
|
|
|
Q¢ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
æ hU 2 t |
1 |
|
|
|
hU 2 t |
ö |
|
|
|||||||
|
hU 2 ç |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2 |
÷t |
пар |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ç |
|
|
Q¢ |
|
|
|
|
|
|
Q¢ |
÷ |
||||
Q¢ = |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
. |
||||
|
|
hU 2 t1 |
|
hU 2 t2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Q¢ |
|
|
|
|
Q¢ |
|
|
|
|
(9)
(10)
Из соотношения (9) выражаем искомое время закипания воды при включении двух обмоток последовательно:
tпосл = t1 + t2 =12 + 25 = 37 мин.
Из соотношения (10) выражаем искомое время закипания воды при включении двух обмоток параллельно:
tпар = |
t1t2 |
= |
|
12 × 25 |
» 8,0 мин. |
|
t1 + t2 |
12 + 25 |
|||||
|
|
|
Ответ: tпосл = 37 мин, tпар = 8,0 мин.
82
Пример 12. Через спираль сопротивлением R течет ток, сила которого уменьшается линейно до нуля в течение времени τ . Определить количество теплоты, которое выделится в спирали при прохождении через нее заряда q0 .
Дано:
R , τ , q0 .
Найти: Q .
Решение. Сила тока, текущего через сопротивление, линейно уменьшается со временем до нуля. Соответствующий закон изменения силы тока можно записать в виде:
i = I0 - kt , |
|
|
|
(1) |
|||||
где k – некоторый коэффициент. |
|
||||||||
Поскольку в конечный момент времени сила тока равна нулю |
|||||||||
( i = 0 ), то I0 |
= kt , откуда неизвестный коэффициент k |
выражает- |
|||||||
ся в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
||
k = |
I0 |
. |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом (2) выражение (1) приобретет вид: |
|
||||||||
|
|
|
I |
0 |
|
æ |
t ö |
|
|
i = I0 - |
|
|
t = I0 ç1 - |
|
÷ . |
(3) |
|||
t |
|
||||||||
|
|
|
è |
t ø |
|
Заряд, прошедший через спираль за время dt , согласно определению [5.1] dq = idt . Тогда интегральное соотношение для нахожде-
ния всего заряда будет иметь вид:
|
τ |
|
æ |
t ö |
æ |
t2 ö |
|
I |
0 |
|
|||
q0 = ò |
I0 |
ç1 - |
|
÷dt = I0 |
ç |
|
÷ |
= |
|
t, |
|||
|
çt - |
÷ |
2 |
||||||||||
0 |
|
è |
t ø |
è |
2t ø |
|
|
||||||
откуда начальное значение силы тока равно: |
|||||||||||||
I0 = |
2q0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, с учетом выражений (3) и (4) сила тока со временем изменялась по закону:
i = |
2q |
0 |
æ |
|
t ö |
|
|
|
ç1 |
- |
|
÷ . |
(5) |
||
t |
|
|
|||||
|
|
è |
|
t ø |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
83 |
Количество выделившейся теплоты в спирали определяется из закона Джоуля-Ленца [7.1]:
|
τ |
|
æ |
|
2q |
0 |
ö |
2 |
|
τ |
æ |
|
|
t |
ö |
2 |
|
||||
Q = òi2 Rdt = ç |
|
÷ |
|
Rò |
ç1 |
- |
|
÷ |
dt = |
||||||||||||
t |
|
t |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
è |
|
|
ø |
|
|
0 |
è |
|
|
ø |
|
|
||||||
|
4Rq2 |
(- t) |
1 |
|
æ |
|
|
t ö |
3 |
|
|
τ |
|
4Rq2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
0 |
|
|
ç1 |
- |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
0 |
. |
|
t2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
||||||||
|
|
|
è |
|
|
t ø |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4Rq2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ответ: Q = |
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Rq2 |
τ |
æ |
|
t ö2 |
æ |
|
t ö |
|
||
0 |
(- t) |
ç1 |
- |
|
÷ |
dç1 |
- |
|
÷ |
= |
t2 |
|
|
||||||||
0ò |
è |
|
t ø |
è |
|
t ø |
|
Пример 13. Плотность тока при электролизе медного купороса составляет 100 А/м2. Определить толщину слоя меди, выделившейся за 10 часов.
Дано:
j =100 А/м2,
t = 10 ч = 36000 с,
F = 96480 Кл/моль.
Найти: h .
Решение. Согласно закону Фарадея для электролиза [8.4]
масса выделившегося на электроде вещества равна: |
|
|||||
m = |
1 |
|
M |
It , |
(1) |
|
F Z |
||||||
|
|
|
||||
где F – постоянная Фарадея, M – молярная масса вещества, |
Z – |
|||||
валентность, |
I – сила постоянного тока, протекающего через |
|||||
электролит, t |
– время протекания тока. |
|
||||
Сила тока связана с плотностью тока соотношением [5.2]: |
|
|||||
I = jS , |
|
(2) |
||||
где S – площадь поперечного сечения проводника. |
|
|||||
Учитывая выражение (2), закон Фарадея (1) примет вид: |
|
|||||
m = |
1 |
|
M |
jSt . |
(3) |
|
F Z |
||||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
84 |
|
С другой стороны, масса выделившегося вещества может
быть получена из соотношения: |
|
m = ρV = ρSh , |
(4) |
где ρ – плотность выделившегося вещества, |
h – толщина слоя |
(считая ее одинаковой по всей поверхности) выделившегося вещества.
Подставляя (4) в (3) и выражая искомую толщину слоя, получим:
h = Mjt FZr
или с учетом числовых значений величин
h = 0,064 ×100 × 36000 =1,337 ×10−4 м. 96480 × 2 ×8930
Ответ: h =1,337 ×10−4 м.
Пример 14. Между пластинами конденсатора площадью 370 см2 находится водород объемом 320 см3. При подаче напряжения 52,4 В на конденсатор сила проходящего через него тока со-
ставила 2,7 ×10−6 А. Найти концентрацию ионов в газе, если подвижность положительных ионов b+ = 5,4 см2/(В×с), а отрицательных – b− = 7,4 см2/(В×с).
Дано:
S = 370 см2 = 3,7 ×10−2 м2,
V = 320 см3 = 3,2 ×10−4 м3, U = 52,4 В,
I = 2,7 ×10−6 А,
b+ = 5,4 см2/(В×с) = 5,4 ×10−4 м2/(В×с), b− = 7,4 см2/(В×с) = 7,4 ×10−4 м2/(В×с).
Найти: n .
Решение. Так как электрическое поле в плоском конденсаторе однородно, то напряженность поля связана с напряжением между обкладками соотношением [3.10]:
85
E = |
U |
, |
(1) |
|
d |
||||
|
|
|
где d – расстояние между обкладками конденсатора.
Если между обкладками конденсатора в однородном электростатическом поле имеются электрически заряженные частицы, то под действием сил поля они начинают упорядоченно двигаться, создавая таким образом электрический ток. Плотность тока в газе при наличии ионов обоих знаков связана с напряженностью соотношением (смотри [8.5], [8.6]):
j = qn(b+ + b− )E , |
(2) |
где b+ и b− – подвижности положительных и отрицательных ио-
нов, соответственно, q – заряд иона, |
n – концентрация ионов. |
||||||||
Из соотношений (1) и (2) получим выражение: |
|||||||||
j = qn(b |
+ |
+ b |
− |
) |
U |
. |
(3) |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
d |
|
||||
Искомая концентрация запишется в виде: |
|||||||||
n = |
|
|
jd |
|
|
|
. |
(4) |
|
qU (b+ + b− ) |
Объем газа, заключенного между обкладками конденсатора,
равен V = Sd , где S – площадь пластин, откуда: |
|
||
d = V S . |
(5) |
||
Подставляя (5) в (4), получим: |
|
||
|
jV |
|
|
n = |
|
. |
(6) |
SqU (b+ + b− ) |
Учитывая определение плотности тока [5.2] j = IS , выражение
(6) приобретет окончательный вид:
n = (IV ) . S 2 qU b+ + b−
Подставляя числовые значения величин, находим:
n = |
2,7 ×10−6 × |
3,2×10−4 |
13 |
-3 |
|
|
|
= 5,9×10 |
м . |
||
(3,7 ×10−2 )2 ×1,6 ×10−19 |
×52,4 ×(5,4 ×10−4 + 7,4 ×10−4 ) |
||||
|
Ответ: n = 5,9×1013 |
м-3. |
|
|
|
|
|
|
86 |
|
|
Пример 15. Определить индукцию магнитного поля в центре кругового проводника с током и на оси в точке, расположенной на расстоянии 12 см от его плоскости. Радиус кольца 8,0 см, сила то-
ка 2,5 A.
Дано:
a = 12 см = 0,12 м, R = 8,0 см = 0,080 м, I = 2,5 А.
Найти: B0 , B .
Решение. Проводники с током создают вокруг себя магнитное поле. Если такой проводник разбить на бесконечно малые
элементы, то каждый элемент тока ( Idl ) создает в разных точках пространства свое микрополе с магнитной индукцией бесконечно малой величины, которая может быть определена согласно закону Био-Савара-Лапласа [9.11]:
r |
μ |
|
|
|
r |
|
|
||
0 |
μ I[dl × r ] |
|
|
||||||
dB = |
|
|
|
|
|
|
(1) |
||
4π |
|
r 3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
или для модуля вектора dB : |
|
||||||||
dB = |
|
μ0 |
μ Idl sin α |
, |
(2) |
||||
|
4π |
|
r 2 |
|
|||||
где μ0 – |
|
|
|
||||||
магнитная постоянная, μ |
– магнитная проницаемость |
среды, в которой создано магнитное поле (в условиях данной задачи μ =1,0 ), α – угол между dl и dr .
Выделим в проводнике с током два равных по величине элемента тока Idl1 и Idl2 , размещенных на концах одного и того же
диаметра кольца (рис. 1.47).
Векторы индукции магнитного поля, созданные этими элементами тока, равны соответственно dB1 и dB2 в точке O′ , не совпадают по направлению, но равны по абсолютной величине. Тогда индукция магнитного поля, созданного элементами dl1 и dl2 с током, вдоль оси OO′ (рис. 1.47) составляет:
87
Рис. 1.47
dB = 2dB sin β = 2dB |
|
R |
. |
(3) |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
r |
|
||||||
Так как индукция магнитного поля, созданного элементом то- |
||||||||||||
ка на расстоянии r от него, равна |
|
|||||||||||
dB |
= |
μ0 Idl1 |
|
, |
|
|
|
|
(4) |
|||
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
4πr 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где учтено, что α = π 2 , |
а расстояние r |
может быть найдено по |
||||||||||
теореме Пифагора: |
|
|
|
|
||||||||
r = |
|
|
|
|
= (R2 + a2 )1 2 , |
|
||||||
|
|
R2 + a2 |
|
(5) |
||||||||
то выражение (3) с учетом (4) и (5) приобретет вид: |
||||||||||||
dB = |
|
μ0 IRdl |
|
|
|
|
||||||
|
. |
|
|
|
(6) |
|||||||
2π(R2 + a2 )3 / 2 |
|
|
|
Так как магнитное поле создается всем круговым током, то результирующая индукция магнитного поля в точке O′ может быть получена путем сложения бесконечно малых величин индукции, созданных всеми элементами тока, то есть интегрирования выражения (6):
|
μ0 IR |
πR |
μ0 IR2 |
|
|
|
B = ò dB = |
|
ò dl = |
|
. |
(7) |
|
2π(R2 + a2 )3 / 2 |
2(R2 + a2 )3 / 2 |
|||||
|
0 |
|
|
|||
|
|
88 |
|
|
|
Интегрирование производится по длине кругового тока от 0 до половины длины окружности πR , так как в (3) учтены индукции полей, созданных двумя элементами тока.
Если в равенстве (7) положить a = 0 , то получим выражение для нахождения индукции магнитного поля в центре кольца с током:
B0 = |
m0 I |
. |
|
|
(8) |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
2R |
|
|
|
|
Подставляя числовые значения величин в (7) и (8), получим: |
|||||||
|
4 ×3,14×10−7 ×2,5×0,0802 |
||||||
B = |
|
|
|
= 3,3×10−6 Тл, |
|||
2(0,0802 + 0,122 )3 / 2 |
|||||||
B = |
4×3,14 ×10−7 ×2,5 |
= 20,0×10−6 Тл. |
|||||
|
|||||||
0 |
2 |
×0,080 |
|
|
|||
|
|
|
|||||
Ответ: B0 |
= 20 мкТл, B = 3,3мкТл. |
Пример 16. Пройдя ускоряющую разность потенциалов 660 кВ, электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Частица двигается по окружности радиусом 5,0 см. Определить индукцию магнитного поля.
Дано:
U = 660 кВ = 6,6 ×105 В, r = 5,0 см = 0,050 м.
Найти: B .
Решение. Задачу целесообразно решать в два этапа, так как первоначально электрон движется под действием сил электрического поля, а после разгона до некоторой скорости движется в магнитном поле. Сначала необходимо выяснить: классической или релятивистской частицей является электрон в условиях данной задачи.
Работа сил электрического поля [3.7] идет на изменение кинетической энергии электрона (полагаем, что имеем дело с классической частицей):
89
eU = |
mu2 |
, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда скорость электрона с учетом данных задачи равна |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ×1,6 ×10−19 × 6,6 ×10 |
5 |
|
|
|
|
u = |
|
2eU |
= |
|
= 4,8 ×10 |
8 |
м/с. |
|||||
|
m |
|
9,1×10−31 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Убеждаемся, что полученная скорость превышает скорость света в вакууме, а, значит, электрон в данной задаче необходимо рассматривать как частицу релятивистскую. То есть, кинетическая энергия релятивистской частицы равна разности полной энергии и энергии покоя:
T = mc2 - m0 c2 , |
(2) |
где m0 – масса покоя электрона, c – скорость света в вакууме.
С приближением скорости электрона к скорости света его
масса возрастает и определяется из соотношения: |
|
|||||
m = |
|
m0 |
|
, |
(3) |
|
|
|
|
||||
1 - b2 |
||||||
|
|
|
|
где b = uc .
Теорема об изменении кинетической энергии (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется в виде:
æ ö
-1÷ .
ç1 - b2 ÷ è ø
Врезультате преобразований получим:eU = m0 c2 ç 1
1 |
|
|
æ |
eU |
|
ö2 |
|
|
|
|
|
|
= ç |
|
|
+1÷ |
, |
||
|
2 |
|
2 |
||||||
1 - b |
ç |
|
÷ |
|
|
||||
|
|
|
è m0c |
|
ø |
|
|
||
b = |
1 - |
|
|
1 |
|
, |
|||
æ |
eU |
|
ö2 |
||||||
|
|
|
ç |
|
|
+1÷ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
||
|
|
|
|
è m0 c |
|
ø |
|
|
(4)
(5)
подставляя числовые значения в выражение (5), вычислим сначала β , а затем скорость электрона, с которой он влетает в магнит-
ное поле:
90