конспект_статистика

34

Введемо такі поняття і позначення: ознака, по якому знаходиться середня,

називається осередняємою ознакою і позначається x; розмір осередняє ознаки в кожної одиниці сукупності називається індивідуальним його значенням, або варіантами, і позначається як x1, x2 , x3 , …, xn ; частота - це повторювальність

індивідуальних значень ознаки, позначається буквою f.

Середня арифметична - найбільше поширений вид середньої. Вона обчислюється в тих випадках, коли обсяг осередняємої ознаки утвориться як сума його значень в окремих одиниць досліджуваної статистичної сукупності.

У залежності від характеру вихідних даних середня арифметична x визначається в такий спосіб.

1.Припустимо, що потрібно обчислити середній стаж десятьох робітників торгового підприємства 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 4, тобто даний ряд одиночних значень ознаки, тоді xрозраховується як

			x	6 5 4 3 3 4 5 4 5 4 43
	x
							4,3року
				10		10
			n

тобто як середня арифметична не зважена діленням кількості зведеної ознаки на число показань

x xi x1 x2 ... xn n n

Часто припадає розраховувати середнє значення ознаки по ряді розподілу, коли те саме значення ознаки зустрічається декілька разів. Об'єднавши дані по величині ознаки (тобто провести групування) і підрахувавши число випадків повторення кожного з них, ми одержимо такий варіаційний ряд (табл. 6.1). Тоді середня дорівнює:

			xi fi			43
	x						4,3року
			fi		10

або як середня арифметична зважена

			xi fi		x1 f1 x2 f2 ... xn fn
	x
			fi		f1 f2 ... fn

Отже, для числення зваженої середньої виконуються такі послідовні операції: множення кожного варіанта на його частоту, підсумовування отриманих творінь, ділення отриманої суми на суму частот.

Таблиця 6.1. Ряд розподілу працюючих на торговому підприємстві по стажу роботи

	Тривалість	Число		Частка робітників до
	стажу	робітників	Відпраць	загальної чисельності			xi i
	роботи	торгового		робітників, % (частоти)
			овано
	(варіанти) xi	підприємства	человеко-	i	fi	100
		(частоти) fi			fi
			лет xi fi
	1	2			4		5
			3
	3	2	6		20		60

				35
4	4	16	40	160
5	3	15	30	150
6	1	6	10	60
Разом	10	43	100	430

Середня гармонійна. З огляду на, що статистичні середні завжди виражають якісні властивості досліджуваних суспільних процесів і явищ, важливо правильно вибрати форму середньої виходячи з взаємозв'язку явищ і їхніх ознак. Середня гармонійне-це величина, обернена середньої арифметичної, коли z = -1. Коли статистична інформація не містить частот по окремих варіантах сукупності, а подана як їхній твір, застосовується формула середньої гармонійної зваженої.

Так, наприклад, розрахунок середньої ціни виражається відношенням

Сума реалізації

Середняціна

Кількість реалізованиходиниць

Величина суми реалізації, тобто показника, що знаходиться в чисельнику вихідного відношення, відома. Для визначення невідомої величини - кількості реалізованих одиниць - потрібно окремо по кожному виді товару розділити суму реалізації на ціну (табл. 6.2).

Таблиця 6.2

Розподіл підприємств регіону по обсягу товарообігу

	Ціна, грн.		Сума реалізації, тис. грн.																												Частоти
Місто																															f		i
	x	i													i																	i
																																		xi
А	30									60																							20
Б	20									1000																							50
У	35									350																							10
Разом										1950																							80
						i								600 1000 350
				x
																											24,3грн.
																	1000							350
										600
									i
									x	30										20				235
									i	i
																			1		2				... т
							x
												i							1			2			...				n
												x							x			x							x
														i			1					2							n

У тому випадку, якщо обсяги явищ, тобто твори, по кожній ознаці рівні, застосовується середня гармонійна (проста).

Приклад. Дві автомашини пройшли той самий шлях: одна зі швидкістю 60 км/г, а друга - 80 км/г, тоді середня швидкість складає:

			1		1					2				9600	68,6км/г.
x
			1			1				80	60			140
			60		80					4800

тоді

x c c.

36

x n

1x

де 1x -сума обернених значень варіант; п— число варіант.

Середня геометрична - це величина, використовувана як середня з відношень або в рядах розподілу, поданих у виді геометричної прогресії, коли z=0, x n (x) . Цей середньої зручно користуватися, коли приділяється увага не абсолютним різницям, а відношенням двох чисел. Тому середня геометрична використовується в розрахунках середньорічних темпів росту.

Середня квадратична застосовується, якщо значення ознаки подані у виді відхилень від норми або стандарту:

			2	x2				x2 f
	x				- проста; x				- зважена.
				n				f
								2

Роздивимося обчислення цієї форми середньої на даних таблиці 6.3.

Таблиця 6.3 Розрахунок середнього розміру відхилень довжини виробу від норми

Відхилення фактичної	Число виробів, шт.											х2		х2 f
довжини від норми,					f
мм
x
- 0,5				3							0,25			0,75
0				4							0			0
0,5				2							0,25			0,5
1,0				1							1			1,0
Разом				10										2,25
Таким чином, середній розмір відхилення довжини виробу від норми
дорівнює:
					x2 f
								2,25		2			мм.
	x			2							0,225 0,474
					f		10
							2

Основні властивості середньої арифметичної. Середня арифметична має ряд властивостей:

Від зменшення або збільшення частот кожного значення ознаки х в п разом величина середньої арифметичної не зміниться.

Загальний множник індивідуальних значень ознаки може бути винесений за знак середньої:

Kx Kx

Середня суми (різниці) двох або декількох величин дорівнює сумі (різниці) їх середніх x y x y.

Якщо х=із, де с—постійний розмір, тобто

37

Сума відхилень значень ознаки Х від середньої арифметичної х дорівнює

нулю: (x x) 0.

Викладені вище властивості середньої арифметичної дозволяють у багатьох випадках спростити її розрахунки: можна з усіх значень ознаки відняти довільний постійний розмір, різницю скоротити на загальний множник, а потім обчислену середню умножити на загальний множник і додати довільний постійний розмір.

Формула середньої арифметичної зваженої одержить такий вид:

				x		A
							f
				i
	x m1h A,где m1
				f

Середня m1 зі значення х-А/h називається моментом першого порядку, а засіб обчислення середньої - засобом моментів. Іноді його також називають засобом відліку від умовного нуля.

Роздивимося методику розрахунку за даними табл. 6.4 (гр. 5-7).

Таблиця 6.4

Розподіл підприємств регіону по обсягу товарообігу

Групи підприємств	Число	Середин		x A	x		A		x A
по обсягу	підприємст	а	x f		i							f
товарообігу, млн.									i
грн. x	в f	інтервал
	9		3150	-200	-2				-18
До 400		у350x
400-500	12	450	5400	-100	-1				-12
500-600	8	550	4400	0	0				0
600-700	9	650	5850	100	1				9
Понад 700	2	750	1500	200	2				4
Разом	40		20300	--	--				-17

У якості А приймається одна з центральних варіант ряду (x 550), якщо ряд має нечетное число ознак. При четному числі ознак береться середнє значення з двох варіант із найбільшою частотою. У якості h береться загальний (найбільший) дільник індивідуальних відхилень. У інтервальному ряду в якості h найбільше доцільно використовувати величину інтервалу (h =100). Тоді середній обсяг товарообігу підприємства складає:

			x		A
						f
			h					17
	x						A
									100 550 507,5млн.грн.
			f					40

3. СТРУКТУРНІ СЕРЕДНІ ВЕЛИЧИНИ.

Для характеристики структури сукупності застосовуються особливі показники, що можна назвати структурними середніми. До таких показників відносяться мода і медіана.

Модою (Мо) називається частіше усього варіант, що зустрічається.

38

У дискретному ряду мода -- це варіанта з найбільшою частотою. Наприклад, по приведеним нижче даним найбільшим попитом взуття користується розмір 37 (табл. 6.5).

Таблиця 6.5

Розмір взуття	Число куплених пар
34	2
35	10
36	20
37	88 «М»
38	19
39	9
40	1

У інтервальному варіаційному ряду модою приблизно вважають центральний варіант так називаного модального інтервалу, тобто того інтервалу, що має найбільшу частоту (частость). У межах інтервалу треба знайти те значення ознаки, що є модою.

Рішення питання складається в тому, щоб у якості моди виявити середину модального інтервалу. Таке рішення буде правильним лише у випадку повної симетричності розподілу або тоді, коли інтервали, сусідні з модальними, мало відрізняються друг від друга по числу випадків. У противному випадку середина модального інтервалу не може розглядатися, як мода. Конкретне значення моди для інтервального ряду визначається формулою

Mo xMo hMo fMo fMo 1 fMo fMo 1 fMo fMo 1

де - нижня межа модального інтервалу; - велична модального інтервалу; - частота, що відповідає модальному інтервалу; - частота, що передує модальному інтервалу; -частота інтервалу, що слідує за модальним. xMo - нижня межа модального інтервалу; hMo - велична модального інтервалу; fMo - частота, що відповідає модальному інтервалу; fMo 1- частота, що передує модальному інтервалу;

fMo 1-частота інтервалу, що випливає за модальний.

Ця формула заснована на припущенні, що відстані від нижньої межі модального інтервалу до моди і від моди до верхньої межі модального інтервалу прямо пропорційні різницям між чисельностями модального інтервалу і прилягаючих до нього. У нашому прикладі (табл. 6.6) модальним інтервалом величини стажу робітників торгового підприємства будуть 6-8 років, а модою тривалості стажу - 6,77 року.

	Mo 6 2	35 20	6,77года.
		(35 20) (35 11)

Мода завжди буває декілька невизначеною, тому що вона залежить від величини груп, від точного положення меж груп.

39

Мода - це саме те число, що у дійсності зустрічається частіше усього (є величиною певною)-в практиці має саме широке застосування (найбільше тип покупця, що зустрічається часто,).

Таблиця 6.6

Стаж	Число робітників
До 2	4
2-4	23
4-6	20
6-8	35
8-10	11
Понад 10	7

Медіана (Ме) - це величина, що поділяє чисельність упорядкованого варіаційного ряду на дві рівні частини: одна частина має значення ознаки, що варіює, менші, чим середній варіант, а інша - великі. Поняття медіани легко усвідомити з такого приклада. Для ранжированого ряду (тобто побудованого в порядку зростання або убування індивідуальних величин) із нечетним числом членів медіаной є варіанта, розташована в центрі ряду.

Наприклад, у ранжированих даних про стаж роботи сімох продавців - 1, 2, 2, 3, 5, 7, 10 років - медіаной є четверта варіанта - 3 року. Для ранжированого ряду з четним числом членів (індивідуальних величин) медіаною буде середня арифметична з двох суміжних варіант. Якщо в бригаді продавців із шести людин розподіл по стажу роботи була таким: 1, 3, 4, 5, 7, 9 років, то медіаною буде значення, рівне: (4+5) : 2 = 4,5 року, тобто

Me xMe xMe 1

2

У інтервальному варіаційному ряду порядок знаходження медіани такий: розташовуємо індивідуальні значення ознаки по ранжиру; визначаємо для даного ранжированого ряду накопичені частоти; за даними про накопичені частоти знаходимо медіанний інтервал.

Медіана поділяє чисельність ряду навпіл, отже, вона там, де накопичена частота складає половину або більше половини всієї суми частот, а попередня (накопичена) частота менше половини чисельності сукупності.

Якщо припускати, що усередині медіанного інтервалу наростання або убування досліджуваної ознаки відбувається по прямої рівномірно, то формула медіани в інтервальному ряду розподілу буде мати такий вид:

		f	SMe 1
Me x	h	2
Me	Me		fMe

де xMe -нижня межа медіанного інтервалу; hMe -розмір медіанного інтервалу;f / 2 - полусума частот ряду; SMe 1- сума накопичених частот, що передують медіанному інтервалу; fMe -частота медіанного інтервалу.

40

Величини, що припадають на одній чверті і на трьох чвертях відстані від початку ряду, називаються квартилями, на однієї десятий - децілями, на однієї сотий

- процентилями.

ТЕМА 7. АНАЛІЗ ТЕНДЕНЦІЇ РОЗВИТКУ ТА КОЛИВАНЬ.

Різниця індивідуальних значень ознаки усередині досліджуваної сукупності в статистиці називається варіацією ознаки. Вона виникає в результаті того, що його індивідуальні значення складаються під сукупним впливом різноманітних чинників (умов), що по-різному сполучаться в кожному окремому випадку.

Коливальність окремих значень характеризує показники варіації

41

Абсолютні і середні показники варіації і засоби їхнього розрахунку. Для характеристики коливальності ознаки використовується ряд показників. Найбільше простій із них - розмах варіації, визначальний як різниця між найбільшим (xmax ) і найменшим (xmin ) значеннями варіантів:

R xmax xmin .

Роздивимося коливальність показників обсягу товарообігу в середньому на одне підприємство (див. табл. 7.1 і 7.2).

Таблиця 7.1

Регіон 1

Групи підприємств				Число												Розрахункові показники
				підпр
по обсягу
				иємст
товарообігу, тис.																																															2								2
																						xi x											xi x						f
x				в		xi					xi fi																															xi x								xi x				fi
грнi .				fi
1				2		3						4									5													6									7								8
90-100				28		95					2660										-10										-280											100									2800
100-110				48		105					5040										0													0									0								0
110-120				20		115					2300										10													200								100									2009
120-130				4		125					500										20													80								400									1600
Разом				100						10500																								560								560									6400
												Регіон 2																																				Таблиця 7.2
Групи		Число										Розрахункові показники
підприємст		підпр
																																				x A						x A
в по обсягу		иємст
				x		x f					xi	x				x			i			x		f				x	i	A							i						i					f		x A 2
																																											h													f
товарообігу,		в																																					h												i
				i		i	i																																												h						i
тис. грн. xi		fi
1		2		3		4					5										6									7					8								9								10
60-80		21		70		1470					-35				-735													-40							-2								-42								84
80-100		27		90		2430					-15				-405													-20							-1								-27								27
100-120		24		110		2640					50				120															0					0								0								0
120-140		16		130		2080					25				400														20						1								16								16
140-160		8		150		1200					45				360														40						2								16								32
160-180		4		170		680					65				260														60						3								12								36
Разом		100				10500									2280																												-25								195
Середній	обсяг			товарообігу на одне підприємство по регіонах дорівнює 105
тис. грн.:
															10500
											x f
				регіон1:x							f														105тис.грн.;
																				100
											x f				10500
				регіон 2:x							f														105тис.грн.;
																				100

42

Проте показник розмаху варіації склав:

регіон 1: R= 130-90=40 тис. грн.;

регіон 2: R= 180-60=120 тис. грн.

Порівняння показників у нашому прикладі свідчить, що розмах варіації обсягу товарообігу вище в регіоні 2. Але він уловлює тільки крайні відхилення і не відбиває відхилень усіх варіант а ряду. Проте легкість обчислень і простота тлумачення обумовили широке застосування цього показника.

Щоб дати узагальнюючу характеристику розподілу відхилень, обчислюють середнє лінійне відхилення d , що враховує розходження всіх одиниць досліджуваної сукупності. Середнє лінійне відхилення визначається як середня арифметична з відхилень індивідуальних значень від середньої, без урахування знака цих

відхилень:

| x x|

або

| x x|

f

d

n

,

d

f

,

Регіон 1:

|

x

x

|

560

5,6тис.грн.;

d

n

100

| x

|

Регіон 2:

x

f

228

22,8тис.грн.

d

f

100

У нашому прикладі в регіоні 1 показники обсягу товарообігу більш однорідні, чим у регіоні 2. Середнє лінійне відхилення як міру варіації ознаки застосовують у статистичній практиці рідко. У багатьох випадках цей показник не встановлює ступінь розсіювання.

На практиці міру варіації більш об'єктивно відбиває показник дисперсії (середній квадрат відхилень), обумовлений як середня з відхилень, зведених у квадрат : 2 -середній квадрат відхилень), обумовлений як середня з відхилень, зведених у квадрат (x x)2 :

2 (x x)2 , n

2 (x x)2 f .

f

Корінь квадратний із дисперсії 2 середнього квадрата відхилень являє собою середнє квадратичне відхилення

2

2 і є узвичаєними мірами варіації ознаки.

Так, по регіоні 1 дисперсія склала:

			(x					2
	12				x)				f		6400	64,
			f							100

і середнєквадратичне відхилення відповідно:

1 12 64 8тис.грн.

По регіоні 2:

22 755і 2 22 750 27,5тис.грн.

43

Середнє квадратичне відхилення є мірилом надійності середньої. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим краще середня арифметична відбиває собою всю подаєму сукупність. Як бачимо, у регіоні 1 дисперсія і середнє квадратичне відхилення значно менше, ніж у регіоні 2, що також підтверджує велику надійність середньої в регіоні 1.

Дисперсія володіє поруч властивостей (доказуваних у математичній статистиці), що дозволяють спростити розрахунки.

1.Якщо з усіх значень варіант відняти якесь постійне число А, то середній квадрат відхилень від цього не зміниться.

2 (xi A) 2.

2.Якщо всі значення варіант розділити на якесь постійне число А, то середній квадрат відхилень зменшиться від цього в A2 раз, а середнє квадратичне відхилення — в А раз:

	x		2 : A2.
	i
	A

3. Якщо обчислити середній квадрат відхилень від будь-якої величини А, що у тієму або іншому ступеню відрізняється від середньої арифметичної x2 , то він завжди буде більше середнього квадрата відхилень 2 , обчисленого від середньої арифметичної.

A2 x2

Виходить, середній квадрат відхилень 2 дорівнює середньому квадрату значень ознаки р мінус квадрат середнього значення ознаки (x)2 , тобто m2 m12 .

Викладений засіб розрахунку дисперсії і середнього квадратичного відхилення називається засобом моментів, або засобом відліку від умовного нуля.

Він застосовний за умови рівних інтервалів.

Використовуючи другу властивість дисперсії, розділивши усі варіанти на розмір інтервалу, получимо формулу

					2 h2(m m2).
					2	1
		Використовуємо викладені вище властивості дисперсії для розрахунку
показників по			регіоні 2.	Так,	середня	в	даному прикладі		дорівнює:
		A hm 110 20( 0,25) 105тис.грн.			Дисперсія		2 202 (1,95 ( 0,25)2		755	і
	x
1
середнєквадратичне відхилення				27,477 тис.		грн.		виражається в іменованих
числахСередній.			розмір відбиває тенденцію розвитку,					тобто дія головних причин

(чинників), вимірює силу впливу інших чинників.

Показники відносного розсіювання. Для характеристики міри коливальності досліджуваної ознаки обчислюються показники коливальності у відносних розмірах.

1. Коефіцієнт осцілляції відбиває відносну коливальність крайніх значень ознаки навколо середньої.

R

K0 x 100%.

У регіоні 2 різниця між крайніми значеннями на 14,3% перевищує середнє значення товарообігу на одне підприємство.

K0 120 100% 114,3%. 105